Xreferat.com » Рефераты по математике » Функція, її границя та неперервність

Функція, її границя та неперервність

та неперервність" width="31" height="26" align="BOTTOM" border="0" />, називається Функція, її границя та неперервність-околом точки Функція, її границя та неперервність.

Розглянемо послідовність точокФункція, її границя та неперервність, Функція, її границя та неперервність, …, Функція, її границя та неперервність, яку позначимо символом Функція, її границя та неперервність. Послідовність точок Функція, її границя та неперервність називається збіжною до точки Функція, її границя та неперервність, якщо для довільного числа Функція, її границя та неперервність існує номер Функція, її границя та неперервністьтакий, що при Функція, її границя та неперервність виконується нерівністьФункція, її границя та неперервність. При цьому точку Функція, її границя та неперервність називають границею послідовності Функція, її границя та неперервність і записують так:


Функція, її границя та неперервністьабо Функція, її границя та неперервність приФункція, її границя та неперервність.


Якщо Функція, її границя та неперервність приФункція, її границя та неперервність, то, очевидно, Функція, її границя та неперервність, Функція, її границя та неперервність приФункція, її границя та неперервність.

Тепер розглянемо границю функції двох змінних. Її означення аналогічне означенню границі функції однієї змінної. Нехай функція Функція, її границя та неперервність задана в деякій області Функція, її границя та неперервність і точка Функція, її границя та неперервністьабоФункція, її границя та неперервність, але має таку властивість, що в довільному Функція, її границя та неперервність-околі цієї точки міститься хоча б одна точка множиниФункція, її границя та неперервність, відмінна відФункція, її границя та неперервність. Число Функція, її границя та неперервність називається границею функції Функція, її границя та неперервністьв точці Функція, її границя та неперервність, якщо для довільної, збіжної до Функція, її границя та неперервність послідовності точок Функція, її границя та неперервність, відповідна послідовність значень функції Функція, її границя та неперервністьзбігається до числаФункція, її границя та неперервність. При цьому пишуть:


Функція, її границя та неперервність, абоФункція, її границя та неперервність.


Наведене означення границі функції називають означенням за Гейне або означенням „на мові послідовностей”.

Дамо еквівалентне означення границі функції за Коші або означення „на мовіФункція, її границя та неперервність”. Число Функція, її границя та неперервність називається границею функції Функція, її границя та неперервністьв точці Функція, її границя та неперервність, якщо для кожного числа Функція, її границя та неперервність знайдеться число Функція, її границя та неперервність таке, що для всіх точокФункція, її границя та неперервність, які задовольняють умовуФункція, її границя та неперервність, виконується нерівністьФункція, її границя та неперервність.

Користуючись означенням границі функції двох змінних, можна перенести основні теореми про границі для функції однієї змінної на функції двох змінних. Наприклад, правильне таке твердження.

Теорема. Нехай функції Функція, її границя та неперервність і Функція, її границя та неперервність визначені на одній і тій самій
множині Функція, її границя та неперервність і мають в точці Функція, її границя та неперервність границі Функція, її границя та неперервність іФункція, її границя та неперервність.

Тоді функціїФункція, її границя та неперервність, мають в
точці Функція, її границя та неперервність границі, які відповідно дорівнюютьФункція, її границя та неперервність.

Функція Функція, її границя та неперервність називається нескінченно малою в точці Функція, її границя та неперервність (або приФункція, її границя та неперервність), якщо Функція, її границя та неперервність.

Якщо функція Функція, її границя та неперервність має в точці Функція, її границя та неперервність границю, яка дорівнюєФункція, її границя та неперервність, то
функціяФункція, її границя та неперервність є нескінченно малою в точці Функція, її границя та неперервність, тому щоФункція, її границя та неперервність. Звідси випливає, що функція Функція, її границя та неперервністьв околі точки Функція, її границя та неперервність відрізняється від границі Функція, її границя та неперервність на нескінченно малу функцію.

Приклади

Знайти границі:


а) Функція, її границя та неперервність

б) Функція, її границя та неперервність


Розв’язання

а) ЯкщоФункція, її границя та неперервність, то Функція, її границя та неперервність, тому


Функція, її границя та неперервність.


б) Умова Функція, її границя та неперервність еквівалентна умові Функція, її границя та неперервність.

Оскільки Функція, її границя та неперервність,

То


Функція, її границя та неперервність


і, отже,


Функція, її границя та неперервність


Означення границі функції Функція, її границя та неперервність змінних при Функція, її границя та неперервність аналогічне означенням границі при Функція, її границя та неперервність , якщо в Функція, її границя та неперервність-вимірному просторі ввести таке поняття Функція, її границя та неперервність-околу: Функція, її границя та неперервність-околом точки Функція, її границя та неперервність називається множина всіх точокФункція, її границя та неперервність, координати яких задовольняють нерівності


Функція, її границя та неперервність.


Зокрема, у тривимірному просторі Функція, її границя та неперервність Функція, її границя та неперервність-околом точки Функція, її границя та неперервність є множина всіх внутрішніх точок Функція, її границя та неперервність кулі з центром у точці Функція, її границя та неперервність радіусаФункція, її границя та неперервність.


3. Неперервність функції багатьох змінних


Поняття неперервної функції багатьох змінних вводиться за допомогою поняття границі.

Нехай функція Функція, її границя та неперервність визначена на множиніФункція, її границя та неперервність, точка Функція, її границя та неперервність і довільний Функція, її границя та неперервність-окіл точки Функція, її границя та неперервність містить точки множиниФункція, її границя та неперервність.

Функція Функція, її границя та неперервність називається неперервною в точці Функція, її границя та неперервність, якщо


Функція, її границя та неперервність.(1)


У випадку функції двох змінних рівність (1) означає, що коли точкаФункція, її границя та неперервність, залишаючись в області визначення Функція, її границя та неперервність функції Функція, її границя та неперервність, наближається до точкиФункція, її границя та неперервність, то відповідна апліката Функція, її границя та неперервністьповерхні, яка є графіком заданої функції, прямує до аплікатиФункція, її границя та неперервність.

Точки, в яких функція неперервна, називаються точками неперервності, а точки, в яких неперервність порушується – точками розриву цієї функції.

Приклад

Неперервність функції


Функція, її границя та неперервність


в довільній точціФункція, її границя та неперервність, крім точкиФункція, її границя та неперервність, випливає із неперервності многочлена, синуса, квадратного кореня і умовиФункція, її границя та неперервність; неперервність Функція, її границя та неперервність в точці Функція, її границя та неперервність(0;0) випливає із рівності


Функція, її границя та неперервність(п. 2).


Умові (1) неперервності можна надати іншого вигляду. Позначимо


Функція, її границя та неперервність, Функція, її границя та неперервність,Функція, її границя та неперервність.


ВеличиниФункція, її границя та неперервність, Функція, її границя та неперервність називають приростами аргументів x і Функція, її границя та неперервність, аФункція, її границя та неперервність– повним приростом функції Функція, її границя та неперервність в точціФункція, її границя та неперервність. З рівності (1) отримуємо:

Функція, її границя та неперервність

Функція, її границя та неперервність. (2)


Рівність (2) дає ще одне означення неперервності.

Функція Функція, її границя та неперервність називається неперервною в точці Функція, її границя та неперервність, якщо повний приріст її в цій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів x та Функція, її границя та неперервністьпрямують до нуля.

Функція Функція, її границя та неперервність називається неперервною на множині Функція, її границя та неперервність, якщо вона неперервна в кожній точці Функція, її границя та неперервність цієї множини.

Приклад

Функція Функція, її границя та неперервність неперервна на всій площиніФункція, її границя та неперервність, оскільки повний приріст цієї функції в довільній точці Функція, її границя та неперервність має вигляд


Функція, її границя та неперервність

Функція, її границя та неперервність.


Використовуючи поняття неперервності функції кількох змінних і відповідні теореми про границі, можна довести, що арифметичні операції над неперервними функціями і побудова складеної функції з неперервних функцій приводять до неперервних функцій.

Наведемо основні властивості функціїФункція, її границя та неперервність, неперервної в замкненій і обмеженій області. Ці властивості аналогічні властивостям неперервної на відрізку функції однієї змінної. Попередньо уточнимо ряд понять для множин точок площини.

Множина Функція, її границя та неперервність точок площини називається зв’язною, якщо будь-які її дві точки можна з’єднати неперервною лінією, яка повністю належить множиніФункція, її границя та неперервність.

Точка Функція, її границя та неперервністьназивається внутрішньою точкою множиниФункція, її границя та неперервність, якщо

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: