Функція, її границя та неперервність
Розглянемо послідовність точок, , …, , яку позначимо символом . Послідовність точок називається збіжною до точки , якщо для довільного числа існує номер такий, що при виконується нерівність. При цьому точку називають границею послідовності і записують так:
або при.
Якщо при, то, очевидно, , при.
Тепер розглянемо границю функції двох змінних. Її означення аналогічне означенню границі функції однієї змінної. Нехай функція задана в деякій області і точка або, але має таку властивість, що в довільному -околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини, відмінна від. Число називається границею функції в точці , якщо для довільної, збіжної до послідовності точок , відповідна послідовність значень функції збігається до числа. При цьому пишуть:
, або.
Наведене означення границі функції називають означенням за Гейне або означенням „на мові послідовностей”.
Дамо еквівалентне означення границі функції за Коші або означення „на мові”. Число називається границею функції в точці , якщо для кожного числа знайдеться число таке, що для всіх точок, які задовольняють умову, виконується нерівність.
Користуючись означенням границі функції двох змінних, можна перенести основні теореми про границі для функції однієї змінної на функції двох змінних. Наприклад, правильне таке твердження.
Теорема.
Нехай функції
і
визначені на
одній і тій
самій
множині
і мають в точці
границі
і.
Тоді функції,
мають в
точці
границі, які
відповідно
дорівнюють.
Функція називається нескінченно малою в точці (або при), якщо .
Якщо функція
має в точці
границю, яка
дорівнює,
то
функція
є нескінченно
малою в точці
,
тому що.
Звідси випливає,
що функція
в
околі точки
відрізняється
від границі
на нескінченно
малу функцію.
Приклади
Знайти границі:
а)
б)
Розв’язання
а) Якщо, то , тому
.
б) Умова еквівалентна умові .
Оскільки ,
То
і, отже,
Означення границі функції змінних при аналогічне означенням границі при , якщо в -вимірному просторі ввести таке поняття -околу: -околом точки називається множина всіх точок, координати яких задовольняють нерівності
.
Зокрема, у тривимірному просторі -околом точки є множина всіх внутрішніх точок кулі з центром у точці радіуса.
3. Неперервність функції багатьох змінних
Поняття неперервної функції багатьох змінних вводиться за допомогою поняття границі.
Нехай функція визначена на множині, точка і довільний -окіл точки містить точки множини.
Функція називається неперервною в точці , якщо
.(1)
У випадку функції двох змінних рівність (1) означає, що коли точка, залишаючись в області визначення функції , наближається до точки, то відповідна апліката поверхні, яка є графіком заданої функції, прямує до аплікати.
Точки, в яких функція неперервна, називаються точками неперервності, а точки, в яких неперервність порушується – точками розриву цієї функції.
Приклад
Неперервність функції
в довільній точці, крім точки, випливає із неперервності многочлена, синуса, квадратного кореня і умови; неперервність в точці (0;0) випливає із рівності
(п. 2).
Умові (1) неперервності можна надати іншого вигляду. Позначимо
, ,.
Величини, називають приростами аргументів x і , а– повним приростом функції в точці. З рівності (1) отримуємо:
. (2)
Рівність (2) дає ще одне означення неперервності.
Функція називається неперервною в точці , якщо повний приріст її в цій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів x та прямують до нуля.
Функція називається неперервною на множині , якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.
Приклад
Функція неперервна на всій площині, оскільки повний приріст цієї функції в довільній точці має вигляд
.
Використовуючи поняття неперервності функції кількох змінних і відповідні теореми про границі, можна довести, що арифметичні операції над неперервними функціями і побудова складеної функції з неперервних функцій приводять до неперервних функцій.
Наведемо основні властивості функції, неперервної в замкненій і обмеженій області. Ці властивості аналогічні властивостям неперервної на відрізку функції однієї змінної. Попередньо уточнимо ряд понять для множин точок площини.
Множина точок площини називається зв’язною, якщо будь-які її дві точки можна з’єднати неперервною лінією, яка повністю належить множині.
Точка називається внутрішньою точкою множини, якщо