Функція, її границя та неперервність
-окіл цієї точки, який повністю міститься у множині.
Множину називають відкритою, якщо кожна її точка внутрішня.
Областю (або відкритою областю) називають зв’язну відкриту множину точок.
Точку називають межовою точкою множини , якщо будь-який її окіл містить як точки, що належать , так і точки, що не належать множині . Множину всіх межових точок області називають межею області.
Область разом з її межею називається замкненою. Якщо існує круг скінченного радіуса, який повністю містить область, то вона називається обмеженою.
Замкнена область, в якій визначена функція двох змінних, є аналогом відрізка для функції однієї змінної.
Тепер сформулюємо властивості неперервних функцій двох змінних у замкненій обмеженій області.
1. Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області, то вона обмежена в цій області, тобто існує таке число , що для всіх точок області виконується нерівність.
2. Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області, то в цій області існують точки, в яких функція набуває найбільшого і найменшого значень.
3. Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області і, де , то існує точка в якій. Зокрема, якщо, а, то в області існує точка, в якій.
Размещено на