Xreferat.com » Рефераты по математике » Інтегральні характеристики векторних полів

Інтегральні характеристики векторних полів

Размещено на


інтегральні характеристики векторних полів

1. Диференціальні операції другого порядку


Нехай в області Інтегральні характеристики векторних полів задані скалярне поле Інтегральні характеристики векторних полів і векторне поле Інтегральні характеристики векторних полів, причому функції Інтегральні характеристики векторних полів мають в області Інтегральні характеристики векторних полів неперервні частинні похідні другого порядку. Тоді Інтегральні характеристики векторних полів і Інтегральні характеристики векторних полів є диференційовними векторними полями, а Інтегральні характеристики векторних полів – диференційовним скалярним полем.

До векторних полів Інтегральні характеристики векторних полів і Інтегральні характеристики векторних полів можна застосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля Інтегральні характеристики векторних полів – операцію обчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:


Інтегральні характеристики векторних полів.


Операцію Інтегральні характеристики векторних полів називають оператором Лапласа і позначають також символом Інтегральні характеристики векторних полів:


Інтегральні характеристики векторних полів.


З допомогою оператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді


Інтегральні характеристики векторних полів.


Враховуючи, що


Інтегральні характеристики векторних полів,

дістаємо


Інтегральні характеристики векторних полів.


Функція Інтегральні характеристики векторних полів, яка задовольняє в деякій області рівняння Лапласа Інтегральні характеристики векторних полів, називається гармонічною в цій області. Наприклад, лінійна функція Інтегральні характеристики векторних полів є гармонічною в довільній області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового заряду або поля тяжіння точкової маси, який має вигляд Інтегральні характеристики векторних полів, при Інтегральні характеристики векторних полів задовольняє рівняння Лапласа:


Інтегральні характеристики векторних полів


(потенціальне векторне поле Інтегральні характеристики векторних полів є безвихровим) і


Інтегральні характеристики векторних полів


(векторне поле Інтегральні характеристики векторних полів є соленоїдальним).

1. Дві інші повторні операції Інтегральні характеристики векторних полів і Інтегральні характеристики векторних полів пов’язані співвідношенням


Інтегральні характеристики векторних полів, (1)

де Інтегральні характеристики векторних полів– вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій Інтегральні характеристики векторних полів.

2. Розкладання векторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів

Довільне неперервно диференційовне векторне поле Інтегральні характеристики векторних полів може бути зображено у вигляді


Інтегральні характеристики векторних полів, (2)


де Інтегральні характеристики векторних полів – потенціальне поле, Інтегральні характеристики векторних полів – соленоїдальне поле.

Дійсно, за означенням потенціальне векторне поле Інтегральні характеристики векторних полів є градієнтом деякого скалярного поля Інтегральні характеристики векторних полів: Інтегральні характеристики векторних полів. Тому для вектора Інтегральні характеристики векторних полів із рівності (2) маємо


Інтегральні характеристики векторних полів. (3)


Щоб векторне поле Інтегральні характеристики векторних полів було соленоїдальним, воно має задовольняти умову Інтегральні характеристики векторних полів, звідси, враховуючи рівність (3), знаходимо


Інтегральні характеристики векторних полів.


Таким чином, для скалярного потенціала поля Інтегральні характеристики векторних полів отримуємо рівняння

Інтегральні характеристики векторних полів, (4)


де Інтегральні характеристики векторних полів – відома функція даного поля Інтегральні характеристики векторних полів.

Отже, якщо функція Інтегральні характеристики векторних полів є розв’язком рівняння (4), то, поклавши Інтегральні характеристики векторних полів, Інтегральні характеристики векторних полів, отримаємо зображення поля Інтегральні характеристики векторних полів у вигляді (2), де Інтегральні характеристики векторних полів – потенціальне поле, Інтегральні характеристики векторних полів – соленоїдальне поле.

Рівняння (2) – неоднорідне рівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається рівнянням Пуассона:


Інтегральні характеристики векторних полів.


Відзначимо, що це рівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля Інтегральні характеристики векторних полів у вигляді (2) не є єдиним.


2. Потік векторного поля


Розглянемо векторне поле Інтегральні характеристики векторних полів, визначене в просторовій області Інтегральні характеристики векторних полів, і деяку кусково-гладку орієнтовну поверхню Інтегральні характеристики векторних полів. Нехай Інтегральні характеристики векторних полів – поле одиничних нормалей на обраній стороні поверхні Інтегральні характеристики векторних полів.

Як було відзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл


Інтегральні характеристики векторних полів (5)

називається потоком векторного поля Інтегральні характеристики векторних полів через поверхню Інтегральні характеристики векторних полів в сторону, яка визначається вектором Інтегральні характеристики векторних полів (кажуть також «потік через обрану сторону поверхні Інтегральні характеристики векторних полів»).

Якщо взяти іншу сторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор Інтегральні характеристики векторних полів змінить напрям на протилежний; тому скалярний добуток Інтегральні характеристики векторних полів, а отже, і потік (поверхневий інтеграл (5)) змінить знак.

Якщо Інтегральні характеристики векторних полів – швидкість рухомої рідини, то Інтегральні характеристики векторних полів є кількістю (об’ємом) рідини, яка протікає через поверхню Інтегральні характеристики векторних полів у напрямі нормалі Інтегральні характеристики векторних полів за одиницю часу. Ця величина називається у фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню Інтегральні характеристики векторних полів. Тому і у випадку довільного векторного поля Інтегральні характеристики векторних полів інтеграл (5) називається потоком векторного поля через поверхню Інтегральні характеристики векторних полів.

Розглянемо електричне поле Інтегральні характеристики векторних полів точкового заряду Інтегральні характеристики векторних полів, який міститься в точці Інтегральні характеристики векторних полів. Знайдемо потік векторного поля Інтегральні характеристики векторних полів через зовнішню сторону сфери Інтегральні характеристики векторних полів радіуса Інтегральні характеристики векторних полів з центром у точці Інтегральні характеристики векторних полів. Нехай Інтегральні характеристики векторних полів (Інтегральні характеристики векторних полів – точка на сфері Інтегральні характеристики векторних полів); тоді Інтегральні характеристики векторних полів. Тому


Інтегральні характеристики векторних полів,


де Інтегральні характеристики векторних полів – діелектрична проникність середовища, Інтегральні характеристики векторних полів.


Якщо в системі координат Інтегральні характеристики векторних полів Інтегральні характеристики векторних полів, а Інтегральні характеристики векторних полів, то вираз (5) для потоку векторного поля Інтегральні характеристики векторних полів можна записати у вигляді

Інтегральні характеристики векторних полів. (6)


Кожен доданок у правій частині рівності (6) залежить від вибору системи координат, проте їх сума, тобто потік Інтегральні характеристики векторних полів, очевидно, не залежить від вибору системи координат.


3. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі


Нехай в області Інтегральні характеристики векторних полів визначено векторне поле Інтегральні характеристики векторних полів; Інтегральні характеристики векторних полів – замкнена поверхня, яка обмежує область Інтегральні характеристики векторних полів; Інтегральні характеристики векторних полів – одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні Інтегральні характеристики векторних полів у точці Інтегральні характеристики векторних полів.

Нехай, далі, Інтегральні характеристики векторних полів та їхні частинні похідні Інтегральні характеристики векторних полів неперервні в області Інтегральні характеристики векторних полів. Тоді справедлива формула Остроградського-Гаусса:


Інтегральні характеристики векторних полів. (7)


Підінтегральна функція в потрійному інтегралі є Інтегральні характеристики векторних полів, а поверхневий інтеграл – потік векторного поля Інтегральні характеристики векторних полів через поверхню Інтегральні характеристики векторних полів. Тому формулу (7) можна записати у векторній формі:


Інтегральні характеристики векторних полів. (8)

Фізичний зміст формули Остроградського-Гаусса: потік векторного поля Інтегральні характеристики векторних полів через замкнену поверхню в сторону зовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цією поверхнею, від дивергенції векторного поля Інтегральні характеристики векторних полів. Щоб потік був відмінним від нуля, всередині області Інтегральні характеристики векторних полів мають бути джерела (або стоки) поля. Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що тоді Інтегральні характеристики векторних полів є відмінною від нуля. Таким чином, Інтегральні характеристики векторних полів характеризує джерела поля. Само векторне поле як би розходиться від джерел. Звідси і походить назва «розбіжність» або «дивергенція».


4. Властивості соленоїдального поля


Як відомо, векторне поле Інтегральні характеристики векторних полів, яке задовольняє в області Інтегральні характеристики векторних полів умову Інтегральні характеристики векторних полів, називається соленоїдальним в цій області. Нехай область Інтегральні характеристики векторних полів є об’ємно однозв’язною. Це означає, що, якщо кусково-гладка замкнена поверхня Інтегральні характеристики векторних полів лежить в області Інтегральні характеристики векторних полів, то і область, яка обмежує поверхню Інтегральні характеристики векторних полів, цілком належить області Інтегральні характеристики векторних полів. Прикладами об’ємно однозв’язних областей є куля, паралелепіпед, тор. Відзначимо, що тор не є поверхнево однозв’язною областю. Область, яка знаходиться між двома сферами, не є об’ємно однозв’язною (але є поверхнево однозв’язною).

Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що соленоїдальне поле в взаємно однозв’язній області має таку властивість: потік соленоїдального поля через довільну замкнену поверхню, яка знаходиться в цій області, дорівнює нулю.

Відзначимо, що, якщо область не є об’ємно однозв’язною, то потік соленоїдального (в цій області) поля через замкнену поверхню, яка знаходиться в області, може бути відмінним від нуля. Так електричне поле Інтегральні характеристики векторних полів точкового заряду, який міститься в точці Інтегральні характеристики векторних полів, є соленоїдальним в кулі з викинутим центром (Інтегральні характеристики векторних полів при Інтегральні характеристики векторних полів).

Слово «соленоїдальне» означає «трубасте». Для соленоїдального поля є справедливим закон збереження інтенсивності векторної трубки. З’ясуємо суть цього закону.

Нехай Інтегральні характеристики векторних полів – соленоїдальне поле. Розглянемо відрізок «векторної трубки», тобто область, обмежену двома перерізами Інтегральні характеристики векторних полів і Інтегральні характеристики векторних полів та боковою поверхнею Інтегральні характеристики векторних полів, яка складається із векторних ліній (рис. 1). Застосуємо до такої області формулу Остроградського-Гаусса (8). Оскільки в соленоїдальному полі Інтегральні характеристики векторних полів, то потік векторного поля Інтегральні характеристики векторних полів через поверхню області дорівнює нулю: Інтегральні характеристики векторних полів (Інтегральні характеристики векторних полів – одиничний вектор зовнішньої нормалі). На боковій поверхні Інтегральні характеристики векторних полів маємо Інтегральні характеристики векторних полів, тому Інтегральні характеристики векторних полів.

Отже,


Інтегральні характеристики векторних полів.


Інтегральні характеристики векторних полів

Рисунок 1 – Відрізок «векторної трубки»


Змінимо на перерізі Інтегральні характеристики векторних полів напрям нормалі Інтегральні характеристики векторних полів на протилежний (

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Страницы: 1 2 3

Похожие рефераты: