Метод хорд

Метод хорд — один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.

Нехай задано рівняння


Метод хорд,


де Метод хорд на відрізку Метод хорд має неперервні похідні першого й другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, іМетод хорд, тобто корінь Метод хорд рівняння відокремлений на Метод хорд .

Ідея методу хорд в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої Метод хорд замінюється хордою і абсциса точки перетину хорди з віссю Метод хорд є наближеним значенням кореня.


Метод хорд Метод хорд

а б

Метод хорд Метод хорд

в г

рис.1


Нехай для визначеностіМетод хорд, Метод хорд, Метод хорд, Метод хорд (рис. 1, а). Візьмемо за початкове наближення шуканого кореня Метод хорд значення Метод хорд. Через точки Метод хорд і Метод хорд проведемо хорду і за перше наближення кореня Метод хорд візьмемо абсцису Метод хорд точки перетину хорди з віссю Метод хорд. Тепер наближене значення Метод хорд кореня можна уточнити, якщо застосувати метод хорд до відрізка Метод хорд. Абсциса Метод хорд точки перетину хорди Метод хорд буде другим наближенням кореня. Продовжуючи цей процес необмежено, дістанемо послідовність Метод хорд наближених значень кореня Метод хорд даного рівняння.

Для виведення формули методу хорд запишемо рівняння прямої, що проходить через точки Метод хорд і Метод хорд:


Метод хорд.


Поклавши Метод хорд, знайдемо абсцису точки перетину хорди Метод хорд з віссю


Метод хорд: Метод хорд.

Значення Метод хорд можна взяти за наступне наближення, тобто


Метод хорд, тобтоМетод хорд = 0,1,2,


У цьому разі і тоді, коли Метод хорд, Метод хорд, Метод хорд, Метод хорд (рис. 1, б) кінець Метод хорд відрізка Метод хорд є нерухомим.

Якщо Метод хорд, Метод хорд, Метод хорд, Метод хорд (рис. 1, в), або Метод хорд, Метод хорд, Метод хорд, Метод хорд (рис. 1, г), аналогічно можна записати формулу:


Метод хорд, тобтоМетод хорд = 0,1,2,... .


У цьому випадку точка Метод хорд є нерухомим кінцем відрізка Метод хорд.

У загальному випадку нерухомим буде той кінець відрізка ізоляції кореня, в якому знак функції Метод хорд збігається із знаком другої похідної, а за початкове наближення Метод хорд можна взяти точку відрізка Метод хорд, в якій Метод хорд.

Отже, метод хорд можна записати так:


Метод хорд, тобтоМетод хорд = 0,1,2, (1)


де Метод хорд


З формули (1) видно, що метод хорд є методом ітерацій Метод хорд, в якому

Метод хорд (2)


Зауважимо, що рівняння Метод хорд


на відрізку Метод хорд рівносильне рівнянню Метод хорд.


Достатні умови збіжності методу хорд дає така теорема.

Теорема. Нехай на відрізку Метод хорд функція Метод хорд неперервна разом із своїми похідними до другого порядку включно, причому Метод хорд, а похідні Метод хорд і Метод хорд зберігають сталі знаки на Метод хорд, тоді існує такий окіл кореня Метод хорд рівняння Метод хорд, що для будь-якого початкового наближення Метод хорд з цього околу послідовність Метод хорд, обчислена за формулою (1), збігатиметься до кореня Метод хорд.

Доведення. Для доведення теореми досить показати, що в деякому околі Метод хорд кореня Метод хорд похідна Метод хорд функції (2) задовольняє умову Метод хорд для будь-яких Метод хорд.

Обчислимо


Метод хорд.


Поклавши Метод хорд і врахувавши, що Метод хорд, маємо


Метод хорд. (3)


Запишемо для Метод хорд в околі точки Метод хорд формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа:

Метод хорд,


де Метод хордМетод хорд лежить між Метод хорд і Метод хорд.


Поклавши в нійМетод хорд, дістанемо


Метод хорд, (4)


Із формули (3), враховуючи (4), знаходимо Метод хорд.


Оскільки Метод хорд і Метод хорд — неперервні на Метод хорд , то і Метод хорд буде неперервною на Метод хорд функцією, тому Метод хорд.



Звідси і з неперервності Метод хорд випливає, що на відрізку Метод хорд існує окіл Метод хорд точки Метод хорд такий, що Метод хорд для будь-якого Метод хорд. Тоді з теореми про достатні умови методу ітерацій (Нехай рівняння Метод хорд має корінь Метод хорд і в деякому околі Метод хордМетод хорд цього кореня функція Метод хорд задовольняє умову Ліпшиця Метод хорд, деМетод хорд; тоді для будь-якого Метод хорд послідовність Метод хорд ,обчислена за формулою Метод хорд, Метод хорд збігається до кореня Метод хорд, причому швидкість збіжності характеризується нерівністю Метод хорд) випливає, що послідовність {Метод хорд}, обчислена за формулою (1), збігається до кореня Метод хорд, якщо початкове наближення Метод хорд. Теорему доведено.


Виведемо формулу, яка дає можливість оцінити абсолютну похибку наближення Метод хорд через два послідовні наближення Метод хорд іМетод хорд.

Нехай Метод хорд— неперервна і зберігає на Метод хорд сталий знак, причому

Метод хорд, де Метод хорд, Метод хорд.


З формули


Метод хорд


дістаємо Метод хорд.


Звідси, враховуючи, що Метод хорд,


маємо Метод хорд.


Застосувавши теорему Лагранжа, дістанемо


Метод хорд,


де Метод хорд лежить між точками Метод хорд і Метод хорд, а Метод хорд — між Метод хорд і Метод хорд. Далі запишемо:


Метод хорд або Метод хорд


Оскільки Метод хорд зберігає на Метод хорд сталий знак, то Метод хорд.

Тому Метод хорд (5)

Якщо на відрізку Метод хорд справедлива нерівність Метод хорд, то із (5) випливає оцінка: Метод хорд.

Отже, корінь Метод хорд рівняння Метод хорд буде знайдено методом хорд із наперед заданою точністю Метод хорд, якщо для двох послідовних наближень Метод хорд і Метод хорд справджуватиметься нерівність


Метод хорд.


Приклад 1. Відокремити корені рівняння Метод хорд аналітично і уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.

Розв’язання. Маємо функцію


Метод хорд.


Похідна


Метод хорд; Метод хорд.


Складемо таблицю знаків функції Метод хорд:

Метод хорд

Метод хорд

 -1 0

Метод хорд

Метод хорд

 - - + +

Рівняння має один дійсний корінь, що лежить на проміжку Метод хорд

Щоб уточнити корінь, знаходимо другу похідну Метод хорд; на проміжку Метод хорд виконується нерівність Метод хорд.

Для обчислень використаємо формулу


Метод хорд, де Метод хорд.


Результати обчислень розміщуємо в таблиці.

Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд

Метод хорд

0

1

2

3

4

0

-0,882

-0,943

-0,946

-0,946

0

-0,6861

-0,8386

-0,8466

0

0,7779

0,8892

0,8949

0

0,1556

0,1778

0,1790

0

-0,441

-0,4715

-0,473

1,5

0,2173

0,0121

0,0014

1,7

0,4173

0,2121

0,2014

1

0,118

0,057

0,054

-0,118

-0,057

-0,054

-0,054

Відповідь.Метод хорд

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Страницы: 1 2

Похожие рефераты:

  • Функція, її границя та неперервність

    Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області. Множина точок площини, для яких задана формула має зміст, як область визначення. Функція двох змінних.

  • Узагальнена функція Гріна

    Випадок однорідної крайової задачі. Розв’язання виродженого крайового виразу. Теорема Коші, іі доведення. Означення узагальненої функції Гріна крайової задачі. Формулювання алгоритму відшукання узагальненої функції Гріна. Приклади роз'язання завдань.

  • Похідна та її застосування

    Зміст Вступ............................................................................................................................1

  • Застосування координатного методу в стереометрії

    Просторова декартова прямокутна система координат. Рівняння прямої та площини у просторі. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі. Доказ координатним методом теореми про три перпендикуляри.

  • Інтегральне числення

    Вивчення елементарних функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями, тобто вони не обчислюються в скінченному вигляді або не 6еруться. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Дослідження невласних інтегралів та ознаки їх збіжності.

  • Обчислення матричних задач

    Обчислення визначника матриці методом Гаусса. Розгорнення характеристичного визначника заданої матриці методом Крилова. Обчислення наближеного значення визначеного інтегралу за допомогою формули Сімпсона. Мінімум функції і суть методу золотого перерізу.

  • Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

    Використання наближення функцій для практичних розрахунків, методи інтерполювання многочленом Лагранжа та Ньютона. Означення ермітових сплайнів з експоненціальними ланками та знаходження аналітичних виразів їх параметрів. Обчислення похибки наближення.

  • Визначення емпіричних закономірностей

    Метод найменших квадратів. Задача про пошуки параметрів. Означення метода найменших квадратів. Визначення параметрів функціональних залежностей. Вид нормальної системи Гауса. Побудова математичної моделі, використовуючи метод найменших квадратів.

  • Вивчення поняття "символ О"

    Теоретико-множинне визначення символу О як невизначеної функції. Допустима погрішність апроксимації. Асимптотичне рішення інтегралів, трансцендентних рівнянь (дійсного і змінного). Використання формул підсумовування Ейлера при знаходженні суми ряду.

  • Програма, яка знаходить квадратні корені коплексних чисел

    Збагачення запасу чисел, введення ірраціональних чисел. Зведення комплексних чисел у ступінь і знаходження кореня. Окремий випадок формули Муавра. Труднощі при витягу кореня з комплексних чисел. Витяг квадратного кореня із негативного дійсного числа.

  • Рішення рівнянь із параметрами

    Визначення поняття "рівняння з параметрами", розгляд принципів рішення даних рівнянь на загальних випадках. Особливості методів розв'язання рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.

  • Метод Лобачевського-Греффе

    Задачі, ідея та формули методу Лобачевского-Греффе розв’язання рівнянь, особливості конкретні приклади його використання у випадку дійсних різних коренів. Загальні властивості алгебраїчних рівнянь. Загальна характеристика процесу квадратування коренів.

  • Комплексні числа

    Комплексні числа як розширення множини дійсних чисел. Приклади дії над комплексними числами: додавання, віднімання та множення. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична форма запису комплексних чисел, поняття модуля і аргумента.

  • Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці

    Крайова задача для звичайного диференціального рівняння. Метод Рунге-Кутта, метод прогнозу і корекції та метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач. Реалізація пакетом Maple. Оцінка похибки й уточнення отриманих результатів.

  • Метод найменших квадратів

    Етапи побудови емпіричних формул: встановлення загального виду формули; визначення найкращих її параметрів. Суть методу найменших квадратів К. Гауса і А. Лежандра. Побудова лінійної емпіричної формули. Побудова квадратичної емпіричної залежності.

  • Математичні методи представлення знань

    Загальні формули прямокутників. Похибка методу прямокутників. Площа криволінійної трапеції. Формула парабол (Сімпсона). Інтерполяційний багаточлен Лагранжа. Формула трьох восьмих. Абсолютна похибка обчислення. Наближення підінтегральної функції.

  • Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

    Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

  • Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

    Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.

  • Застосування частинних похідних

    Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.

  • Похідні та диференціали функції багатьох змінних

    Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.