Xreferat.com » Рефераты по математике » Геометрические свойства кривых второго порядка

Геометрические свойства кривых второго порядка

Цель курсовой работы


Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.

Постановка задачи


Дано уравнение кривой второго порядка:


Геометрические свойства кривых второго порядка. (1)


Задание. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром Геометрические свойства кривых второго порядка:

I. Определить зависимость типа кривой от параметра Геометрические свойства кривых второго порядка с помощью инвариантов.

II. Привести уравнение кривой при Геометрические свойства кривых второго порядка к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

III. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.

IV. Получить уравнения канонических осей в общей системе координат.

V. Построить график кривой в канонической и общей системах координат.

Получение канонической системы координат. Построение графиков


I. Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра Геометрические свойства кривых второго порядка


В прямоугольной декартовой системе координат Геометрические свойства кривых второго порядка кривая второго порядка задается в общем виде уравнением:


Геометрические свойства кривых второго порядка,


если хотя бы один из коэффициентов Геометрические свойства кривых второго порядка, Геометрические свойства кривых второго порядка, Геометрические свойства кривых второго порядка отличен от нуля.

Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:


Геометрические свойства кривых второго порядка


Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам:


Геометрические свойства кривых второго порядка;

Геометрические свойства кривых второго порядка;

Геометрические свойства кривых второго порядка.


Для данной кривой они равны:Геометрические свойства кривых второго порядка

1). Если Геометрические свойства кривых второго порядка, то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но Геометрические свойства кривых второго порядка. Таким образом, если Геометрические свойства кривых второго порядка, то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. При этом Геометрические свойства кривых второго порядка, то есть: если Геометрические свойства кривых второго порядка, то уравнение (1) определяет параболу.

2). ЕслиГеометрические свойства кривых второго порядка, то данная кривая — центральная. Следовательно, при Геометрические свойства кривых второго порядка данная кривая — центральная.

Если Геометрические свойства кривых второго порядка, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если Геометрические свойства кривых второго порядка, то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом Геометрические свойства кривых второго порядка. В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: еслиГеометрические свойства кривых второго порядка, то уравнение (1) определяет эллипс.

Если Геометрические свойства кривых второго порядка, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если Геометрические свойства кривых второго порядка, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

а) Если Геометрические свойства кривых второго порядка и Геометрические свойства кривых второго порядка, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:


Геометрические свойства кривых второго порядка


Следовательно, если Геометрические свойства кривых второго порядка, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

б) Если Геометрические свойства кривых второго порядка и Геометрические свойства кривых второго порядка, то данная кривая — гипербола. Но Геометрические свойства кривых второго порядка при всех Геометрические свойства кривых второго порядка за исключением точки Геометрические свойства кривых второго порядка. Следовательно, если Геометрические свойства кривых второго порядка, то уравнение (1) определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу:


Значение параметра β

Геометрические свойства кривых второго порядка

Геометрические свойства кривых второго порядка

Геометрические свойства кривых второго порядка

Геометрические свойства кривых второго порядка

Геометрические свойства кривых второго порядка

Тип кривой

Эллипс Парабола Гипербола Две пересекающиеся прямые Гипербола

II. Переход от общего уравнения кривой к каноническому


Рассмотрим теперь случай, когдаГеометрические свойства кривых второго порядка, и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при Геометрические свойства кривых второго порядка уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид:


Геометрические свойства кривых второго порядка (2.1)


Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку Геометрические свойства кривых второго порядка. При этом координаты Геометрические свойства кривых второго порядкапроизвольной точки Геометрические свойства кривых второго порядка плоскости в системе координат Геометрические свойства кривых второго порядка и координаты Геометрические свойства кривых второго порядка в новой системе координат Геометрические свойства кривых второго порядка связаны соотношениями

Геометрические свойства кривых второго порядка


Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим:


Геометрические свойства кривых второго порядка (2.2)


Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:


Геометрические свойства кривых второго порядка

Геометрические свойства кривых второго порядка

Геометрические свойства кривых второго порядка (2.3)


В уравнении (2.3) коэффициенты при Геометрические свойства кривых второго порядка приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно Геометрические свойства кривых второго порядка


Геометрические свойства кривых второго порядка (2.4)


Решив систему (2.4), получим:


Геометрические свойства кривых второго порядка

Центр кривой Геометрические свойства кривых второго порядка имеет координаты Геометрические свойства кривых второго порядка, Геометрические свойства кривых второго порядка. Поставим найденные значения Геометрические свойства кривых второго порядка в уравнение (2.3). В новой системе координат Геометрические свойства кривых второго порядка в уравнении (2.3) коэффициенты при Геометрические свойства кривых второго порядка равны нулю и уравнение примет вид


Геометрические свойства кривых второго порядка,

Геометрические свойства кривых второго порядка

Геометрические свойства кривых второго порядка. (2.5)


Так как Геометрические свойства кривых второго порядка, то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол Геометрические свойства кривых второго порядка. При повороте осей координат на угол Геометрические свойства кривых второго порядка координаты Геометрические свойства кривых второго порядка произвольной точки Геометрические свойства кривых второго порядка плоскости в системе координат Геометрические свойства кривых второго порядка и координаты Геометрические свойства кривых второго порядка в новой системе координат Геометрические свойства кривых второго порядка связаны соотношениями


Геометрические свойства кривых второго порядка (2.6)


Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим


Геометрические свойства кривых второго порядка


Раскроем скобки и приведем подобные члены


Геометрические свойства кривых второго порядка

Приводя подобные члены, получим уравнение


Геометрические свойства кривых второго порядка (2.7)


Теперь выберем такой угол Геометрические свойства кривых второго порядка, что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении Геометрические свойства кривых второго порядка равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла Геометрические свойства кривых второго порядка:


Геометрические свойства кривых второго порядка. (2.8)


Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на Геометрические свойства кривых второго порядка. Мы можем это сделать, так как Геометрические свойства кривых второго порядка, потому что если Геометрические свойства кривых второго порядка (то есть Геометрические свойства кривых второго порядка), то при подстановке Геометрические свойства кривых второго порядка в уравнение (2.8) получим, что и Геометрические свойства кривых второго порядка, что противоречит основному тригонометрическому тождеству Геометрические свойства кривых второго порядка. Получим уравнение


Геометрические свойства кривых второго порядка. (2.9)


Решая уравнение (2.9), получим


Геометрические свойства кривых второго порядка, Геометрические свойства кривых второго порядка.


Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: Геометрические свойства кривых второго порядка, Геометрические свойства кривых второго порядка. Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:

Геометрические свойства кривых второго порядка


Возьмем для определенности Геометрические свойства кривых второго порядка. Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть


Геометрические свойства кривых второго порядка, (2.10)


Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:


Геометрические свойства кривых второго порядка


и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:


Геометрические свойства кривых второго порядка


И, соответственно, уравнение


Геометрические свойства кривых второго порядка (2.11)


— это каноническое уравнение исходной гиперболы.

III. Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой


Пусть Геометрические свойства кривых второго порядка и Геометрические свойства кривых второго порядка — фокусы, Геометрические свойства кривых второго порядка — эксцентриситет, Геометрические свойства кривых второго порядка — центр, а Геометрические свойства кривых второго порядка — директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: Геометрические свойства кривых второго порядка, Геометрические свойства кривых второго порядка, где Геометрические свойства кривых второго порядка и Геометрические свойства кривых второго порядка. Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что Геометрические свойства кривых второго порядка, Геометрические свойства кривых второго порядка, и значит Геометрические свойства кривых второго порядка. Отсюда получаем Геометрические свойства кривых второго порядка, Геометрические свойства кривых второго порядка.

Эксцентриситет гиперболы (2.11)


Геометрические свойства кривых второго порядка.


Директрисы гиперболы задаются уравнениями: Геометрические свойства кривых второго порядка и Геометрические свойства кривых второго порядка. Подставляя найденные значения Геометрические свойства кривых второго порядка и Геометрические свойства кривых второго порядка, получаем:


Геометрические свойства кривых второго порядка


Прямые Геометрические свойства кривых второго порядка и Геометрические свойства кривых второго порядка в канонической системе координат Геометрические свойства кривых второго порядка называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:

Геометрические свойства кривых второго порядка


IV. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат


Теперь напишем уравнения осей новой системы Геометрические свойства кривых второго порядкав исходной системе координат Геометрические свойства кривых второго порядка.

Так как система Геометрические свойства кривых второго порядка — каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — Геометрические свойства кривых второго порядка, то есть оси Геометрические свойства кривых второго порядка и Геометрические свойства кривых второго порядкапроходят через точку Геометрические свойства кривых второго порядка.

В пункте II было установлено, что угловой коэффициент оси Геометрические свойства кривых
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: