Конспект лекций по дискретной математике

Приложение Булевой алгебры к синтезу комбинационных схем

Двоичная система логики:

1. Элементы Булевой алгебры:

а) числа

b) переменные

с) операции

d) выражения

e) функции

f) законы

А) Числа:

Два числа: логический ноль и логическая единица в Булевой алгебре отождествляются с понятиями “истина” и ”ложь”.

В) Переменные:

Булевы (логические, двоичные) переменные называются переменными, принимающими значение из множества - ноль и единица.

С) Операции:

1. Отрицание (инверсия).

2. Конъюнкция (логическое умножение).

3. Дизъюнкция (логическое сложение).

Унарной является операция отрицания.

Обозначения:

1. Отрицание , щ x

2. Конъюнкция a&b, a·b, ab, aЩb

3. Дизъюнкция aЪb

D) Выражения:

Переменные, знакооперации, соединенные вместе при возможном наличии скобок для задания порядка выполнения операций.

Приоритет задается порядком операции.

Е) Функции:

Булевой (логической) функцией называется такая функция, аргументами которой являются булевы переменные, и сама функция принимает значение из множества ноль и единица.

Областью определения Булевой функции является совокупность 2ⁿ двоичных наборов ее аргументов. Набор аргументов можно рассматривать как n-компонентный двоичный вектор.

Формы задания Булевой функции:

1. Аналитическая (в виде логического выражения)

2. Табличная (в виде таблицы истинности)

3. Графическая

4. Таблично-графическая (в виде карты Карно)

5. Числовая

6. Символическая форма

1) Аналитическая:

_ _

y=(x₁ Ъ x₂) x₃

_ _ _ _ _ _

y=x₁ x₂ x₃ Ъ x₁ x₂ x₃ Ъ x₁ x₂ x₃

2) Табличная:

Переход от аналитической к табличной однозначен! Обратный переход не является однозначным.

Основные законы (тождества)

1) ab=ba

aЪb=bЪa

2) Ассоциативный:

a(bc)=(ab)c

aЪ(bЪc)= (aЪb) Ъc

3) Дистрибутивный:

a(bЪc)=abЪac

aЪ(bc)=(aЪb)(aЪc)

4) Закон двойного отрицания:

=

a=a

5) Тавтологии:

aa=a

aЪa=a

6) Законы нулевого элемента:

a0=0

aЪ0=a

7) Законы единичного элемента:

а1=а

аЪ1=1

8) Законы дополнительного элемента:

_

В Булевой алгебре дополнительным элементом к а является а.

_ _

аЪа=1; аа=0

9) Двойственности (деМоргана):

__ _ _

ab=aЪb

___ _ _

aЪb=a b

Cледствия: ab=aЪb; aЪb=a b

10) Поглощения:

aЪab=a

a(aЪb)=a

11) Сокращения:

_

аЪаb=aЪb

_

a(aЪb)=ab _ _ _ _

Cледствия: aЪab=aЪb; a(aЪb)=ab

12) Склеивания:

_ _

abЪab=a; (aЪb)(aЪb)=a

Комментарии:

1) Для доказательства законов можно использовать:

а) Метод совершенной индукции.

б) Использование одних законов для доказательства других законов.

Метод совершенной индукции состоит в доказательстве эквивалентности левой и правой части на всем множестве наборов аргументов. Для этого составляется таблица истинности.

2) Большинство законов задается парой соотношений, при этом одно соотношение можно получить из другого заменив операции конъюнкции на дизъюнкцию или дизъюнкцию на конъюнкцию (метод не применим в законах, в которых участвуют константы). С константами же константы заменяются на противоположные значения. (Дуальность законов Булевой алгебры)

3) Некоторые законы можно распространять на произвольное число элементов.

4) В любом законе можно заменить любую букву на произвольное логическое выражение.

5) Законы применяются для упрощения Булевых функций.

Разнообразие Булевых функций.

1. Булева функция от одной переменной.

2. Возможные функции от двух переменных.

Определение: Булева функция от n аргументов fⁿ(x) называется вырожденной по аргументу x_i, если ее значение не зависит от этого аргумента, то есть для всех наборов аргументов имеет место равенство:

f(x₁, x₂, ... , x_i-1, 0, x_i+1, ... , x_n) = f(x₁, x₂, x_i-1, 1, x_i+1, ... , x_n).

Функция запрета x₁Dx₂ принимает значение, равное нулю при равенстве запрещающей переменной (x₂) единице и повторяет значение аргумента x₁ при равенстве запрещающей переменной нулю.

Понятие импликации в Булевой алгебре отождествляется с выражением следования (если ... то ... ).

Пример: Имеют место два простых высказывания.

А. На небе тучи.

В. Идет дождь. В®А

Из истины не может следовать ложь!

Некоторые функции от трех переменных.

Функция - сумма по модулю 2 и исключающее ИЛИ являются эквивалентными только для двух аргументов.

_n

Общее разнообразие функций от n аргументов равно 2²

В самом компактном виде любую Булеву функцию можно представить символически: , где n-количество аргументов, а N-десятичный эквивалент двоичного набора значений функции на упорядоченном множестве аргументов.

Пример:

f³(x)=x₁Еx₂Еx₃=

Невырожденные функции от двух переменных с добавлением функции отрицания принято называть функциями Булевой алгебры. С учетом обращаемости некоторых базовых функций к некоторым аргументам, их общее количество равно девяти.

Нормальные формы Булевых функций

Нормальные формы - это особый класс аналитических выражений, используемых при решении задачи минимизации Булевых функций и для перехода от табличной формы задания к аналитической. Нормальные формы строятся на основании операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, причем отрицание только единственной переменной.

Определение: Элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) называется конъюнкция (дизъюнкция) конечного числа попарно различимых переменных или их отрицаний.

Элементарную конъюнкцию (дизъюнкцию) принято называть конъюнктивным (дизъюнктивным) термом.

В частном случае терм, как конъюнктивный так и дизъюнктивный может состоять из единственной буквы (литерала). Под буквой будем понимать аргумент Булевой функции и его отрицания.

Примеры конъюнктивных термов:

_ _

x₁, x₂, x₁x₃, x₂x₄x₅ (терм)

___ _

x₁x₂, x₁x₂x₃ (не терм)

Рангом терма называется количество букв входящих в него.

Дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой Булевой функции называется дизъюнкция (конъюнкция) конечного числа попарно различимых конъюнктивных (дизъюнктивных) термов.

Каноническая нормальная форма.

Конституентой единицы (нуля) называется конъюнктивный (дизъюнктивный) терм максимального ранга. Т.е. для Булевой функции от n переменных конституента включает в себя n букв.

Свойство конституенты: Конституента единицы (нуля) принимает значение единицы (нуля) на одном и только одном наборе аргументов.

Пример: _ _

n=4 x₁x₂x₃x₄ (1010)=1

_ _ _

x₁Ъx₂Ъx₃Ъx₄=0

Определение: Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется канонической, если все ее дизъюнктивные (конъюнктивные) термы представляют собой конституенты единицы (нуля). Иногда канонические формы называют совершенными.

Пример получения канонических форм:

y=x₁Еx₂

КДНФ - каноническая дизъюнктивная нормальная форма:

_ _

y=x₁x₂Ъx₁x₂

ККНФ - каноническая конъюнктивная нормальная форма:

_ _

y=(x₁Ъx₂)(x₁Ъx₂)

1) С помощью канонических форм наиболее просто осуществляется переход от табличной формы задания Булевой функции к аналитической.

2) С помощью канонических форм можно осуществить преобразование любой функции в Булев базис.

3) Любая Булева функция за исключением логического нуля и логической единицы имеет единственные КДНФ и ККНФ. Логическую единицу можно представить в виде КДНФ и логический ноль в виде ККНФ.

4) Правило перехода от табличной формы задания Булевой функции к аналитической:

а) в таблице истинности выделяются все наборы аргументов, при которых функция равна единице (нулю).

б) для каждого из этих наборов составляют конституенты единицы (нуля).

в) объединением конституенты единицы (нуля) знаками дизъюнкции (конъюнкции) получается аналитическая форма в виде КДНФ (ККНФ).

Пояснение: при составлении конституент единицы (нуля) используют следующее правило:

Если некоторый аргумент принимает на наборе значение равное нулю, то в конституенту единицы он входит с отрицанием, а в конституенту нуля без него.

5) КДНФ и ККНФ представляют собой две различные, но эквивалентные аналитические формы булевой функции. Это означает, что из одной формы можно получить другую, используя законы Булевой алгебры.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

y=(x₁Ъx₂)(x₁Ъx₂)=x₁x₁Ъx₁x₂Ъx₂x₁Ъx₂x₂=x₁x₂Ъx₂x₁=x₁x₂Ъx₁x₂ (КДНФ)

6) Принципиально существует другой способ получения ККНФ:

а) составляется КДНФ, но не для самой, а для ее отрицания.

б) берется отрицание над полученной КДНФ, которое снимается с применением закона двойственности.

_ _ _ = ------------ ----- ---- _ _

y=x₁x₂Ъx₁x₂, y=y=x₁x₂Ъx₁x₂=x₁x₂ x₁x₂=( x₁Ъx₂)(x₁Ъx₂)

Разнообразие двоичных алгебр

В связи с тем, что любую сколь угодно сложную Булеву функцию можно представить в канонических формах, то есть записать ее с помощью операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции эта система Булевых операций обладает свойством функциональной полноты, т.е. образует так называемый базис. Естественно предположить, что система Булевых операций является не единственной, с помощью которой можно образовать некоторый базис.

В принципе любую из базовых функций можно отождествить соответствующей операцией и на основе совокупности этих операций построить двоичные алгебры, отличные от Булевой. К наиболее распространенным двоичным алгебрам относятся: алгебра Жигалкина (Е, &); алгебра Вебба (Пирса) (Ї); алгебра Шеффера ( | ). В каждой из этих алгебр действуют собственные законы. Естественно существуют взаимно однозначные переходы от операций одного базиса к операциям другого.

Числовое представление Булевых функций

Для любой Булевой функции можно предложить две числовые формы, основанные на перечислении десятичных эквивалентов наборов аргументов на которых функция принимает значение единицы (нуля).

f³(x)=(0,2,6,7) - от этой числовой формы легко перейти к КДНФ путем замены каждого из наборов в перечислении конституенты единицы.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

y=x₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃Ъx₁x₂x₃=x₁x₃(x₂Ъx₂)Ъx₁x₂(x₃Ъx₃)=x₁x₃Ъx₁x₂ (ДНФ)

f³(x)=&(1,3,4,5)

_ _ _ _ _ _

y=(x₁Ъx₂Ъx₃) (x₁Ъx₂Ъx₃) (x₁Ъx₂Ъx₃) (x₁Ъx₂Ъx₃) (*)

Преобразование произвольной аналитической формы Булевой функции в нормальную

В Булевой алгебре в виде теоремы доказывается следующее утверждение: существует единый конструктивный подход, позволяющий преобразовать аналитическое выражение Булевой алгебры в произвольной форме к нормальной форме.

Пример:

_ _ _ _ _ _

y=f⁴(x)=(x₁x₂Ъx₂x₃)(x₁|x₄)=(x₁x₂Ъx₂x₃)(x₁x₄)=(x₁x₂Ъx₂x₃)(x₁Ъx₄)=

_ _ _ _ _ _ _