Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Курсовая работа
Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Ларченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
Перечень условных обозначений
1. Общие определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов
4. Решетки подгрупповых функторов
5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов
Заключение
Список использованных источников
Введение
Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу и подгруппами из факторуппы существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.
Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).
Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия:
1) для всех ;
2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и
Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.
Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.
Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.
В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.
Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.
Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.
В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".
Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.
Перечень условных обозначений
- принадлежность элемента множеству;
- знак включения множеств;
- знак строгого включения;
и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
Пусть - группа. Тогда:
- порядок группы ;
- порядок элемента группы ;
- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
- является подгруппой группы ;
- является собственной подгруппой группы ;
- является максимальной подгруппой группы ;
- является нормальной подгруппой группы ;
- является субнормальной подгруппой группы ;
- является минимальной нормальной подгруппой группы ;
- факторгруппа группы по подгруппе ;
- индекс подгруппы в группе ;
- нормализатор подгруппы в группе ;
Если и - подгруппы группы , то:
- и изоморфны.
Пусть - группа, и , тогда:
- правый смежный класс,
- левый смежный класс;
- совокупность всех нормальных подгрупп группы ;
- группа порядка ;
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная элементами и .
- подгрупповой - функтор или подгрупповой функтор на , где - некоторый класс групп;
- совокупность всех - подгрупп группы ;
- тривиальный подгрупповой - функтор;
- единичный подгрупповой - функтор;
- ограничение подгруппового - функтора на класс групп ;
- пересечение системы подгрупповых - функторов ;
- решётка всех подгрупповых - функторов;
- решётка всех замкнутых подгрупповых - функторов;
Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
1. Общие определения и обозначения
Бинарной алгебраической операцией на множестве называют отображение декартова квадрата во множество . Если - бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре элементов из соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на обозначают одним из символов: и т.д. Если, например, вместо условимся писать , то вместо пишем .
Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если для всех .
Если для всех , то операция называется ассоциативной.
Если