Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса
Контрольна робота
З дисциплiни: Вища математика
За темою (роздiлом навчального плану)
Прізвище,ім’я, по батькові студента
Данiщук Мирослава Евгенiївна
Прiзвище та інiцiали викладача
Дюженкова Ольга Юріївна
Київ 2008 рiк.
Завдання 1
Систему рівнянь записати в матричній формі та розв’язати методом оберненої матриці та методом Гауса.
(*)
Розв’язання.
Запишемо дану систему рівнянь (*) в матричній формі:
= . (1)
Введемо позначення:
А≡ - матриця системи,
Х ≡ - вектор-стовпець з невідомих членів,
В ≡ - вектор-стовпець з вільних членів.
1) Розв’яжемо систему рівнянь (*) методом оберненої матриці.
Домноживши рівність (1) зліва на обернену матрицю A-1 одержимо:
Знайдемо обернену матрицю до даної:
A-1 = ,
де А11= (-1) 2·=10-24=-14,А12= (-1) 3·=- (-6+6) =0,А13= (-
1) 4·=-12+5=-7,А21= (-1) 3·=- (-2+4) =-2,А22= (-1) 4
·=-6-1=-7,А23= (-1) 5·=- (-12-1) =13,А31= (-1) 4·=-
6+5=-1,А32= (-1) 5·=- (-18-3) =21,А33= (-1) 6·=-15-3=-18.
det A = = 30-6-12+5+6-72=-49.
Тому
A-1 = = - .
Отже, розв’язок даної системи в матричній формі запишеться так:
X = - ·=-=
=-=.
Тобто х1=1,х2=1,х3=1.
2) Розв’яжемо систему рівнянь методом Гауса.
Метод Гауса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень.
Спочатку виключимо х1 з другого та третього рівнянь системи (*).
Помножимо друге рівняння системи (*) на - 1 і додамо його до першого - запишемо замість другого рівняння,
Помножимо третє рівняння на - 3 і додамо його до першого - запишемо замість третього рівняння:
(2)
Тепер виключимо х3 з третього рівняння отриманої системи (2). Для цього помножимо третє рівняння системи (2) на - 1 і додамо до другого - запишемо замість третього рівняння системи:
(3)
З рівняння (3) маємо:
х2= 1,х2 = = 1,х3 = 5-3·1-1=1.
Відповідь. дана система в матричній формі:
= ,
її розв’язок (1; 1;1).
Завдання 2
Показати, що перші три вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору, і розкласти вектор за цим базисом (при розв’язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера):
= (1,2,3), = (2,2,3), = (1,1,1), = (5,7,10)
Розв’язання.
Для того, щоб вектори , , утворювали базис, необхідно щоб вони були лінійно незалежними. Тобто має виконуватись рівність:
α +β +γ = 0,за умови, що α = β = γ = 0.
Тобто
α +β +γ = 0,
або
= .
Тоді, система:
повинна мати тільки нульове рішення. Це можливо тільки, якщо її визначник не дорівнює нулю.
Визначник системи:
А = , det A = 1*2*1+2*1*3+2*3*1-3*2*1-2*2*1-3*1*1=10.
Отже, вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору.
Тоді вектор є їх лінійною комбінацією:
= b1 + b2 + b3 .
Числа b1, b2, b3 будуть координатами вектора у базисі , , . Знайдемо їх, розв’язавши відповідну систему:
Систему лінійних рівнянь розв’яжемо, використовуючи формули Крамера:
b1 = ,
b2 =
b3 = .
= det = 5*2*1+2*1*10+7*3*1-10*2*1-7*2*1-3*1*5 = 2,= det = 1*7*1+5*1*3+2*10*1-3*7*1-5*2*1-10*1*1 = 1,= det =1*2*10+2*7*3+2*3*5-3*2*5-2*2*10-3*7*1 = 1.
Тоді b1 = 2,b2 = 1,b3 = 1.
Отримали вектор у базисі , , : = 2 + + .
Відповідь. вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору, = 2 + + .
Завдання 3
Задано: координати трьох точок А, В, С. Записати рівняння сторін трикутника АВ, АС і ВС, висоти АК, знайти кут А і координати точки К.
A (0;
2), B (2;
3), С (1;
3).
Розв’язання.
рівняння АВ:
,
звідси рівняння прямої АВ: х - 2у + 4=0;
рівняння АС:
,
звідси рівняння прямої АС: х - у +2=0;
рівняння ВС:
,
звідси рівняння прямої ВС: у = 3.
2) З урахуванням перпендикулярності прямої ВС і висоти АK нормальний вектор прямої ВС є напрямним прямої АК: (0;
1) - нормальний вектор прямої ВС, (0;
1) - напрямний вектор прямої АК. Напишемо рівняння цієї прямої, враховуючи, що їй належить т. А (0;
2) -
=0
х = 0 - рівняння прямої АК.
3) кут А - гострий кут між прямими АВ і АС:
∟A = ∟BAK - ∟CAK,
де ∟BAK = arctg (BK / AK) = arсtg (2/1) = arсtg 2,∟CAK=arctg (CK / AK) = arctg (1/1) = ,
тому ∟ A = arctg 2 - .
4) Знайдемо точку К - точку перетину висоти АК і прямої ВС, тобто координати т. К є