Асимптота
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,
МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА
РЕФЕРАТ
по дисциплине: Высшая математика
на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
Выполнила: студентка 1 курса
Экономического факультета
(вечернее отделение)
Козлова М.А.
Проверил: Рошаль А.С.
Москва 2002 год
2
Содержание
Введение 3
2. Нахождение асимптоты 4
2.1 Геометрический смысл асимптоты 5
2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6
3. Виды 8
3.1 Горизонтальная асимптота 8
3.2 Вертикальная асимптота 9
3.3 Наклонная асимптота 10
Использованная литература 12
3
Введение
Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).
4
2. Нахождение асимптоты
Пусть функция f (x) определена для всех x а (соответственно для всех
x а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) kx l = 0 при х (соответственно при х ), то прямая
y = kx + l
называется асимптотой графика функции f (x) при x (соответственно при х ).
Существование асимптоты графика функции означает, что при х +
(или х ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.
x
3x
2
Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,
2 2
получим y = x 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х , то прямая y = x-4
является асимптотой графика данной функции как при х + ,
так и при х .
5
2.1 Геометрический смысл асимптоты
Рассмотрим
геометрический
смысл асимптоты.
Пусть М = (x,
f (x)) – точка графика
функции f,
М
- проекция этой
точки на ось
Ох, АВ – асимптота,
- угол
между асимптотой
и положительным
направлением
оси Ох,
,
MP –
перпендикуляр,
опущенный из
точки М на асимптоту
АВ, Q – точка
пересечения
прямой ММ
с асимптотой
АВ (рис.1).
(рис.1)
Тогда
ММ
= f (x), QM
= kx + l, MQ = MM
QM
= f (x) – (kx +l),
MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ 0 и MP 0 при х (соответственно при х ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,
то и lim MP = 0, и наоборот. х
х
Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х или, соответственно, х ).
6
2.2 Общий метод отыскания асимптоты
Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.
Будем рассматривать для определённости лишь случай х (при х рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х . Тогда, по определению,
f (x) = kx + l + 0
Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х . Тогда
lim
= k.
х
Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу
l = lim (f (x) – kx).
х
Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является
х
асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем
х
lim f (x) (kx + l) = 0,
х
то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x)