Xreferat.com » Рефераты по математике » Рішення лінійних рівнянь першого порядку

Рішення лінійних рівнянь першого порядку

Курсова робота:

Зміст


1. Введення

2. Постановка задачі

3. Знаходження власних чисел і побудова ФСР

4. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера

5. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду

6. Побудова загального рішення матричним методом

7. Задача Коші для матричного методу

8. Рішення неоднорідної системи

Графіки

Висновок

Література


1. Введення


Розглянемо систему лінійних рівнянь першого порядку, записану в нормальній формі:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку (1)


де коефіцієнти аij, i=1,2,….,n, до=1,2,.,n, є постійними величинами;

yi=yi (t), i=1,2,…,n-невідомі функції змінної t.

Якщо всі bi (t) (i=1,2,…,n) покласти рівним нулю (bi (t) =0), те вийде однорідна система, що відповідає неоднорідній системі (1).

Позначаючи матрицю системи через А (х), а вектор Рішення лінійних рівнянь першого порядку через Рішення лінійних рівнянь першого порядку тоді систему (1) можемо переписати в матричній формі


Рішення лінійних рівнянь першого порядку (1а)


Якщо Рішення лінійних рівнянь першого порядку, то одержуємо відповідну систему однорідних рівнянь


Рішення лінійних рівнянь першого порядку. (2)


Усяка сукупність n функцій


Рішення лінійних рівнянь першого порядку Рішення лінійних рівнянь першого порядку Рішення лінійних рівнянь першого порядку


певних і безупинно в інтервалі (a; b), називається рішенням системи (1) у цьому інтервалі, якщо вона обертає всі рівняння системи (1) у тотожності:


Рішення лінійних рівнянь першого порядкуРішення лінійних рівнянь першого порядку


справедливі при всіх значеннях x з інтервалу (a, b). Загальне рішення неоднорідної системи являє собою суму загального рішення відповідної однорідної системи й приватного рішення неоднорідної.

2. Постановка задачі


Ціль роботи: дослідження методів рішення системи диференціальних рівнянь із постійною матрицею:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку; Рішення лінійних рівнянь першого порядку; Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Завдання.

Знайти власні числа й побудувати фундаментальну систему рішень (ФСР).

Побудувати фундаментальну матрицю методом Ейлера.

Знайти наближене рішення у вигляді матричного ряду.

Побудувати загальне рішення матричним методом. Досліджувати залежність Жорданової форми матриці А від її власних чисел.

Вирішити задачу Коші.


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Початкові умови:

Вектор початкових умов: [1, 2, 3, 4]

t = 0

3. Знаходження власних чисел і побудова ФСР


Однорідною лінійною системою диференціальних рівнянь називається система рівнянь виду:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку (3)


Якщо в матриці системи Рішення лінійних рівнянь першого порядку всі Рішення лінійних рівнянь першого порядку=const, то дана система називається системою з постійними коефіцієнтами або з постійною матрицею.

Фундаментальною системою рішень однорідної лінійної системи рівнянь називається базис лінійного простору рішень (, тобто n лінійно незалежних рішень цієї системи.

Для побудови фундаментальної системи рішень диференціального рівняння необхідно знайти власні числа характеристичного полінома, тому що залежно від їхнього виду (характеристичні числа можуть бути дійсними різними, кратними, комплексними) будується фундаментальна система рішень. Для того щоб ця система n лінійних однорідних рівнянь із n невідомими мала нетривіальне рішення, необхідно й досить, щоб визначник системи (вронскиан) дорівнює нулю:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку (4)


Із цього рівняння ступеня n визначається значення k, при яких система має нетривіальні рішення. Рівняння (4) називається характеристичним.

Запишемо характеристичний поліном, для цього скористаємося функцією CHARPOLY


Рішення лінійних рівнянь першого порядку

Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Для знаходження власних чисел скористаємося функцією SOLVE (U, (), що повертає характеристичні числа матриці А в вектор (. Одержимо:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку

Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Вийшло два дійсно корені Рішення лінійних рівнянь першого порядку й два комплексно-комплексно-сполучених корені Рішення лінійних рівнянь першого порядку. Отже, вектора, що утворять фундаментальну матрицю, для даного типу корінь будуть перебувати окремо для Рішення лінійних рівнянь першого порядку й окремо для Рішення лінійних рівнянь першого порядку. Запишемо ФСР для даних для отриманих характеристичних чисел:

Матрицю y (x (, стовпцями якої є рішення, що утворять фундаментальну систему, називають фундаментальною матрицею.


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


І загальне рішення системи буде виглядати в такий спосіб:


Рішення лінійних рівнянь першого порядкуРішення лінійних рівнянь першого порядку


Знайдемо рішення даної системи за допомогою методу Ейлера.


4. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера


Метод Ейлера полягає в наступному.

Рішення системи (1) перебуває у вигляді:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку (5)


Функція (5) є рішенням системи (1), якщо Рішення лінійних рівнянь першого порядку - власне значення матриці А, а а - власний вектор цієї матриці, що відповідає числу Рішення лінійних рівнянь першого порядку.

Якщо власні значення Рішення лінійних рівнянь першого порядку1, Рішення лінійних рівнянь першого порядку2, …,Рішення лінійних рівнянь першого порядкуn матриці А попарно різні й a1, a2, …, an відповідні власні вектори цієї матриці, то загальне рішення системи рівнянь (1) визначається формулою:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


де З1, З2, …, Сn - довільні числа.

Для випадку кратних корінь рішення системи приймає вид


Рішення лінійних рівнянь першого порядку (6)


де Pi (x) - поліноми ступеня не вище, ніж (до-1), що мають у сукупності до довільних коефіцієнтів. Так що серед коефіцієнтів цих поліномів до коефіцієнтів є довільними, а залишилися до·n-k выражаются через них. Якщо для кратного власного значення Рішення лінійних рівнянь першого порядку матриці А є стільки лінійно незалежних власних векторів Рішення лінійних рівнянь першого порядку, яка його кратність, то йому відповідає k незалежних рішень вихідної системи:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Якщо для власного значення Рішення лінійних рівнянь першого порядку кратності k є тільки m (m<k) лінійно незалежних власних векторів, то рішення, що відповідають Рішення лінійних рівнянь першого порядку, можна шукати у вигляді добутку векторного багаточлена ступеня k - m на Рішення лінійних рівнянь першого порядку, тобто у вигляді:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Щоб знайти вектори Рішення лінійних рівнянь першого порядку, треба підставити вираження (4) у систему (3). Дорівнявши коефіцієнти подібних членів у лівій і правій частинах системи, одержимо рівняння для знаходження векторів Рішення лінійних рівнянь першого порядку.

Для даного завдання минулого знайдені наступні власні значення:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку.


Побудували фундаментальну систему рішень:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Знайдемо 1 рядок фундаментальної матриці рішень для характеристичного числа Рішення лінійних рівнянь першого порядку. Запишемо третій рядок рішень у загальному виді:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Де аij знайдемо по вираженню:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку або Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Отримана матриця:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Вирішуємо систему:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Отриманих корінь:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку

Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Тоді перший рядок буде мати вигляд:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Аналогічно знайдемо другий рядок фундаментальної матриці рішень для першого характеристичного числа - 1. Отримані значення:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Тоді другий рядок буде мати вигляд:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Знайдемо третю й четверту рядки фундаментальної матриці рішень для першого характеристичного числа Рішення лінійних рівнянь першого порядку. Сполучений коріньРішення лінійних рівнянь першого порядку не породжує нових речовинних лінійно незалежних приватних рішень.

Отримані значення:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Відокремлюючи в ньому речовинні й мнимі частини, одержимо два речовинних рішення, які й становлять першу й другу рядки фундаментальної матриці рішень


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Аналогічно інші 3:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Запишемо знайдену фундаментальну матрицю рішень:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Помножимо транспоновану фундаментальну матрицю рішень на вектор вільних коефіцієнтів Рішення лінійних рівнянь першого порядкуі одержимо вектор загального рішення вихідної системи:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Зробимо перевірку знайденого рішення в такий спосіб:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Одержуємо нульову матрицю-стовпець:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


що показує, що загальне рішення знайдене вірно.


5. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду


Дамо визначення матричному ряду й експонентній функції матриці.

Матричні ряди. Розглянемо нескінченну послідовність матриць Рішення лінійних рівнянь першого порядку, Рішення лінійних рівнянь першого порядку,Рішення лінійних рівнянь першого порядку. Будемо говорити, що послідовність матриць сходиться до матриці А: Рішення лінійних рівнянь першого порядку, якщо Рішення лінійних рівнянь першого порядку при Рішення лінійних рівнянь першого порядку. З визначення норми треба, що збіжність матриць еквівалентна заелементної збіжності. Матричним рядом називається символ Рішення лінійних рівнянь першого порядку, причому говорять, що цей ряд сходиться до суми Рішення лінійних рівнянь першого порядку, якщо до f сходиться послідовність часткових сум Sk, де


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Нехай Рішення лінійних рівнянь першого порядку, тоді можна визначити ступінь матриці А звичайним образом: Рішення лінійних рівнянь першого порядку (k раз). Розглянемо ряд, називаний статечним:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку, Рішення лінійних рівнянь першого порядку, Рішення лінійних рівнянь першого порядку,


де по визначенню покладемо A0 = En.

Експонентна функція матриці. Як приклад розглянемо статечної ряд, рівний:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку.


Тому що радіус збіжності відповідного числового ряду


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Дорівнює нескінченності, то ряд сходиться при всіх А. Сума ряду називається експонентною функцією (експонентою) і позначається через еА, якщо ехр{А}.

Приблизно вектор рішень можна знайти як добуток матричного ряду:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


і вектора початкових умов y0= [y1,y2, ….yk].

Формула є матричною задачею Коші в наближеному виді.

Експонентою Рішення лінійних рівнянь першого порядку матриці А називається сума ряду


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


де Е - одинична матриця. Матриця Рішення лінійних рівнянь першого порядкує рішенням матричної задачі Коші: Рішення лінійних рівнянь першого порядку є фундаментальною матрицею системи. Знайдемо розкладання матричного ряду послідовно по сімох, вісьмох і десяти перших членах.

Для одержання розкладання по 7 перших членах (аналогічно по 8,10 і 10). Результатом буде матриця 4*4. Отримані матриці множимо на вектор початкових умов S= [1,2,3,4] і одержуємо наближене рішення у вигляді матричного ряду.


Рішення лінійних рівнянь першого порядку

Рішення лінійних рівнянь першого порядку

Рішення лінійних рівнянь першого порядку

Рішення лінійних рівнянь першого порядку


При збільшенні членів розкладання ряду вектор наближених рішень буде прагнути до вектора точних рішень. Цей факт можна спостерігати, графічно порівнюючи зображення точного й наближеного рішень (див. додаток).

Помножимо на відповідний вектор початкових умов і одержимо наближене рішення у вигляді матричного ряду, запишемо отримане рішення для n=7.


[s1 ≔ 1, s2 ≔ 2, s3 ≔ 3, s4 ≔ 4]

Рішення лінійних рівнянь першого порядку


6. Побудова загального рішення матричним методом


Матричний метод рішення системи рівнянь (1) заснований на безпосереднім відшуканні фундаментальної матриці цієї системи.


Рішення лінійних рівнянь першого порядку

Рішення лінійних рівнянь першого порядкуЕкспонентою eA матриці А називається сума ряду

де Е - одинична матриця.

Властивість матричної експоненти: а) якщо АВ=ВА, те еА+В=еА*еВ= еВ *еА; б) якщо А=S-1*B*S, те еА=S-1*eB*S, де матриця S - це матриця перетворення змінних із власного базису в базис вихідних змінних. в) матриця y (t) =eAt є рішенням матричної задачі Коші: т.е. є фундаментальною матрицею системи (1).

Із властивості в) треба, що рішення y (t) системи (1) задовольняючій умові y (0) =y0, визначається вираженням y (t) =eAt*y0. Таким чином, задача знаходження рішень системи рівнянь (1) еквівалентна задачі відшукання матриці eAt по матриці А.

Для обчислення матриці eAt зручно представити матрицю А в виді:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку,


де матриця S - це матриця перетворення змінних із власного базису в базис вихідних змінних, а BА - жорданова форма матриці А, тому що eAt = S-1*eBt*S.

Жорданова форма матриці залежить від виду характеристичних чисел.

Нехай характеристичні числа дійсні кратні, тоді Жорданова форма матриці розмірності nxn має вигляд:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


де Рішення лінійних рівнянь першого порядку - дійсний корінь кратності n.

2. Якщо серед корінь характеристичного полінома є, як дійсні різні, так і дійсних кратних корінь, то матриця В має вигляд:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


де Рішення лінійних рівнянь першого порядку - дійсних різних корінь, а Рішення лінійних рівнянь першого порядку - дійсний корінь кратності 2.

При наявності серед корінь характеристичного полінома корінь комплексно-комплексно-сполучених Жорданова клітка виглядає в такий спосіб:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


де а Рішення лінійних рівнянь першого порядку комплексно сполучений корінь характеристичного полінома.

Тому що в нашім випадку серед характеристичних чисел присутні, як комплексно-комплексно-сполучені корінь л = 2 - ?? л = 2 +?, так і дійсний різних корінь л = - 1? л = 1, те жорданова матриця виглядає в такий спосіб:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


З рівняння A*S = S*В, де S - матриця, одержуємо систему 16-го порядку, з якої знаходимо елементи матриці S. Отримана матриця S буде виглядати в такий спосіб:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Вирішуємо систему 16-го порядку з рівняння A*S = S*В


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Знаходимо деякі елементи й одержуємо наступну матрицю S:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Зробимо перевірку A*S - S*В=0:


Рішення лінійних рівнянь першого порядку


Значить матриця переходу знайдена вірно.

Для знаходження вектора рішень y необхідно помножити матрицю S на

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: