Полунормальные подгруппы конечной группы
Дипломная работа
"Полунормальные подгруппы конечной группы"
Содержание
Введение
1 Силовские подгруппы конечных групп
2 Полунормальные подгруппы
2.1 Свойства супердобавлений
2.2 Супердобавления к максимальным подгруппам
2.3 Супердобавления к силовским подгруппам
3 Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами
3.1 Силовские множества и их свойства
3.2 Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых
групп
Заключение
Список использованных источников
Введение
В теории конечных групп видное место занимают результаты, связанные с исследованием существования дополнений к выделенным системам подгрупп. В классических работах Шура, Цассенхауза, Гашюца, Л.А. Шеметкова устанавливаются условия, при которых существует дополнение к нормальной подгруппе. В 1968 году в работе для получения существования дополнений к нормальной подгруппе Л.А. Шеметков стал рассматривать добавления. В настоящее время под минимальным добавлением к подгруппе в группе понимается такая подгруппа , что , но для любой собственной подгруппы из . Очевидно, что любая подгруппа конечной группы обладает минимальным добавлением. Ясно также, что дополнение является частным случаем минимального добавления.
Известно, что конечные разрешимые группы можно охарактеризовать как конечные группы, у которых дополняемы все силовские подгруппы. Эта теорема Ф. Холла явилась источником развития одного из направлений теории групп, состоящего в исследовании строения групп с выделенными системами дополняемых подгрупп. Как отмечает в своей монографии С.Н. Черников: «Изучение групп с достаточно широкой системой дополняемых подгрупп обогатило теорию групп многими важными результатами». К настоящему времени выделены и полностью изучены многие новые классы групп. При этом наметилась тенденция к обобщениям как самого понятия дополняемой подгруппы, так и способа выделения системы дополняемых подгрупп. Системы дополняемых подгрупп выделялись, например, с помощью таких понятий как примарность, абелевость, цикличность, нормальность и других свойств конечных групп и их комбинаций, а вместо дополняемости рассматривались –дополняемость, –плотность подгруппа, строго содержащаяся между ними), и др.
Однако условие существования дополнений к отдельным подгруппам является достаточно сильным ограничением. Далеко не все подгруппы обладают дополнениями. Вместе с тем каждая подгруппа обладает минимальным добавлением. Поэтому для исследования строения конечных групп с системами добавляемых подгрупп необходимо вводить дополнительные ограничения на минимальные добавления.
Квазинормальной называют подгруппу группы , которая перестановочна со всеми подгруппами группы . Ясно, что нормальные подгруппы всегда квазинормальны.
Минимальное добавление к квазинормальной подгруппе группы обладает следующим свойством: если – подгруппа из , то – подгруппа группы . Это наблюдение позволяет ввести следующее определение: минимальное добавление к подгруппе группы назовём супердобавлением, если является подгруппой для любой подгруппы из . Ясно, что нормальные и квазинормальные подгруппы обладают супердобавлениями. В симметрической группе силовская –подгруппа обладает супердобавлением, но не является квазинормальной подгруппой. Кроме того, не каждая подгруппа группы обладает супердобавлением.
Всякую факторизуемую группу можно рассматривать как группу с подгруппой и её добавлением , и как группу с подгруппой и её добавлением . Известно, что группа с нормальными сверхразрешимыми подгруппами и не всегда является сверхразрешимой. Отсюда следует, что формация всех сверхразрешимых групп не является классом Фиттинга. Известны следующие случаи, ведущие к сверхразрешимости группы с нормальными сверхразрешимыми подгруппами и :
– подгруппы и имеют взаимно простые индексы;
– группа имеет нильпотентный коммутант;
– подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из , а подгруппы из перестановочны со всеми подгруппами из . Подобная тематика разрабатывалась и в статье А.Ф. Васильева и Т.И. Васильевой.
В настоящей дипломной работе рассматриваются следующие вопросы: строение группы с максимальной полунормальной подгруппой и группы с полунормальной силовской подгруппой; признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами в факторах.
1. Силовские подгруппы конечных групп
По теореме Лагранжа порядок каждой группы делит порядок конечной группы. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. если натуральное число делит порядок конечной группы , то в группе может и не быть подгруппы порядка .
Пример 1.1 Знакопеременная группа порядка 12 не содержит подгруппу порядка 6.
Допустим противное, пусть – подгруппа порядка 6 в группе . Тогда и . Группа содержит подгруппы
Если , то и , противоречие. Поэтому , а т. к. , то . Противоречие. Поэтому допущение не верно и группа не содержит подгруппу порядка 6.
Вполне естественно возниает вопрос: для каких делителей порядка конечной группы имеется подгруппа порядка .
Положительный ответ на этот вопросв случае, когда – степень простого числа, даёт теорема Силова. Для доказательства теоремы Силова потребуется следующая лемма.
Лемма 1.2 Если порядок конечной абелевой группы делится на простое число , то в группе существует элемент порядка .
Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что существует абелева группа порядка , простое число делит , то в группе существует элемент порядка . Пусть .
Если делит для некоторого , то – элемент порядка , противоречие. Поэтому все элементы группы имеют порядки, не делящиеся на .
не делится на .
Так как группа абелева, то – подгруппа, и к произведению можно применить следующее
не делится на .
Затем обозначаем через и опять получаем, что не делится на . Через конечное число шагов приходим к выводу, что не делится на . Но
и , т.е. получаем, что не делит . Противоречие. Значит, допущение неверно и лемма спарведлива.
Пусть – простое число. - Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа . Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .
Теорема 1.3 Error: Reference source not found. Пусть конечная группа имеет порядок , где – простое число и не делит . Тогда спарведливы следующие утверждения:
в группе существует подгруппа порядка для каждого ;
если – -подгруппа группы и – подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;
любые две подгруппы порядка сопряжены в группе ;
число подгрупп порядка в группе сравнимо с единицей по модулю и делит .
Доказательство. Доказательство проведём индукцией по . По индукции считаем, что для всех групп, порядок которых меньше порядка утверждение теоремы выполняется. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Порядок центра делится на .
Так как – абелева группа, то к применима лемма 1.2. По этой лемме в есть элемент порядка . Так как – нормальная подгруппа группы порядка , то факторгруппа имеет порядок и по индукции в группе имеется подгруппа