Прогнозирование емкости и коньюктуры рынка
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Московский Государственный Текстильный Университет
имени А. Н. Косыгина
кафедра экономики
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ (вариант №23, 1 и 2 часть)
По курсу:
«Прогнозирование емкости и коньюктуры рынка».
Выполнил: студент группы 47-03
Котляр Владимир
Проверил:
Станкевич А.В.
Москва – 2007
Задание № 1
Период | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Уровень ряда | 16,7 | 17,2 | 17,5 | 19,4 | 16,8 | 19,3 | 16,5 | 19,4 | 18,1 | 16,1 |
На основании данных о еженедельном спросе на текстильную продукцию:
построить график (рис. 1) и визуально оценить наличие в нем тенденции;
проверить наличие или отсутствие в исходном временном ряде тенденции с помощью коэффициента Кендэла;
если исходный ряд является стационарным, то рассчитать точечный и интервальный прогноз с периодом упреждения прогноза, равным 1.
Рис. 1. Еженедельный спрос на текстильную продукцию
При визуальной оценке наличия в графике тенденции можно отметить сильную его приближенность к полиному высокого порядка (шестой степени), использование которого нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отражать случайные отклонения, что противоречит смыслу тенденции.
Таким образом, в результате визуальной оценки можно сделать вывод об отсутствии в графике тенденции.
2).
t | Yt | Pt | |
1 | 16,7 | - | |
2 | 17,2 | 1 | |
3 | 17,5 | 2 | |
4 | 19,4 | 3 | |
5 | 16,8 | 1 | |
6 | 19,3 | 4 | |
7 | 16,5 | 0 | |
8 | 19,4 | 6 | |
9 | 18,1 | 5 | |
10 | 16,1 | 0 | |
итого | 177 | 22 |
Определим расчетное значение коэффициента Кендэла (tр):
tр = | 4 Ч р | – 1, |
n Ч (n – 1) |
где n – количество уровней во временном ряде.
tр = | 4 Ч 22 | – 1 = -0,0222 |
10 Ч (10 – 1) |
Коэффициент Кендэла является случайной величиной, соответствует нормальному распределению и изменяется от -1 до +1. Теоретическими характеристиками коэффициента Кендэла являются математическое ожидание, которое равно нулю (Мt = 0) и дисперсия, рассчитываемая по формуле:
st2 = | 2 Ч (2 Ч n + 5) | . |
9 Ч n Ч (n – 1) |
st2 = | 2 Ч (2 Ч 10 + 5) | = | 50 | = 0,062 |
9 Ч 10 Ч (10 – 1) | 810 |
Если сопоставить расчетное и теоретическое значение коэффициента Кендэла, то может возникнуть три ситуации.
1) (0 – td Ч) < tр < (0 + td Ч),
где td – коэффициент доверия.
Данный вариант означает, что с вероятностью td во временном ряде нет тренда.
2) tр < (0 – td Ч)
Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место убывающая тенденция.
3) tр > (0 + td Ч)
Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место возрастающая тенденция.
При выбранной вероятности 0,95 (95%) коэффициент доверия td = 1,96.
(0 – 1,96 Ч ) < tр < (0 + 1,96 Ч )
- 0,488 < - 0,0222 < + 0,488
Таким образом, с вероятностью 95% можно говорить об отсутствии тенденции среднего уровня (тренда) во временном ряде.
3)
t | Yt | Yt-Yсреднее | (Yt-Yсреднее)^2 |
1 | 16,7 | -1 | 1 |
2 | 17,2 | -0,5 | 0,25 |
3 | 17,5 | -0,2 | 0,04 |
4 | 19,4 | 1,7 | 2,89 |
5 | 16,8 | -0,9 | 0,81 |
6 | 19,3 | 1,6 | 2,56 |
7 | 16,5 | -1,2 | 1,44 |
8 | 19,4 | 1,7 | 2,89 |
9 | 18,1 | 0,4 | 0,16 |
10 | 16,1 | -1,6 | 2,56 |
177 | 14,6 |
Так как во временном ряде нет тенденции, то данный временной ряд является стационарным процессом.
Поскольку в ряде отсутствует тенденция, то точечный прогноз определяется как средняя арифметическая простая:
== |
Syt | , |
n |
где n – количество уровней ряда.
== |
177 | = 17,7 |
10 |
Интервальный прогноз:
=+ tg Ч,
где tg – табличное значение по распределению Стьюдента с числом степеней свободы
К = n – 1 и уровнем значимости а; – дисперсия временного ряда.
= |
S(yt –)2 |
= | 14,6 | = 1,46 |
n | 10 |
При заданном уровне значимости a = 0,05 (g = 1 – а = 1 – 0,05 = 0,95) и числе степеней свободы К = 10 – 1 = 9, определим табличное значение t-критерия Стьюдента (см. Приложение 1). Табличное значение критерия Стьюдента tg = 2,262.
Определим интервальный прогноз.
=17,7 – 2,262 Ч= + 14,8
=24,16 + 2,262 Ч= + 20,6
Таким образом, с вероятностью 0,95 (95%) можно говорить о том, что на 11-ю неделю уровень ряда будет находиться в промежутке между 14,8 и 20,6.
Задание № 2
Период | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Уровень ряда | 11,0 | 10,8 | 10,7 | 10,5 | 11,7 | 12,2 | 12,5 | 12,1 | 13,0 | 13,7 | 13,0 | 14,0 |
По данным о ежедневном обороте магазина «Ткани для дома»:
построить график исходного временного ряда и визуально оценить наличие в нем тенденции и возможный ее тип. Сгладить исходный временной ряд с помощью скользящей средней (шаг сглаживания равен 3). Построить график сглаженного ряда и визуально оценить возможный в нем тип тенденции. Оба графика построить на одном чертеже (рис. 2). Результаты обеих визуальных оценок отметить в отчете;
оценить с помощью метода Фостера – Стюарта и коэффициента Кендела наличие тенденции (в среднем и дисперсии) в исходном временном ряде. Сравнить полученные оценки с оценками, полученными при выполнении пункта 1, и сделать окончательный свой вывод. Результаты вывода отметить в отчете;
по исходным данным методом усреднения по левой и правой половине определить параметры линейного тренда = а0 + а1t. Построить график исходного временного ряда и полученного линейного тренда на одном чертеже (рис. 3). Оценить визуально, отражает ли линейный тренд тенденцию временного ряда? Свой вывод отразить в отчете;
по исходным данным методом МНК рассчитать параметры линейного тренда = а0 + а1t. Кроме того, выбрать нелинейную модель, которая, по вашему мнению, может хорошо описать тенденцию исходного временного ряда. Рассчитать параметры выбранной вами нелинейной трендовой модели. Построить три графика (исходный временной ряд, линейная и выбранная вами нелинейная трендовая модели) на одном чертеже (рис. 4). Определить аналитическим способом, какая из двух трендовых моделей (линейная и нелинейная) наилучшим образом аппроксимирует исходный временной ряд;
построить график ряда отклонений еt (рис. 5) и визуально оценить отсутствие в нем тенденции. Оценить адекватность выбранной модели тренда исходному ряду на основе анализа данных ряда отклонений;
рассчитать точечную и интервальную прогнозную оценку с периодом упреждения, равным t = 1.
1)
t | yt | Скользящая сумма 3 уровней | Скользящая средняя из 3 уровней |
1 | 11,9 | - | |
2 | 12,6 | 36,7 | 18,35 |
3 | 12,2 | 38,7 | 19,35 |
4 | 13,9 | 40,4 | 20,2 |
5 | 14,3 | 42,8 | 21,4 |
6 | 14,6 | 44,2 | 22,1 |
7 | 15,3 | 44,3 | 22,15 |
8 | 14,4 | 45,5 | 22,75 |
9 | 15,8 | 46,9 | 23,45 |
10 | 16,7 | 49,9 | 24,95 |
11 | 17,4 | 50,2 | 25,1 |
12 | 16,1 | - | - |
Рис. 2. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный и сглаженный ряд)
После построения графика (рис. 2) можно сделать вывод о наличии возрастающей тенденции. После построения сглаженного ряда стало более наглядно видно наличие возрастающей тенденции.
2). а) Метод Фостера – Стюарта
t | Yt | Ut | lt | S | D | Pt |
1 | 11,9 | - | - | - | - | - |
2 | 12,6 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
3 | 12,2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
4 | 13,9 | 1 | 0 | 1 | 1 | 3 |
5 | 14,3 | 1 | 0 | 1 | 1 | 4 |
6 | 14,6 | 1 | 0 | 1 | 1 | 5 |
7 | 15,3 | 1 | 0 | 1 | 1 | 6 |
8 | 14,4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5 |
9 | 15,8 | 1 | 0 | 1 | 1 | 8 |
10 | 16,7 | 1 | 0 | 1 | 1 | 9 |
11 | 17,4 | 1 | 0 | 1 | 1 | 10 |
12 | 16,1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 |
175,2 | 8 | 8 | 61 | |||
Выдвинем нулевую гипотезу: во временном ряде (данные графы 2) нет тенденции среднего уровня и нет тенденции дисперсии. Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы необходимо рассчитать по формулам и значения t1 и t2. Но для этого надо знать значения μ, σ1, σ2 . В приложении 1 приведены данные для n=10 и для n=15, а нам надо найти данные для n=12.
Для нахождения данных при n=12 используем принцип интерполяции, предположив, что эти данные в интервале от n=10 до n=15 изменяются линейно, т.е. равномерно. Поэтому нам нужно к значениям данных при n=10 прибавить их изменения за два (2=12–10) шага и получить искомые данных.
Найдем μ для n=12 следующим образом. Значение μ для n=10, согласно приложению 1, равно 3,858. Увеличение μ при изменении n на 2 шага найдем следующим образом
.
Отсюда μ(12)=μ(10)+Δμ=3,858+0,311=4,169. Аналогичным образом найдем значения для σ1(12)=1,381 и для σ2(12)=2,040. По формулам (2.7) найдем значения t1 и t2
= (8 – 4,169)/1,381 = 3,326; = (8-0)/2,040 = 3,92
Случайные величины t1 и t2 имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы К = n – 1 = 12 – 1 = 11 и уровнем значимости a, который может принимать значения 0,01; 0,05 и т.д. Примем уровень значимости (вероятность, с которой исследователь может ошибиться), равный 0,05 (5%). На основе выбранного уровня значимости а = 0,05 рассчитаем доверительную вероятность: g = 1 – а = 1 – 0,05 = 0,95.
По числу степеней свободы К = 11 и величине доверительной вероятности g = 0,95 по таблице «Значение t-критерия Стьюдента» (Приложение 1)определим табличное значение случайной величины (tg): tg = 2,201.
Расчетные значения t1 и t2 сопоставим с табличным tg.
Если сопоставить расчетные значения t1 и t2 с табличным tg, то может возникнуть четыре ситуации.
1) |t1| > |tg|.
Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью g во временном ряде имеет место тенденция дисперсии.
2) |t1| < |tg|.
Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции принимается и с вероятностью g во временном ряде нет тенденции дисперсии.
3) |t2| > |tg|.
Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью g во временном ряде имеет место тенденция в среднем.
4) |t2| < |tg|.
Данный вариант означает, что нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции принимается и с вероятностью g во временном ряде нет тенденции в среднем.
1) 3,326 > 2,201; 3,92 > 2,201Ю нулевая гипотеза об отсутствии в ряде тенденции отвергается и с вероятностью g = 0,95 можно говорить, что во временном ряде имеет место тенденция дисперсии
б) Метод коэффициента Кенделла
Определим расчетное значение коэффициента Кендэла (tр):
tр = | 4 Ч р | – 1, |
n Ч (n – 1) |
где n – количество уровней во временном ряде.
tр = | 4 Ч 61 | – 1 = 0,85 |
12 Ч (12 – 1) |
Коэффициент Кендэла является случайной величиной, соответствует нормальному распределению и изменяется от -1 до +1. Теоретическими характеристиками коэффициента Кендэла являются математическое ожидание, которое равно нулю (Мt = 0) и дисперсия, рассчитываемая по формуле:
st2 = | 2 Ч (2 Ч n + 5) | . |
9 Ч n Ч (n – 1) |
st2 = | 2 Ч (2 Ч 12 + 5) | = | 58 | = 0,049 |
9 Ч 12 Ч (12 – 1) | 1188 |
Если сопоставить расчетное и теоретическое значение коэффициента Кендэла, то может возникнуть три ситуации.
1) (0 – td Ч) < tр < (0 + td Ч),
где td – коэффициент доверия.
Данный вариант означает, что с вероятностью td во временном ряде нет тренда.
2) tр < (0 – td Ч)
Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место убывающая тенденция.
3) tр > (0 + td Ч)
Данный вариант означает, что с выбранной вероятностью в ряде имеет место возрастающая тенденция.
При выбранной вероятности 0,95 (95%) коэффициент доверия td = 1,96.
tр > (0 + 1,96 Ч )
0,85 > + 0,434
Таким образом, с вероятностью 0,95 (95%) можно говорить о наличии в ряде возрастающей тенденции в среднем (тренда).
В ходе анализа временного ряда на наличие в нем тенденции среднего уровня (тренда) по методу Фостера – Стюарта и методу коэффициента Кенделла получены аналогичные результаты. Следовательно, в ряде отмечается возрастающая тенденция в среднем.
Таким образом, визуальная оценка нашла свое подтверждение в ходе аналитических расчетов с использованием соответствующих методов оценки временного ряда на наличие в нем тенденции.
3). Метод усреднения по левой и правой половине
Метод усреднения по левой и правой половине - графический метод, используется для нахождения параметров линейного тренда.
Для нахождения параметров а0 и а1 разделим исходные данные пополам и по каждой половине рассчитаем средние значения фактора и уровня ряда.
1 = |
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 | = 3,5 |
6 |
1 = |
11,9 + 12,6 + 12,2 + 13,9 + 14,3 + 14,6 | = 13,25 |
6 |
2 = |
7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 | = 9,5 |
6 |
2 = |
15,3 + 14,4 + 15,8 + 16,7 + 17,4 + 16,1 | = 15,95 |
6 |
В результате расчетов получили две точки: А (3,5; 13,25), В (9,5; 15,95).
Построим графическую модель исходного временного ряда и найдя точки А и В, проведем через них прямую, которая будет отображать тенденцию исходного временного ряда (рис. 3).
Рис. 3. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный ряд и линейный тренд)
Из графика видно, что построенный линейный тренд отражает тенденцию исходного ряда: возрастающий тренд.
Для нахождения параметра а0 продолжим линию до пересечения с осью ординат. Чтобы найти параметр а1, преобразуем уравнение тренда:
а1t = – а0 | :t
а1 = |
– а0 |
t |
Зададимся произвольным значение параметра t (например, t = 3,5). По графику модели найдем значение параметра а0 (а0 = 13,45). Рассчитаем значение параметра а1.
а1 = | 13,25 – 11,8 | = 0,41 |
3,5 |
Таким образом, уравнение линейного тренда будет иметь следующий конкретный вид:
= 11,8+ 0,41t.
4). Расчет параметров линейного тренда t = а0 + а1t по исходным данным методом МНК.
t | y | t2 | yt |
1 | 11,9 | 1 | 11,9 |
2 | 12,6 | 4 | 25,2 |
3 | 12,2 | 9 | 36,6 |
4 | 13,9 | 16 | 55,6 |
5 | 14,3 | 25 | 71,5 |
6 | 14,6 | 36 | 87,6 |
7 | 15,3 | 49 | 107,1 |
8 | 14,4 | 64 | 115,2 |
9 | 15,8 | 81 | 142,2 |
10 | 16,7 | 100 | 167 |
11 | 17,4 | 121 | 191,4 |
12 | 16,1 | 144 | 193,2 |
78 | 175,2 | 650 | 1204,5 |
Для нахождения параметров строится система нормальных уравнений.
=(175,2*650-78*1204,5)/(12*650-78*78)=11,614;
=(12*1204,5-175,2*78)/(12*650-78*78)=-0,459
Расчет параметров параболического тренда t = а0 + а1t + a2t2 по исходным данным методом МНК.
t | y | t2 | yt | t4 | yt2 | t3 |
1 | 11,9 | 1 | 11,9 | 1 | 11,9 | 1 |
2 | 12,6 | 4 | 25,2 | 16 | 50,4 | 8 |
3 | 12,2 | 9 | 36,6 | 81 | 109,8 | 27 |
4 | 13,9 | 16 | 55,6 | 256 | 222,4 | 64 |
5 | 14,3 | 25 | 71,5 | 625 | 357,5 | 125 |
6 | 14,6 | 36 | 87,6 | 1296 | 525,6 | 216 |
7 | 15,3 | 49 | 107,1 | 2401 | 749,7 | 343 |
8 | 14,4 | 64 | 115,2 | 4096 | 921,6 | 512 |
9 | 15,8 | 81 | 142,2 | 6561 | 1279,8 | 729 |
10 | 16,7 | 100 | 167 | 10000 | 1670 | 1000 |
11 | 17,4 | 121 | 191,4 | 14641 | 2105,4 | 1331 |
12 | 16,1 | 144 | 193,2 | 20736 | 2318,4 | 1728 |
78 | 175,2 | 650 | 1204,5 | 60710 | 10322,5 | 6084 |
Для нахождения параметров строится система нормальных уравнений.
na0 + a1St + a2St2 = Sy;
a0St + a1St2 + a2St3 = Syt;
a0St2 + a1St3 + a2St4 = Syt2.
а0 = | Sy St2 St4 + St St3 Syt2 + Syt St3 St2 – St Syt St4 – St3 St3 Sy – St2 St2 Syt2 | . |
n St2 St4 + St St3 St2 + St St3 St2 – St2 St2 St2 – St3 St3 n – St St St4 |
а0 = | 175,2 Ч 650 Ч 60710 + 78 Ч 6084 Ч 10322,5 + 1204,5 Ч 6084 Ч 650 – 78 Ч 1204,5 Ч 60710 – |
12 Ч 650 Ч 60710 + 78 Ч 6084 Ч 650 + 78 Ч 6084 Ч 650 – 650 Ч 650 Ч 650 – |
– 6084 Ч 6084 Ч 175,2 – 650 Ч 650 Ч 10322,5 | = 11,12. |
– 6084 Ч 6084 Ч 12 – 78 Ч 78 Ч 60710 |
а1 = | n Syt St4 + St Syt2 St2 + Sy St3 St2 – St2 Syt St2 – Syt2 St3 n – Sy St St4 | . |
n St2 St4 + St St3 St2 + St St3 St2 – St2 St2 St2 – St3 St3 n – St St St4 |
а1 = | 12 Ч 1204,5 Ч 60710 + 78 Ч 10322,5 Ч 650 + 175,2 Ч 6084 Ч 650 – 650 Ч 1204,5 Ч 650 – |
12 Ч 650 Ч 60710 + 78 Ч 6084 Ч 650 + 78 Ч 6084 Ч 650 – 650 Ч 650 Ч 650 – |
– 10322,5 Ч 6084 Ч 12 – 175,2 Ч 78 Ч 60710 | = 0,67. |
– 6084 Ч 6084 Ч 12 – 78 Ч 78 Ч 60710 |
а2 = | n St2 Syt2 + St St3 Sy + St Syt St2 – Sy St2 St2 – Syt St3 n – St St Syt2 | . |
n St2 St4 + St St3 St2 + St St3 St2 – St2 St2 St2 – St3 St3 n – St St St4 |
а2 = | 12 Ч 650 Ч 10322,5 + 78 Ч 6084 Ч 175,2 + 78 Ч 1204,5 Ч 650 – 175,2 Ч 650 Ч 650 – |
12 Ч 650 Ч 60710 + 78 Ч 6084 Ч 650 + 78 Ч 6084 Ч 650 – 650 Ч 650 Ч 650 – |
– 1204,5 Ч 6084 Ч 12 – 78 Ч 78 Ч 10322,5 | = -0,016. |
– 6084 Ч 6084 Ч 12 – 78 Ч 78 Ч 60710 |
Таким образом, параболический тренд имеет следующий вид:
t = 11,12 + 0,67 Ч t - 0,016 Ч t2.
Рис. 4. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный ряд, линейный и параболический тренд)
Проведем оценку аппроксимации линейного тренда и выбранной параболической трендовой модели с помощью критерия наименьшей суммы квадратов отклонений, который имеет следующий вид:
S = |
S(yt – )2 |
Ю min |
n – m |
где n – количество уровней ряда; m – число параметров трендовой модели.
t | yt |
Линейный |
Параболический |
||
t |
(yt – Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.),
обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus.
Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Похожие рефераты: |