Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии
6. Какой многоугольник лежит в основании призмы, если она имеет n граней?
Решение. Число сторон многоугольника, лежащего в основании, равно числу боковых граней призмы. Из условия следует, что это число равно n - 2, так как в призме две грани являются основаниями. Таким образом, в основании (n - 2)-угольник.
3)Задачи на доказательство.
1. В параллелепипеде диагонали основания равны, а боковое ребро перпендикулярно двум смежным сторонам основания. Докажите, что параллелепипед прямоугольный.
Доказательство. В основании - параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник, а боковое ребро перпендикулярно основанию по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Докажите, что число ребер призмы кратно 3.
Доказательство. В n-угольной призме боковых ребер n, а ребер нижнего и верхнего оснований 2n, всего 3n ребер.
3. Докажите, что сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы равна 360".
Доказательство. Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. В сечении - четырехугольник, сумма его углов S = 180°(4 - 2) = 360°.
4. Если призма имеет 18 граней, то в ее основании лежит 16-угольник. Докажите.
Доказательство. У призмы две грани оснований и, значит, боковых граней 16. Следовательно, в основании 16-угольник.
5. В кубе из вершины N проведены диагонали граней NE, NF, NK Концы их соединены отрезками (рис. 4.7). Докажите, что многогранник NEFK - правильный тетраэдр.
6. Если две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов их площадей равна квадрату площади третьей боковой грани (рис. 4.8). Докажите.
7. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным пятиугольником.
Доказательство. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны не параллельны.
4)Задачи на построение
Сечения можно рисовать на заранее подготовленном изображении призмы.
1. Постройте сечение куба в виде: а) треугольника, б) четырехугольника, в) пятиугольника, г) шестиугольника.
2. Постройте плоскость, проходящую через сторону нижнего основания треугольной призмы. Какие многоугольники получаются в сечении призмы при вращении этой плоскости вокруг стороны?
Ответ: сечение может иметь форму
треугольника, трапеции.
3. В правильной треугольной призме плоскость сечения ВСМ образует с плоскостью основания двугранный угол α (рис. 4.9). Постройте линейный угол этого двугранного угла. Дайте объяснения.
Построение. Проведем из вершины A правильного треугольника АВС высоту АК. Точка K принадлежит ребру ВС. Соответственно отрезок МК перпендикулярен ребру ВС. Угол МКА - искомый.
4. В основании прямой призмы (рис. 4.10) лежит равнобедренная трапеция. Сечение ABC1D1 образует с плоскостью основания двугранный угол α. Постройте его линейный угол.
Построение. Это угол между высотами трапеций ABCD и ABC1D1 проведенными из их общей вершины тупого угла. (Используем теорему о трех перпендикулярах.)
5. Сечение BCD1A1 прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.11) образует с плоскостью основания двугранный угол β. Как построить его линейный угол? Построение. Следует использовать теорему о трех перпендикулярах. Искомый угол - это угол между диагональю А1В (или D1C) .боковой грани и стороной основания АВ (или CD), лежащей в этой грани.
4.2 Задачи по теме «Пирамида».
1)Задачи на вычисление
1. В правильной четырехугольной пирамиде высота составляет с боковой гранью угол, равный 37°. Найдите угол между апофемами противоположных боковых граней.
Ответ: 74°.
2. Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
Ответ: 30°.
3. Периметр основания пирамиды равен 20 см, а площадь ее основания 16 см2. Найдите периметр и площадь сечения пирамиды, проведенного параллельно основанию через середину бокового ребра.
Ответ:10 см, 4 см2.
4. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основании, и равны 12 см. Вычислите высоту пирамиды.
Ответ: 6 см.
5. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 20 см, оно составляет с основанием угол 45°. Определите расстояние от центра основания до бокового ребра.
Решение. Искомое расстояние d равно длине высоты, опущенной из вершины равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу, которой является боковое ребро, d = 10 см.
Ответ: 10 см.
6. Используя рис. 4.12, на котором изображена правильная треугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 1 и табл. 2.
Таблица 1
№ | а | b | h | k | β |
1 | 6 | 4 | |||
2 | 12 | 45° | |||
3 | 4 | 60° | |||
4 | 4 |
2 |
Таблица 2
№ | а | k | h | b | α |
I |
2 |
|
|||
2 | 1 | 45° | |||
3 | 4 | 2 | |||
4 |
4 |
60° |
Указание. Перед решением задачи следует повторить и затем записать на доске формулы
NC = , ON = , OC =
7. Используя рис. 4.13, на котором изображена правильная четырехугольная пирамида, заполните пустые ячейки в табл. 3 и табл. 4.
Таблица 3
№ | а | k | h | b | α |
1 | 2 |
|
|||
2 |
2 |
45° | |||
3 | 6 | 3 | |||
4 | 4 | 30° |
Таблица 4
№ | а | b | h | k | β |
1 | 4 | 60° | |||
2 | 2 | 45° | |||
3 | 8 | 4 | |||
4 |
4 |
8 |
Указание. Перед решением этой задачи следует повторить и затем записать на доске формулы
AC = , ON = , OC =
8. Площадь боковой поверхности пирамиды, в основании которой лежит трапеция, равна 2Q. Боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы. Найдите сумму площадей боковых граней, проходящих через непараллельные стороны трапеции.
Ответ: Q.
9. В основании пирамиды лежит ромб. Боковые грани пирамиды образуют с основанием равные углы. Площадь одной из боковых граней равна Q. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ: 4Q.
10. Вычислите площадь боковой поверхности правильной пятиугольной пирамиды, если известно, что ее боковое ребро. равное а. со стороной основания составляет угол 60°
Ответ:
11. Дана правильная треугольная пирамида, у которой а - сторона основания, k - апофема, P - периметр основания, S1 - площадь боковой поверхности, S - площадь пирамиды. Заполните табл. 5.
Таблица 5
№ | а | k | Р | S1 | S |
1 | 5 | 75 | |||
2 | 24 | 24 | |||
3 | 18 | 297 | |||
4 | 45 | 315 | |||
5 |
198 |
202 |
Указание. Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу.
Перед решением необходимо повторить и записать на доске формулы:
, P=3a, S=S1+S2 , S2= (S2 - площадь основания пирам иды.)
12. Дана правильная четырехугольная пирамида. у которой а - сторона основания, k - апофема, P - периметр основания, S1 - площадь боковой поверхности, S - площадь пирамиды.
Таблица 6
№ | а | k | р | S, | S |
I | 6 | 12 | |||
2 | 13 | 689 | |||
3 | 16 | 288 | |||
4 | 44 | 396 | |||
5 | 352 | 416 |
Указание. Задачу следует решать по заранее заготовленному чертежу.
Перед решением следует повторить и записать на доске формулы:
, P=4a, S=S1+S2 , S2=a2 (S2 - площадь основания пирамиды.)
2)Задачи на исследование.
1. Сколько вершин, ребер и граней имеет n-угольная пирамида?
Ответ: n + 1 вершин. n + 1 граней, 2п ребер.
2. Какое основание может иметь пирамида, у которой все ребра равны?
Решение. Плоские углы при вершине пирамиды равны 60°, так как каждая боковая грань - равносторонний треугольник. Следовательно, боковых граней меньше, чем 360°: 60° = 6. т.е. в основании может быть равносторонний треугольник, квадрат или пятиугольник.
3. В каких пределах находится плоский угол α при вершине правильной n-угольной пирамиды. если n = 3, 4, 5, 6?
4. У треугольной пирамиды все боковые ребра равны. Может ли высота такой пирамиды находиться на одной из граней?
Ответ: может, если в основании прямоугольный треугольник.
5. Сравните термины: «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Можно ли утверждать, что они определяют одно и то же?
6. Боковые ребра пирамиды равны. Может ли ее основанием быть: а) прямоугольная трапеция, б) ромб?
Ответ: а) не может, поскольку такую трапецию нельзя вписать в окружность; б) может только в случае, если основание - квадрат.
7. При каком соотношении в правильной треугольной пирамиде между стороной основания а и боковым ребром b ее можно построить?
Ответ:
3)Задачи на доказательство.
1. Докажите, что число плоских углов в n-угольной пирамиде делится на 4.
2. Если в правильной треугольной пирамиде высота Н равна стороне основания а, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 60°. Верно ли это утверждение?
Решение. Высота пирамиды проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около основания, α - искомый угол,
tgα = = = , α=60°.
3. Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».
Решение. Основание пирамиды - правильный многоугольник. Так как боковые ребра равны, то вершина проектируется в центр основания, следовательно, пирамида - правильная.
4. Доказать, что сумма площадей проекций боковых граней пирамиды на основание может быть больше площади основания.
Ответ: может, если высота пирамиды не
проходит через основание пирамиды.
5.. Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.
Решение. Половина диагонали квадрата является катетом в прямоугольном треугольнике, этот катет равен , а боковое ребро - гипотенуза - равно 7 см. Получается, что катет больше гипотенузы.
6. Доказать, что в правильной пирамиде угол наклона бокового ребра к плоскости основания α меньше угла наклона боковой грани к плоскости основания β.
4) Задачи на построение.
1. Постройте два изображения одной пирамиды, одно - имеющее наибольшее число видимых ребер, другое - наименьшее число видимых ребер.
Указание. Вид со стороны вершины, все ребра видимые. Вид со стороны основания, видны только ребра основания.
2. В правильной четырехугольной пирамиде (рис. 4.14) апофема образует с плоскостью основания угол 1. Обозначьте этот угол на рисунке.
3. На рис. 4.15 изображена пирамида РАВС, у которой PH АВС, PK. ВС, TEРВС, Е PBC. Верен ли чертеж?
Решение. По условию PHАВС, PKВС, т.е. по теореме о трех перпендикулярах HK ВС, и PHK PBC. Так как, опять же по условию, TEРВС, то отрезок ТЕ либо параллелен плоскости РНК, либо принадлежит ей. В любом случае чертеж неверен.
4. На рис. 4.16 изображена пирамида КАBCD. Через точку М, МАВК, провести прямую, параллельную BD.
Решение. Проведем через прямую BD и данную точку М плоскость. Она пересечет грань АВК по прямой ВЕ (ЕКА), а грань ADK по прямой ED. В построенной плоскости BED проведем через точку М прямую параллельно BD.
5. Постройте точку пересечения прямой МН с плоскостью основания пирамиды SABCD (рис. 4.17).
6. В основании треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны, лежит прямоугольный треугольник (рис. 4.18). Постройте высоту пирамиды.
7. Через точку М на плоскости α (рис. 4.19) проведена прямая, которая пересекает грань АКС пирамиды КАВС в точке Н. Какую еще грань пересечет эта прямая?
8. Постройте многогранник, имеющий 11 ребер.
Указание. Четырехугольная пирамида имеет 8 ребер, если у нее «срезать» угол при основании, добавится 3 ребра. Всего у многогранника будет 11 ребер. [25], [26], [8], [12], [13]
Заключение
Целью данной работы было рассмотрение особенностей методики изучения темы «Многогранники» в курсе стереометрии 10-11 классов. В связи с чем были выполнены следующие задачи: были рассмотрены различные подходы к определениям многогранника, выпуклого многогранника и правильного многогранника, а также были сделаны выводы о том, какие подходы целесообразнее использовать в школе. Кроме того, были рассмотрены особенности изучения темы в учебниках разной направленности: общеобразовательной, гуманитарной, с математическим уклоном. Были рассмотрены также различные средства наглядности, которые могут быть использованы при изучении данной темы. И, наконец, были подобраны опорные задачи, которые можно использовать на уроке при изучении данной темы.
Таким образом, в данной работе были рассмотрены основные, общие моменты изучения многогранников в школьном курсе стереометрии. В следствие чего дальнейшие исследования могут проходить в направлении более детального изучения отдельных разделов данной темы, а также пропедевтического введения многогранников в курсе математики 5-6 классов.
Литература
Автономова Т.В. Основные понятия и методы школьного курса геометрии: Книга для учителя./ Т.В. Автономова, Б.И. Аргунов. – М.: Просвещение, 1988.
Александров А.Д. Что такое многогранник? / А.Д. Александров// Математика в школе. – 1981. - № 1-2.
Александров А.Д. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992. – 464 с.
Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 1998. – 207 с.
Бескин Л.Н. Стереометрия. / Л.Н. Бескин. - М.: Просвещение, 1971.
Болтянский В.Г. Выпуклые многоугольники и многогранники. / В.Г. Болтянский, И.М. Яглом // Математика в школе. – 1966. - № 3.
Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. / В.Г. Болтянский. - М.: Просвещение, 1985. – 320 с.
Веселовский С.Б. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. / С.Б. Веселовский, В.Д. Рябчинская. - М.: Просвещение, 1998. – 96 с.
Глаголев Н.А. Геометрия: Стереометрия. / Н.А. Глаголев, А.А. Глаголев. - М.: Учпедгиз, 1958.
Джордж Пойа. Математическое открытие. / Джордж Пойа. - М.: Наука, 1976.
Земляков А.Н. Геометрия в 10 классе: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова: Пособие для учителя. / А.Н. Земляков. - М.: Просвещение, 1986. – 208 с.
Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский. - М.: Просвещение, 2000.
Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. / Б.Г. Зив. – С.-Петербург, 1998.
Каченовский М.И. Математический практикум по моделированию. / М.И. Каченовский. - М.: Просвещение, 1959.
Киселев А.П. Геометрия: Учебник для 9-10 классов средней школы. / А.П. Киселев. - М.: Учпедгиз, 1956.
Клопский В.М. Геометрия: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. / В.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский / Под. ред. З.А. Скопеца. - М.: Просвещение, 1979.
Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. / Л.А. Люстерник. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. / Под. ред. А.И. Фетисова. - М.: Просвещение, 1967.
Методика преподавания математики: Общая методика. / Составители: Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985.
Паповский В.М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии в 10-11 кл. по учеб. пособию А.Д. Александрова, А.Л. Вернера, В.И. Рыжика: Кн. для учителя. / В.М. Паповский. - М.: Просвещение, 1993. – 223 с.
Петрова Е.С. Теория и методика обучения математике: Учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец.: В 3 ч. Ч. 1. Общая методика. / Е.С. Петрова - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. – 84 с.
Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 1990. – 384 с.
Преподавание геометрии в 9-10 классах. / (сб. статей) сост. З.А. Скопец, Р.А. Хабиб. - М.: Просвещение, 1980.
Саакян С.М. Изучение темы «Многогранники» в курсе 10 класса. / С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. // Математика в школе. – 2000. - № 2.
Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Призма». / И.А. Сверчевская. // Математика в школе. – 2003. - № 6.
Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Пирамида». / И.А. Сверчевская. // Математика в школе. – 2003. - № 7.
Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. для учащихся. / И.М. Смирнова. – М.: Просвещение, 1995. – 144 с.
Смирнова И.М. Геометрия: Учеб. пособие для 10-11 кл. гуманит. Профиля. / И.М. Смирнова. – М.: Просвещение, 1997. – 159 с.
Смирнова И.М. Об определении понятия правильного многогранника. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. – 1995. - № 3.
Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Изучение многогранников. / И.М. Смирнова. // Математика в школе. – 1994. - № 4.
Ходеева Т. Свойства многогранников. / Т. Ходеева. // Математика. – 2002. - № 11.
Приложение 1.
Урок повторения по теме «Многогранники» (10 класс).
Урок был проведен в 10 классе после изучения основных многогранников перед изучением правильных многогранников и симметрии.
Цели:
повторить основные виды многогранников (призмы и пирамиды), их частные виды;
повторить основные формулы для нахождения площади поверхности многогранников и его частных видов;
решить задачи разного уровня сложности по данной теме с применением уже известных знаний по многогранникам.
Оборудование: справочная таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», которая содержит 4 столбца: вид многогранника, чертеж, площадь боковой и полной поверхности, объем; готовые чертежи на отвороте доски для решения задач.
Ход урока:
1) Организационный момент.
2) Актуализация знаний.
Проводится фронтальная работа по таблице. Листочками на таблице закрыты названия многогранников, основные формулы и чертежи. Постепенно открываются чертежи, учащиеся по чертежу называют вид многогранника и основные формулы нахождения его полной и боковой поверхности. Колонка таблицы с формулами объема в работе не участвует, так как объем изучается в 11 классе. Таким образом, учащиеся вспоминают все необходимые факты для решения задач.
3)Решение задач.
На уроке предлагается решить две задачи по готовым чертежам (устное решение), две задачи письменно с построением чертежа и дополнительную задачу более сильным ученикам.
Задача 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб. Найдите: tg α.(рис.1).
Задача 2.Дано: DABC – правильная треугольная пирамида, DO (ABC), AB = 3·DO. Найдите: α.(рис2).
Задачи 1 и 2 имеют своей целью повторение некоторых фактов планиметрии и ранее изученных тем по стереометрии (например, перпендикулярность прямой и плоскости) и использование их в решении задач. При решении задачи, как правило, затруднения не возникают, но можно решение задачи 2 записать в тетрадь (что и было сделано на уроке).
Задача 3. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, C = 90°, A = 30°, BC = 10. Боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите ребра пирамиды и площадь боковой поверхности пирамиды.
Вычисление длины ребер в задаче 3 происходит без затруднений, площадь вычисляется немного сложнее. Но главная особенность данной задачи в том, что необходимо понять, куда падает высота и чем является ее основание. (При проведении урока как раз этот момент и вызвал затруднение.)
Задача 4. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основанием служит ромб. Сторона ромба равна a, BAD = 60°. Диагональ параллелепипеда B1D составляет с плоскостью боковой грани угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Задача 4 сложна тем, что, во-первых, в ней не все данные представлены числами, во-вторых, сложности возникают при определении угла между B1D и плоскостью боковой грани (задача была полностью разобрана на доске).
Задача 5. (дополнительная) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a . Угол между смежными боковыми гранями равен 2α . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Подведение итогов. По мере решения задачи проверяются, в конце урока даются указания для решения пятой задачи.[12],[13]
Вывод: урок поставленной цели достиг, учащиеся повторили основные виды многогранников, решили задачи разного уровня сложности, кроме того, повторили такие факты по планиметрии, как вычисление площадей многоугольников, и по стереометрии: угол между плоскостями, между прямой и плоскостью и другие. В целом уровень сложности задач соответствовал уровню подготовки учеников, и больших проблем при решении задач не возникло.
Приложение2.
Различные доказательства теоремы Эйлера.
Современная теория многогранников берет свое начало с работ Леонарда Эйлера (1707-1783) – одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих разделов математики. Л. Эйлер был не только выдающимся математиком, но и крупной творческой личностью. Им было написано около 760 научных статей для журналов, 40 книг, 15 работ для различных конкурсов. Поражает работоспособность ученого, росшая на протяжении всей жизни. Так, в первые 14 лет научной деятельности им было написано 80 работ объемом около 4000 печатных листов, а в последние 14 лет жизни, несмотря на тяжелую болезнь – слепоту, опубликовано свыше 359 работ общим объемом приблизительно 8000 печатных листов. Многие рукописи Эйлера сохранились до наших дней. Эйлер долгое время (с 1727 по 1741 год и с 1766 до конца жизни) жил и работал в России, был действительным членом Петербургской академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы, на подготовку кадров ученых – математиков и педагогов России.
Работы Эйлера дали толчок к постановке и решению различных проблем, способствовали развитию многих разделов математики. Математики последующих поколений учились у Эйлера. Например, французский ученый П. С. Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, он учитель всех нас».
В 1752 году Эйлером была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Она была помещена в работе «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».
Рассмотрим различные доказательства этой теоремы. В дальнейшем данный материал можно использовать как для факультативных и кружковых занятий, так и для самостоятельного изучения учениками.
Прежде чем рассматривать доказательство, обратимся к следующей таблице (Г- число граней многогранника, В – вершин, Р - ребер ):
Название многогранника | Г | В | Р |
Тетраэдр | 4 | 4 | 6 |
Четырехугольная призма | 6 | 8 | 12 |
Семиугольная пирамида | 8 | 8 | 14 |
Пятиугольная бипирамида | 10 | 7 | 15 |
Правильный додекаэдр | 12 | 20 | 30 |
Теперь найдем сумму Г+В-Р для каждого из представленных в таблице многогранников. Во всех случаях получилось: Г+В-Р=2. Справедливо это только для выбранных многогранников? Оказывается это соотношение справедливо для произвольного выпуклого многогранника. Это свойство впервые было подмечено и затем доказано Л. Эйлером.
Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2 (*), где Г – число граней, В – число вершин и Р – число ребер данного многогранника.
Доказательство. Существует множество различных доказательств теоремы Эйлера. Предлагается рассмотреть три наиболее интересных из них.
Наиболее распространенный способ, берущий свое начало в работе самого Эйлера и развитый в работе французского математика Огюста Коши (1789 - 1857) «Исследование о многогранниках» (1811 г.), заключается в следующем.
Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность «растянем» на плоскость. Тогда на плоскости получается сетка (рис 3), содержащая Г′=Г-1 областей (которые по-прежнему назовем гранями), В вершин и Р ребер (которые могут искривляться).
Для данной сетки нужно доказать соотношение
Г′+В-Р=1, (**)
тогда для многогранника будет справедливо соотношение (*).
Докажем, что соотношение (**) не меняется, если в сетке провести какую-либо диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет Г′+1 граней, В вершин и Р+1 ребро, т.е.
(Г′+1)+В-(Р+1)=Г′+В-Р.
Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники (на рисунке 3 диагонали изображены пунктирами), и докажем соотношение (**) методом математической индукции по числу n треугольников в сетке.
Пусть n=1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда Г′=1, В=3, Р=3 и выполняется соотношение(**). Пусть теперь соотношение (**) имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить следующими способами:
как ∆ABC (рис 3). Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В+1 вершин и Р+2 ребер, и, следовательно,
(Г′+1)+(В+1)-(Р+2)=Г′+В-Р;
Как ∆MNL. Тогда сетка состоит из Г′+1 граней, В вершин и Р+1 ребер, и, следовательно,
(Г′+1)+В-(Р+1)=Г′+В-Р.
Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении (n+1)-го треугольника, выражение (**) не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из (n+1) треугольника. Итак, соотношение (**) имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение (*). Такое доказательство предложено в [18].
2)Способ доказательства теоремы Эйлера, связанный с нахождением суммы плоских углов выпуклого многогранника. Обозначим ее ∑а. Напомним, что плоским углом многогранника являются внутренние плоские углы его граней.
Например, найдем ∑а для таких многогранников:
а) тетраэдр имеет 4 грани – все треугольники. Таким образом, ∑а = 4π;
б) куб имеет 6 граней – все квадраты. Таким образом, ∑а = 6∙π = 12π;
в) возьмем теперь произвольную пятиугольную призму. У нее две грани – пятиугольники и пять граней – параллелограммы. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна 3π. (Напомним, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна π (n-2).) Сумма углов параллелограмма равна 2π. Таким образом,
S1 = 2∙3π+5∙2π=16π.
Итак, для нахождения ∑а мы вычисляли сначала сумму углов, принадлежащих каждой грани. Воспользуемся этим приемом и в общем случае.
Введем следующие обозначения: S1, S2, S3, …, Sr – число сторон 1, 2, 3-й и т.д. последней грани многогранника. Тогда
∑а = π (S1-2)+ π (S2-2)+…+ π (Sr-2) = π (S1 +S2 +S3 +…+Sr - 2Г ).
Далее найдем общее число сторон всех граней многогранника. Оно равно S1 +S2 +S3 +…+Sr . Так как каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, имеем:
S1 +S2 +S3 +…+Sr = 2∙Р
(Напомним, что через Р мы обозначили число ребер данного многогранника.) Таким образом получаем:
∑а = 2π (Р-Г). (1)
Сосчитаем теперь ∑а другим способом. Для этого будем менять форму многогранника таким образом, чтобы у него не менялось число Г, В и Р. При этом может измениться каждый плоский угол в отдельности, но число ∑а останется прежним. Выберем такое преобразование многогранника: примем одну из его граней за основание, расположим его горизонтально и «растянем» для того, чтобы на него можно было спроектировать Другие грани многогранника. Например, на рисунке 4.а показано, к чему мы придем в случае тетраэдра, а на рисунке 4.б – в случае куба. На рисунке 5 показан многогранник произвольного типа.
Заметим, что спроектированный многогранник представляет слившиеся две наложенные друг на друга многоугольные пластины с общим контуром, из которых верхняя разбита на (Г-1) многоугольник, а нижняя на грани не делится. Обозначим число сторон внешнего окаймляющего многоугольника через r. Теперь найдем ∑а спроектированного многогранника. ∑а состоит из следующих трех сумм:
Сумма углов нижней грани, у которой r сторон, равна π (r-2).
Сумма углов верхней пластины, вершинами которых являются вершины нижней грани, тоже равна π (r-2).
Сумма «внутренних» углов верхней пластины равна 2π (В-r), так как верхняя пластина имеет (В-r) внутренних вершин и все углы группируются около них. Итак,
∑а = π (r-2) + π (r-2) + 2π (В-r) = 2πВ - 4π. (2)
Таким образом, сравнивая выражения (1)