Особенности обучения элементам геометрии в 5-6 классах с позиций пропедевтики изучения геометрии в средней школе
В данном комплекте имеется отдельная рабочая тетрадь с геометрическим материалом - пособие для работы непосредственно на содержащихся в нем заготовках с геометрическими упражнениями. Такое пособие делает разнообразным объем и содержание работы учеников и увеличивает объем их практической деятельности.
Геометрический материал учебника представлен в следующих главах:
Глава 1. Линии
Глава 5. Многоугольники
Глава 7. Треугольники и четырехугольники
Глава 10. Многогранники
В главе «Линии» формируются некоторые общие представления о линии (замкнутость, самопересечение, внутренняя область и др.). Целью главы является обучение учащихся осмысленному, грамотному и адекватному восприятию геометрических объектов. Учащимся предлагаются задания на распознавание линий и их изображение. При этом задачи на изображение подразделяются на два вида: вычерчивание некоторой конфигурации по описанию и воспроизведение заданной конфигурации. Особое внимание уделяется прямой и окружности. Выполняя упражнения, учащиеся встречаются с конфигурациями, содержащими две и более прямых, две и более окружностей, прямые и окружности. В данной главе представления о фигурах, связанных с прямой, дополняются и расширяются после изучения в начальной школе: вводятся понятия «луч» и «ломаная». Теперь учащиеся находят длину ломаной, расстояние между двумя точками, и, кроме того, они встречаются с задачей определения длины кривой.
Цель следующей главы «Многоугольники» - познакомить учащихся с новой геометрической фигурой — углом и развить представление о многоугольнике.
В этой главе материал содержит два смысловых блока. Первый из них связан с введением новой для учащихся геометрической фигуры, которой является угол, и связанных с ней понятий (виды углов, измерение углов). Одним из важнейших умений, которым они должны овладеть на этой стадии обучения, является сравнение углов. Второй блок содержания связан с многоугольниками и содержит материал, частично знакомый учащимся из начальной школы. Теперь им предстоит расширить свои представления об уже знакомых фигурах, усвоить связанную с ними терминологию (вершина, сторона, угол многоугольника, диагональ), научиться «видеть» их в более сложных конфигурациях.
В главе «Треугольники и четырехугольники» учащиеся углубят свои знания о треугольниках и четырехугольниках: они познакомятся с классификациями треугольников по сторонам и углам, со свойствами равнобедренного треугольника, а также со свойствами прямоугольника. Целью данной главы является развитие представления учащихся о прямоугольнике; сформировать понятие равных фигур, площади фигуры, научить находить площади прямоугольников и фигур, составленных из прямоугольников; познакомить с единицами измерения площадей.
В главе «Многогранники» важнейшей целью изучения данного раздела является развитие пространственного воображения учащихся. В данной главе учащиеся знакомятся с такими геометрическими телами, как цилиндр, конус и шар, объектом же более детального исследования являются многогранники (параллелепипед и пирамида). Кроме того, знакомятся со способами изображения геометрических тел на листе бумаги (рисунок сплошной или прозрачной модели, проекционный чертеж) и учатся «читать» эти изображения, отмечая основные конструктивные особенности геометрического тела: число вершин, ребер, граней, их расположение.
Таким образом, геометрический материал в учебнике для 5 класса общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2007 может быть охарактеризован как наглядно-деятельностный. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого учащимися усваиваются важнейшие свойства геометрических фигур, как плоских, так и пространственных.
2. Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000
Учебно-методический комплект Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000 также способствует формированию математического мышления школьников. Он также содержит учебник, рабочие тетради, дидактические материалы. Материал учебника содержит учебный (объяснительный) текст, в нем выделяются все необходимые понятия и термины, разбираются способы решения задач. Имеются также исторические факты, повышающие привлекательность материала, и разделы «Для тех, кому интересно». Система упражнений по каждому пункту разделена на две группы. Упражнения первой группы, как и в учебнике 5 класса, нацелены на формирование и отработку умений на уровне обязательной подготовки, а упражнения второй группы — на развитие более высокого уровня сложности. Диапазон сложности самых первых заданий (из группы А) и последних заданий (из группы Б) всегда значителен. В конце учебника также имеется раздел «Задания для итогового повторения».
И в этом комплекте представлена отдельная рабочая тетрадь с геометрическим материалом, которая позволяет расширять пространственные представления учащихся о геометрических объектах и увеличивает практическую деятельность учеников.
Геометрический материал учебника дается в следующих главах:
Глава 2. Прямые и окружности.
Глава 4. Симметрия.
Глава 6. Фигуры на плоскости и в пространстве.
Материал главы «Прямые и окружности» знакомит учащихся со всеми случаями взаимного расположения на плоскости двух прямых, прямой и окружности, двух окружностей. Основной целью главы является создание у учащихся зрительного образа основных конфигураций, связанных с взаимным расположением прямых и окружностей. Важно, что при изучении материала данной главы происходит дальнейшее развитие пространственных представлений и воображения учащихся. Учащимся предлагаются упражнения направленные на расширение понятия «расстояние» за счет введения понятия «расстояние от точки до фигуры» и его частного случая – расстояния от точки до прямой, а также расстояния между параллельными прямыми. Кроме того, усложняются задачи, связанные с расстоянием между двумя точками.
В главе «Симметрия» рассматриваются осевая, центральная и зеркальная симметрии. В отдельный пункт выделен вопрос о применении симметрии к решению некоторых геометрических задач, где рассматривается традиционная для занимательной математики задача о пауке и мухе. Цель главы – сформировать представление о симметрии в окружающем мире; познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве; расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанными с симметрией; также показать возможности использования симметрии при решении различных задач и построениях.
Данная глава «Фигуры на плоскости и в пространстве» является обобщающим, собирательным разделом в геометрической линии курса 5-6 классов. Здесь происходит новый виток в изучении вопросов, рассмотренных ранее. А именно, расширяются представления учащихся о многоугольниках: они знакомятся с новым видом четырехугольников - параллелограммом; знакомятся с новыми свойствами треугольников; приобретают новые графические умения по построению многоугольников и более сложные конструктивные умения. Расширяются представления учащихся о площади - они учатся находить площади различных фигур путем их перекраивания; впервые вводится понятие объема. Целью главы является обобщить и расширить знания о треугольниках и четырехугольниках; познакомить с понятием объема, единицами объема и правилом вычисления объема прямоугольного параллелепипеда.
Таким образом, обучение по комплекту Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000 продолжает, так же как и в комплекте 5 класса, организовываться как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого учащимися усваиваются важнейшие свойства геометрических фигур, как плоских, так и пространственных.
После рассмотрения комплектов учебников 5-6 классов под редакцией Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. можно сделать следующие выводы. Структура комплектов, четкая функциональная направленность каждого пособия, компоновка материала удобны для подбора материала и организации урока и в то же время не предполагают жесткой регламентации обучающей схемы. Обеспечивается уровневая дифференциация. Комплект в целом содержит достаточный объем материала для работы с учащимися разного уровня способностей и подготовленности и позволяет учителю строить учебный процесс с учетом реального уровня класса, группы учащихся, конкретного ученика; упражнения разделены на группы А и Б и представлены в широком диапазоне сложности; в учебник и дидактические материалы включается богатый и разнообразный материал, позволяющий выйти за рамки круга обязательных вопросов, применить полученные знания в различных ситуациях.
Методические особенности учебника заключаются в том, что выдвигается приоритет развития в обучении, меняются акценты в преподавании, явно выдвигается задача формирования интеллектуальной восприимчивости, гибкости и независимости мышления.
Введение новых понятий позволяет создать у учащихся запас содержательных представлений, служащих основой для последующей формализации, способствует пониманию, даёт возможность школьникам самостоятельно открывать новые знания. Широко используется диалог и обращение к ученику, опора на опыт учащихся, привлечение современных сюжетов при изложении теоретического материала и в задачах. Содержатся интересные для учащихся формы заданий: задания с выбором ответа, задачи-исследования, задания нестандартной формы, нестандартная форма вопроса. Учебники ориентированы как на сильного ученика, так и на слабого, так как задания по всем темам варьированы по степени трудности.
Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 1997.
Материал учебника разбит на две главы, каждая из которых содержит по четыре параграфа. Параграфы разбиты на небольшие пункты, посвященные отдельной теме. Материал каждого пункта изложен простым доступным для понимания 5-классников языком. В каждом пункте выделяются основные понятия, правила и теоретические сведения, которые следует либо запомнить, либо выучить наизусть. Кроме того, после объяснительного текста учебника имеются вопросы, позволяющие закрепить пройденный материал как на уроке всем классом, так и самостоятельно каждому ученику дома. Про текст хотелось отметить следующее. Для облегчения работы с объяснительным текстом, в учебнике новые термины не только выделены в тексте, но и продублированы на полях учебника, что дополнительно фиксирует внимание на каждом из этих слов и позволяет в дальнейшем внимание на каждом из этих слов и позволяет в дальнейшем легко находить в тексте новые понятия и их объяснение.
Следует отметить, что упражнения разбиты на рубрики. Отдельно выделены упражнения для работы в классе по теме данного пункта, упражнения для домашней работы. Все упражнения построены по принципу от простого к сложному. Задачи в каждом пункте учебника разбиты на три большие группы: 1-я – для работы в классе; 2-я – для решения дома; 3-я – повторительные упражнения. Для учащихся со средней математической подготовкой число упражнений в учебнике несколько избыточно. Это сделано для того, чтобы дать учителю возможность, исходя из особенностей конкретного класса, выбрать более легкие или, наоборот, более сложные задания, уделять большее внимание тому или иному виду задач, т.е. для успешного усвоения курса нет необходимости стремиться прорешать с детьми все задачи учебника.
Особенности упражнений для классной работы в том, что они расположены по степени их «обязательности», важности для формирования основных знаний и умений.
В упражнениях для домашней работы даны два вида задач: 1) упражнения, непосредственно связанные с изучаемой темой; они, как правило, по трудности соответствуют основным задачам раздела классных упражнений; 2) упражнения для систематического повторения ранее изученных разделов курса математики.
И наиболее сложная и многоцелевая группа задач, предусматривает:
задания для устного решения;
подготовительные задания для работы над новой темой;
задачи для непрерывного повторения ранее изученного;
задачи повышенной трудности;
упражнения, специально рассчитанные на развитие мышления детей, их памяти, внимания.
В этой же группе помещены задачи, которых сообщаются дополнительные сведения, расширяющие кругозор учащихся, готовящие их к глубокому усвоению курсов алгебры и геометрии в следующих классах, а также позволяющие учителю, «отталкиваясь» от задач, приведенных в учебнике, строить собственную систему внеклассной работы: занятий кружка и т.д.
Также имеются рубрики, включающие рассказы об истории возникновения и развития математики; рубрики, позволяющие учиться говорить правильно; и рубрика, включающая игры и упражнения, нацеленные на то, чтобы изучение математики было успешным, интересным. Следует отметить красочные иллюстрации, яркие цветные плашки, широкие свободные поля, дающие возможность отдохнуть глазам, цветные обрамления, цветной текст в некоторых разделах призваны (на уровне подсознания) создавать радостный настрой, заинтересованность привлекать и располагать к себе детей.
Геометрический материал не выделен в отдельные главы, он представлен отдельными пунктами:
П.2. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник
П.3. Плоскость. Прямая. Луч
П.4. Шкалы и координаты
П.18. Площадь. Формула площади прямоугольника
П.19. Единицы измерения площадей
П.20. Прямоугольный параллелепипед
П.21. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда
П.41. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник
П.42. Измерение углов. Транспортир
Второй пункт «Отрезок. Длина отрезка. Треугольник» позволяет учащимся актуализировать свои знания, полученные в начальной школе. А именно, чертить, измерять отрезки, распознавать и показывать на чертежах элементы треугольника. Изучая этот пункт, школьники вспоминают единицы измерения длины.
Пункт «Плоскость. Прямая. Луч» нацелен на введение понятий плоскость, прямая, луч. Упражнения этого пункта содержат задания на распознавание отличий между отрезком, прямой и лучом.
В пункте «Шкалы и координаты» учащиеся знакомятся с понятиями координатного луча, единичного отрезка и координатной точки. Одна из целей данного пункта – это научить учащихся пользоваться различными шкалами, определять и записывать координаты точек, находить место точки на координатном луче по данной координате.
Пункт «Площадь. Формула площади прямоугольника» нацелен на актуализацию учащихся имеющихся знаний из начальной школы о площади. Вводится понятие равных фигур, площадь треугольника.
геометрия пропедевтика преподавание
«Единицы измерения площадей». Данный пункт также не является новым для учащихся. Происходит актуализация знаний учеников о единицах площадей, полученные в начальной школе. Происходит ознакомление с новыми единицами площадей, с соотношениями между ними. Имеются упражнения, предполагающие выражение одних единиц площади через другие.
«Прямоугольный параллелепипед». Целью данного пункта является знакомство с геометрическим телом на примере прямоугольного параллелепипеда; и учить решать задачи на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. Вводятся такие понятия как: грань параллелепипеда, ребро параллелепипеда, вершина параллелепипеда, куб.
В пункте «Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда» учащиеся знакомятся с понятием объем. Учатся находить объем прямоугольного параллелепипеда.
«Угол. Прямой и развернутый угол». Чертежный треугольник. В данном пункте вводится понятие угла, обозначаются правила чтения и записи углов; вводятся понятия прямого, развернутого угла, тупого, острого угла.
В пункте «Измерение углов. Транспортир» целью является ознакомление учащихся с транспортиром, научить измерять и строить углы.
Таким образом, геометрический материал в учебнике Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 1997. может быть охарактеризован как наглядно-образный. Многие понятия даются лишь на ознакомительном уровне. Обучение организуется как образовательный процесс, направленный на знакомство с плоскими и пространственными геометрическими фигурами, в ходе которого учащимися усваиваются важнейшие свойства этих фигур, а также ознакомление с тем, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности.
4. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2007.
Материал этого учебника также разбит на две главы, каждая из которых содержит параграфы. А параграфы в свою очередь разбиты на небольшие пункты, посвященные отдельной теме. Деление упражнений на рубрики продолжается, и добавляется еще одна рубрика, в которой помещены задачи, помогающие учиться думать, рассуждать, делать наблюдения и выводы, расширяющие круг математических знаний и представлений. Сначала даются простые упражнения, направленные на отработку отдельных умений. Затем уровень сложности повышается.
Геометрический материал в этом учебнике дополняет и расширяет сведения о фигурах, полученные учащимися в 5 классе, и представлен отдельными пунктами:
П.24. Длина окружности и площадь круга.
П.25. Шар.
П.43. Перпендикулярные прямые.
П.44. Параллельные прямые.
В пункте «Длина окружности и площадь круга» школьники знакомятся с новым для них числом как отношением длины окружности к длине ее диаметра. Даются формулы длины окружности и площади круга. Задачи можно условно поделить на два типа: упражнения на измерение элементов окружности и упражнения на вычисление неизвестных компонентов по формулам.
В пункте «Шар» само понятие шара дается образно, связывается с предметами из окружающего мира (мяч, глобус, арбуз). Количество задач весьма ограничено. Они посвящены отношению радиуса и диаметра шара.
Пункт «Перпендикулярные прямые» посвящен усвоению понятия таких прямых. Учащиеся должны научиться строить перпендикулярные прямые с помощью чертежных инструментов, распознавать эти прямые, а также знакомятся с перпендикулярными отрезками и лучами.
Пункт «Параллельные прямые» нацелен на усвоение понятия параллельных прямых и дается ответ на вопрос: сколько прямых, параллельных данной, можно провести через одну точку. Кроме того, показывается, как с помощью треугольника и линейки можно построить прямую, параллельную данной. Задачный материал направлен на отработку умения построить прямую, параллельную заданной.
Итак, обучение по учебнику Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд продолжает, так же как и в учебнике для 5 класса, организовываться как образовательный процесс, направленный на развитие плоских геометрических представлений, чертежных умений, расширение пространственных образов. Часть понятий дана на ознакомительном уровне, а для других понятий имеется четкое определение. Хочется отметить, что количество задач и упражнений, направленных на закрепление умений и навыков, связанных с геометрическими объектами, ограничено, что не дает возможности учесть уровневую дифференциацию. Однако имеются задания, связанные с объектами окружающего мира, что позволяет школьникам научиться использовать свойства геометрических фигур в практической деятельности.
Проведя анализ четырех учебно-методических комплектов по математике для 5-6 классов можно сделать следующие выводы:
Тема «Линии» представлена только в комплекте Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, достаточно упражнений для закрепления изучаемых понятий, предлагаются контрольно-измерительные задания и содержательная часть этой темы достаточно широко представлена.
Тема «Углы» в одинаковом объеме представлена во всех учебниках. Разница лишь в том, что в учебнике Дорофеева Г.В. дается понятие биссектрисы угла и предложены упражнения на закрепление данного понятия.
Тема «Многоугольники» представлена только в комплекте Дорофеева Г.В. К сожалению, авторы предлагают мало упражнений по данной теме.
Тема «Треугольники и их виды» наиболее полно отражена в учебнике Дорофеева Г.В., а в учебнике Виленкина Н.Я. вводится только понятие, без классификации треугольников.
Тема «Прямоугольники» одинаково представлена в двух учебниках математики. Предлагается разнообразный дидактический материал по теме.
Тема «Многогранники» изучается во всех учебниках, с разницей, что в первом изучается такой многогранник, как «Пирамида», а во втором отсутствует такая тема.
Тема «Симметрия» в большем объеме изучается в УМК Г.В. Дорофеева. Это и изучение понятия осевой и центральной симметрий, и симметричных и центрально-симметричных фигур. В учебнике Виленкина Н.Я. данная тема не представлена совсем.
Тема «Длина окружности и площадь круга. Шар, сфера» имеет место и в том и другом учебнике.
С позиции пропедевтики элементов геометрии в 5-6 классах геометрическая линия наиболее полно представлена в УМК Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. Подробнее рассматриваются многие темы. Особенно такие, как: «Линии», «Треугольник», «Симметрия». Изучение происходит не только на ознакомительном уровне. Изучаются свойства фигур. Многие задания имеют практическую направленность, что еще раз подтверждает эффективность курса. Авторы показывают учащимся возможности применения геометрических знаний в реальной жизни.
Особое внимание хочется уделить дидактической составляющей. К каждой теме подобрано достаточно много заданий по изучаемому материалу. Предлагаются задания двух уровней сложности. Задания второго уровня чаще носят исследовательский характер.
Предлагаются задания в рабочих тетрадях. Это задания такого характера как: построить, начертить, измерить, вычислить. Некоторые задание предлагаются для развития глазомера. В дидактических материалах есть обучающие и проверочные задания по всем темам курса. Заметим, что авторы отдельное внимание уделяют интеллектуальному развитию ребенка. На это направлены знания представленные в дополнительных разделах. Авторы, познавательный материал предлагают для дополнительного изучения, тем самым, подталкивая учащегося к самостоятельной деятельности.
Выводы по главе 2
Анализируя существующие подходы к преподаванию элементов геометрии с позиций пропедевтики дальнейшего обучения курсу геометрии, можно подвести следующие итоги:
Имеется ряд причин, по которым необходимо введение специального курса, знакомящего учащихся с геометрическими объектами и их свойствами:
трудности, возникающие у школьников 7-х классов, приступающих к изучению систематического курса геометрии;
«уплощенность» естественного пространственного опыта у десятиклассников, дождавшихся после трехлетнего изучения планиметрии наконец-то «выхода в пространство»;
недоучет возрастных особенностей и сензитивных периодов в развитии перцептивных и концептуальных пространственных представлений ребенка.
По мнению Г.А. Клековкина, геометрия как никакой другой школьный предмет позволяет в явном виде демонстрировать наиболее адекватное психологической сущности учащихся 5-6 классов единство предметно-практической и умственной деятельности.
3. При составлении пропедевтического курса геометрии необходимо учитывать:
чтобы геометрическая линия обеспечивала формирование пространственного воображения учащихся, а также развитие логического и творческого мышления;
желательно, чтобы система обучения носила практический характер, а также ближе знакомила с предметами окружающего мира;
чтобы процесс геометрического развития был непрерывным, равномерным и разнообразным;
более глубокое внимание систематическому изучению терминологии.
4. Сравнительный анализ геометрического материала, содержащегося в четырех учебно-методических комплектах по математике для 5-6 классов, позволяет сделать вывод, что с позиции пропедевтики элементов геометрии геометрическая линия наиболее полно представлена в учебно-методическом комплекте авторов: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др., так как подробнее рассматриваются темы: «Линии», «Треугольник», «Симметрия»; изучение происходит не только на ознакомительном уровне; многие задания имеют практическую направленность; более подробно изучаются свойства фигур.
Глава 3. Методические особенности обучения элементам геометрии в 5-6 классах
§3.1 Методические особенности изучения темы «Треугольники и четырехугольники»
Основная задача образования – создание личностью целостной картины мира, и, соответственно, процесс обучения, ориентированный на развитие личности, должен обеспечивать ребенка такими знаниями и в такой организации, чтобы он мог на их основе постепенно формировать целостное представление о мире.
Уникальность геометрии как учебного предмета заключается в том, что она позволяет достаточно рано устанавливать связи между естественными представлениями об окружающих предметах с их абстрактными моделями; формировать мыслительные операции различных видов и уровней; учитывать возрастные и индивидуальные особенности развития отдельных психических функций и протекания умственной деятельности в целом. Ясно, что успешное решение этих задач возможно лишь при условии непрерывного изучения данного предмета; вся же система обучения геометрии должна быть целостной и многоуровневой. С одной стороны, сама система геометрических знаний, подлежащих изучению и усвоению, на каждом этапе обучения также должна представлять целостную систему, обеспечивающую определенное отражение окружающей действительности. С другой стороны, каждый уровень обучения призван сформировать основы учебно-познавательной деятельности в области геометрии, необходимые для ее дальнейшего изучения, и обеспечить определенное, адекватное возрасту, интеллектуальное и личностное развитие ребенка.
Согласно федеральным государственным стандартам общего образования второго поколения изучение геометрии в основной школе дает возможность обучающимся достичь в предметном направлении следующих результатов:
использовать геометрический язык для описания предметов окружающего мира; выполнять чертежи, делать рисунки, схемы по условию задачи;
измерять длины отрезков, величины углов, использовать формулы для нахождения периметров, площадей и объемов геометрических фигур;
применять знания о геометрических фигурах и их свойствах для решения геометрических и практических задач.
Для того чтобы обучение младших школьников основам геометрии проходило наиболее успешно, за исходный пункт геометрии следует признать тот факт, что мы всюду вокруг себя видим различные границы: вот облако на синем небе – мы видим границу между небом и облаком; вот линия горизонта – она нам представляется границею между небом и землею; вот стена – и мы видим границу между нею и внутренностью комнаты и т. д. Ориентируясь на этом факте, можно прийти к заключению, что все наблюдаемые границы делятся на три категории: в одних случаях придется делать движение всей ладонью руки, как бы мазать, в других – делать движения лишь пальцем – обводить, и в третьих случаях придется лишь указывать. Далее можно прийти к убеждению, что отделить эти границы от предметов нельзя, и эти предметы мы называем поверхностями, линиями и точками. Эти объекты являются тем материалом, над которым работает геометрия. Возникает потребность разобраться в этом материале. [19].
Проводя комбинационную работу, благодаря которой развивается и углубляется содержание геометрии, мы приходим к таким понятиям как луч, отрезок, угол, треугольник, четырехугольник и др.
Основываясь на таком построении содержания геометрического материала, пропедевтический курс геометрии должен представлять собой нечто цельное и стройное, чтобы учащиеся получили ряд ценных, полезных и систематизированных знаний, способствующих более легкому изучению основного курса геометрии. Содержание пропедевтического курса должны составлять плоские и пространственные геометрические образы или фигуры. Учащиеся наблюдают окружающий их мир и выделяют предметы определенной формы: прямоугольный параллелепипед (классная комната, шкаф), призма (граненый карандаш), цилиндр (железная труба), шар (мяч). При внимательном и подробном рассмотрении пространственных образов выделяются плоские геометрические образы: линии – прямая, кривая и ломаная (кромка стола, край стула); углы (угол стола, парты); треугольники, четырехугольники и т.д. При изучении этих фигур выявляются их свойства (равенство, равновеликость, возможность измерения). Таким образом, построение пропедевтического курса геометрии должно быть основано на процессе познания школьниками предметов окружающего мира.
У детей 11-12 лет осознанные побудительные мотивы к изучению геометрии еще, как правило, не сформировались. Поэтому формирование непосредственного интереса к содержанию этого предмета должно быть обусловлено интересными заданиями, связанными с практической деятельностью. С учетом особенностей развития детей указанного возраста геометрические понятия и факты необходимо вводить на основе имеющегося у них жизненного опыта, новых наблюдений, экспериментов, конструирования и моделирования. Ведь геометрические фигуры – это основные «кирпичики» геометрических знаний, они напоминают детали конструктора: из самых простых деталей с простейшими или изученными свойствами конструируются новые фигуры с более сложными свойствами. Поэтому изучаемый материал желательно наполнить многочисленными рисунками и чертежами, значительную часть которых могут сопровождать нарисованные учениками наглядные геометрические фигуры. Чертежи и рисунки – эффективное средство формирования у учащихся умений подмечать закономерности на основе наблюдений, вычислений, сопоставлений. Они способствуют в большей степени лучшему усвоению свойств и понятий, развивают мышление, помогают в запоминании наиболее трудного для восприятия материала, упрощают решение задач, приводят к открытию какого-то факта. То есть ученики на конкретном примере могут сами увидеть те свойства, которыми обладает данный изучаемый объект, вычленить из предложенного готового чертежа самое главное, что заключает максимум информации.
Обучение младших школьников теме «Треугольники и четырехугольники» должно быть также подчинено всем особенностям построения пропедевтического курса геометрии, которые перечислены выше.
При изучении в 5 классе темы «Треугольники и четырехугольники» (по учебнику математики авторов: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.) ставятся следующие основные методические цели: познакомить учащихся с классификацией треугольников по сторонам и углам; развить представления о прямоугольнике; сформировать понятие равных фигур, площади фигуры, научить находить площади прямоугольников и фигур, составленных из прямоугольников; познакомить с единицами измерения площадей. Учащиеся углубляют свои знания о треугольниках и четырехугольниках, они знакомятся со свойствами равнобедренного треугольника, а также со свойствами прямоугольника, изучают понятие равных фигур. Заметим, что у учащихся уже есть интуитивное представление о равных фигурах. Оно сформировалось в ходе выполнения таких заданий, как вырезание фигур из бумаги, перечерчивание фигуры по клеткам квадратной сетки и др. При этом речь шла о построении «такой же» фигуры, как данная, о вырезании «одинаковых» фигур. Теперь интуитивные представления учащихся обобщаются и систематизируются. Вводится термин «равные фигуры» и разъясняется, что так называют фигуры, которые могут быть совмещены друг с другом путем наложения. Это понятие конкретизируется по отношению к уже известным фигурам: отрезкам, углам, окружностям и др. Линия измерения геометрических величин продолжается темой «Площадь фигуры». Из начальной школы учащимся известно, как найти площадь прямоугольника. Здесь эти знания актуализируются, отрабатываются и расширяются: формируется представление о площади фигуры как о числе единичных квадратов, составляющих данную фигуру; о свойстве аддитивности площади (без соответствующей терминологии); правило вычисления площади квадрата формулируется через понятие «квадрат числа»; вводятся новые единицы площади (гектар, ар); выявляются зависимости между единицами площади, объясняется, как можно приближенно вычислить площадь круга.
Все вышеописанное дает возможность поставить следующие задачи при изучении темы «Треугольники и четырехугольники» в 5 классе:
широкое ознакомление с основными понятиями данной темы, а именно понятиями: равные фигуры, виды треугольников;
наблюдение изученных геометрических форм в окружающих предметах и формирование на этой основе абстрактных геометрических фигур и отношений;
усвоение геометрической терминологии и символики по данной теме;
осмысленное запоминание и воспроизведение достаточно большого числа определений и свойств изученных геометрических фигур;
сравнение и измерение геометрических величин:
решение специально подобранных упражнений и задач, по заданной теме, направленных на формирование приемов мыслительной деятельности;
формирование потребности к логическим обоснованиям и рассуждениям при изучении треугольников и четырехугольников
специальное обучение математическому моделированию как методу решения практических задач.
В результате изучения темы учащиеся должны получить представления и овладеть следующими знаниями, умениями и навыками, составляющими обязательный минимум:
знать определения одних основных геометрических понятий (треугольник, четырехугольник) и получить представления о других (прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, квадрат);
выделять известные фигуры (треугольники, четырехугольники) и отношения на чертежах, моделях и в окружающих предметах;
иметь навыки работы с измерительными и чертежными инструментами;
изображать геометрические величины; выражать одни единицы измерения (длин, площадей) через другие;
вычислять значения геометрических величин (площадей, длин), применяя изученные свойства и формулы;
проводить несложные рассуждения и обоснования в процессе решения задач, предусмотренных содержанием темы;
пользоваться геометрической символикой (при изображении треугольников, четырехугольников);
устанавливать связь геометрических фигур и их свойств с окружающими предметами.
Для того чтобы у учителя, работающего по указанному выше учебнику, были широкие возможности сформировать у школьников перечисленные знания, умения и навыки, нами была составлена система упражнений, которую они могут использовать в своей работе.
Исходя из анализа особенностей изучения геометрического материала в 5-6 классах, нами были разработаны методические принципы для составления системы упражнений по теме «Треугольники и четырехугольники». Основой для их составления были:
учет возрастных особенностей учащихся 5-6 классов;
особенности восприятия геометрического материала школьниками данного возраста;
анализ геометрического материала, содержащегося в учебниках по математике для 5-6 классов;
ориентация на преемственность учебного материала начальной и средней школы.
Методические принципы состоят в следующем.
Принцип наглядно-деятельностной геометрии.
Задания должны носить наглядно-деятельностный характер, т.е. содержать много наглядных, образных элементов и побуждать к мыслительной и практической деятельности с геометрическими фигурами.
Принцип познания законов природы средствами геометрии.
Упражнения должны быть соотнесены с объектами окружающего мира, их свойствами, т.е. позволяющие научиться измерять, сравнивать, вычислять, распознавать геометрические свойства в объектах природы.
Принцип развития