Методика изучения объемов многогранников в курсе стереометрии
Урок 1
Тема урока: обобщение свойства длин отрезков и площадей плоских фигур.
Цель урока: повторить свойства длин отрезков и площадей фигур, провести необходимые аналогии.
В начале урока необходимо повторить таблицу метрической системы мер длины, площади и объемов. Для этого удобно заготовить такую таблицу заранее (если ее нет в кабинете) и вывесить ее перед учениками (Приложение 4).
Упражнения для повторения свойств площадей фигур:
На рис. 11 изображен отрезок АВ. Найдите длину отрезка АВ, считая единицей измерения: а) сторону одной клетки; б) 1 см (отрезок CD); в) отрезок EF.
При решении этой задачи следует акцентировать внимание учащихся на том, что длина одного и того же отрезка может выражаться разными числами в зависимости от выбора единицы измерения. Но если единица измерения уже выбрана, то длина отрезка есть единственное число. При этом длина отрезка всегда положительна.
На рис. 12 изображена плоская фигура ABCDEF. Найдите ее площадь, приняв за единицу измерения: а)половину клетки; б) одну клетку; в) треугольник POQ.
При решении этой задачи следует обратить внимание учащихся на то, что площадь плоской фигуры есть число, которое зависит от выбора единицы измерения. Если единица измерения выбрана, то площадь фигуры единственна. Кроме того, площадь фигуры обязательно неотрицательна, какая бы фигура ни была взята в качестве единицы измерения.
Рис.
12
Прямоугольник имеет стороны 5 и 4 см. Какова площадь прямоугольника? Какая фигура выбрана за единицу измерения площадей и какова его площадь?
Плоская
фигура ABCDEFGH
состоит из
двух прямоугольников
ABGH и CDEF,
площади которых
соответственно
10 и 5 см2. Найдите
площадь фигуры
ABCDEFGH (рис. 13).
Решая эту задачу, мы пользуемся таким свойством площадей плоских фигур: если плоская фигура разбита на две, общая часть которых есть линия или точка, то площадь всей фигуры равна сумме площадей, ее составляющих.
Треугольники
ABC и A1B1C1
конгруэнтны.
Площадь
ABC
равна 36 см2.
Какова площадь
A1B1C1?
Решив этот комплекс задач, можно сделать выводы, сформулировав их как свойства измерения площадей плоских фигур.
Упражнение для закрепления:
1. Докажите, что два треугольника, на которые диагональ делит параллелограмм, имеют равные площади.
2.Основание прямоугольника в два раза больше его высоты. Покажите на рисунке: а) как нужно разрезать этот прямоугольник на две части, чтобы из них можно было составить прямоугольный треугольник; б) как разрезать его на две части, чтобы из них можно было составить равнобедренный треугольник; в) как разрезать его на три части так, чтобы из них можно было составить квадрат. Что можно утверждать о площадях этих фигур (рис. 14, а-в)?
Урок 2
Тема урока: объем тела.
Цель урока: сформулировать основные свойства объемов.
Измерение объемов пространственных фигур должно удовлетворять свойствам, аналогичным свойствам измерения длин отрезков и площадей плоских фигур.
Учитель формирует следующие свойства.
Каждой пространственному тел ставится в соответствие величина (объем тела), причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:
объем любого тела неотрицателен;
конгруэнтные тела имеют равные объемы;
если тело М есть объединение тел М1 и М2, пересечение которых либо содержит только точки или линии поверхностей обоих тел, либо пусто, то объем тела М равен сумме объемов тел М1 и М2;
объем куба, длина ребра которого равна 1, равен единице.
Упражнения для закрепления свойств объемов пространственных фигур:
1. Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, объем которого 18 см3, разделен сечением KLMN на два конгруэнтных тела (рис. 15). Найдите объем каждой части.
2. Из кубов, длины ребер которых равны 1 см, составлена фигура, изображенная на рис. 16. Вычислите ее объем.
Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 разделен плоскостью АСС1А на две треугольные призмы, объем одной из которых равен 8 см3. Найдите объем параллелепипеда.
Урок 3
Тема урока: интегральная формула для вычисления объема фигуры.
Цель урока: показать построение подынтегральной функции и способ вычисления объемов фигур с помощью интеграла.
В начале урока
в ходе решения
ряда упражнений
следует напомнить
учащимся способ
вычисления
площадей плоских
фигур с помощью
интеграла:
,
где f(x)
– функция, задающая
криволинейную
трапецию.
После этого следует сообщить учащимся, что для вычисления объемов пространственных фигур существует аналогичный способ, к изучению которого мы и переходим.
Пусть дана
пространственная
фигура Ф. Выберем
плоскость
таким образом,
чтобы она не
пересекала
Ф (рис. 17).
Выберем прямую
Ох, перпендикулярную
плоскости
.
Зададим на этой
прямой координаты:
за начало координат
возьмем О –
точку пересечения
прямой Ох с
плоскостью
.
Положительное
направление
выбрано в том
полупространстве,
в котором расположена
фигура Ф. Через
точку с координатой
х на этой прямой
проведем плоскость
(х),
параллельную
плоскости
.
Таким образом
можно установить
соответствие
между плоскостями,
параллельными
плоскости
,
и множеством
действительных
чисел.
Среди плоскостей
данного множества
есть такие,
которые пересекают
фигуру Ф. Первая
из этих плоскостей
имеет координату
а, а последняя
– b.
Таким образом,
фигура Ф заключена
между плоскостями
(a)
и
(b),
другими словами,
задана на отрезке
[a,b].
Конечно, далеко
не всегда фигура
задана на отрезке.
Она может быть
задана на интервале,
на дискретном
множестве и
т. п. Но в курсе
геометрии
средней школы
можно ограничиться
рассмотрением
фигур, заданных
на отрезке.
Упражнения:
1. Дан куб
ABCDA1B1C1D1,
длина ребра
которого равна
3. В качестве
плоскости
выбрана плоскость
ABCD, а в качестве
Ох – прямая
АА1.
Найдите значения
a и
b и
укажите плоскости
(a)
и
(b).
2. Дана пирамида
ABCD. В качестве
плоскости
выбрана плоскость
BCD, а в качестве
оси Ох – высота
АМ пирамиды.
Найдите значения
a и
b и
укажите плоскости
(a)
и
(b),
если АМ=6.
3. Дан шар радиуса
8 см с центром
в точке К. В качестве
плоскости
выбрана плоскость
на расстоянии
10 см от центра
шара. Задайте
ось Ох, найдите
значения a
и b
и укажите плоскости
(a)
и
(b).
4. Постройте
функцию S(x)
для шара радиуса
8 см, если плоскость
(х)
проходит через
центр шара.
5. Постройте
функцию S(x)
для конуса с
высотой Н и
радиусом основания
R,
если в качестве
плоскости
выбрана плоскость,
параллельная
основанию и
проходящая
через вершину
конуса.
После решения
этих упражнений
формулируется
следующее
определение:
объемом фигуры
Ф называется
интеграл от
a
до b
функции S(x):
.
Упражнения:
6. Запишите интегральную формулу для вычисления объемов фигур, заданных в упр. 4, 5.
7. Запишите
формулу для
вычисления
объема цилиндра
высоты Н и радиуса
R,
если в качестве
плоскости
выбрана плоскость
основания
цилиндра.
8. Запишите
формулу для
вычисления
объема прямоугольного
параллелепипеда
с измерениями
m,
p,
n
(плоскость
задайте сами).
Урок 4
Тема урока: интегральная формула для вычисления объема фигуры.
Цель урока: закрепить изученное на предыдущем уроке и провести доказательство обоснованности данного определения объема.
Упражнения:
1. Выведите формулу для вычисления объема призмы с высотой Н и площадью основания S.
Решение.
Здесь a=0,
b=H,
S(x)=0.
Следовательно,
.
2. Выведите формулу для вычисления объема пирамиды с высотой Н и площадью основания Q (аналогично тому, как это делалось для конуса).
Решение.
Выберем в качестве
плоскости
плоскость,
параллельную
основанию и
проходящую
через вершину.
Тогда а=0, b=H,
.
Поэтому S(x)=
.
Следовательно,
.
Так как объемы фигур должны удовлетворять ранее перечисленным свойствам объемов, то надо показать, что при таком определении объема эти свойства выполнены.
Упражнения:
Выпишите интегральные формулы и выведите формулы для вычисления объема:
1. Призмы с высотой Н и площадью основания S.
2. Пирамиды с высотой Н и площадью основания Q.
3. Цилиндра с высотой Н и радиусом основания R.
4. Конуса с высотой Н и радиусом основания R.
5. Шара радиуса R.
После изучения всех формул для нахождения объема тел следует провести проверочную работу в виде теста.
Тест (объем прямоугольного параллелепипеда) [34]
Выберите неверное утверждение.
а) За единицу измерения объемов принимается куб, ребро которого равно единице измерения отрезков;
б) тела, имеющие равные объемы, равны;
в) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений;
г) объем куба равен кубу его ребра;
д) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см.
а) 252 см3; б) 126 см3; в) 164 см3; г) 462 см3; д) 194 см3.
Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ которого равна 6. Через диагональ основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость под углом 450 к нижнему основанию. Найдите объем параллелепипеда.
а) 108; б) 216; в)27; г)54; д) 81.
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см, диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 600. найдите объем параллелепипеда.
а) 390
см3;
б) 390
см3;
в) 780
см3;
г) 780
см3;
д) 780 см3.
Тест (объем призмы)
Сторона
основания
правильной
треугольной
призмы равна
2
см, а высота –
5 см. найдите
объем призмы.
а) 15
см3;
б) 45 см3;
в) 10
см3;
г)12
см3;
д) 18
см3.
2. Выберите неверное утверждение.
а) Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;
б) объем правильной
треугольной
призмы вычисляется
по формуле
,
где а – сторона
основания, h
– высота призмы;
в) объем прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту;
г) объем правильной
четырехугольной
призмы вычисляется
по формуле
,
где а – сторона
основания, h
– высота призмы;
д) объем правильной
шестиугольной
призмы вычисляется
по формуле
,
где а – сторона
основания, h
– высота призмы.
3. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого равна 13 см, а одна из диагоналей – 24 см. найдите объем призмы, если диагональ боковой грани равна 14 см.
а) 720
см3;
б) 360
см3;
в) 180
см3;
г) 540
см3;
д) 60
см3.
4. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 10, 10, 12. Диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 600. найдите объем призмы.
а) 480;
б) 960;
в) 240;
г) 480; д) 240.
Тест (объем пирамиды)
1. Объем правильного тетраэдра равен 9 см3. Найдите его ребро.
а) 4 см; б) 2
см; в) 3
см; г) 6 см; д) 3 см.
2. Выберите неверное утверждение.
а) объем пирамиды равен произведению одной третьей площади основания на высоту;
б) объем правильного
тетраэдра
вычисляется
по формуле
,
где а – ребро
тетраэдра;
в) объем усеченной
пирамиды, высота
которой равна
h,
а площади основания
равны S
и M,
вычисляется
по формуле
г) объем правильной
треугольной
пирамиды, ребро
которой равно
а и все боковые
ребра наклонены
к плоскости
основания под
углом
,
вычисляется
по формуле
;
д) объем правильной
шестиугольной
пирамиды, ребро
которой равно
а и все
боковые ребра
наклонены к
плоскости
основания под
углом
,
вычисляется
по формуле
.
3. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой равны 3 см2 и 12 см2, а высота равна 2 см.
а) определить нельзя; б) 7 см3; в) 42 см3; г) 14 см3; д) 56 см3.
4. Основанием
пирамиды МАВС
служит треугольник
со сторонами
АВ = 5 см, ВС = 12 см,
АС = 13 см. Найдите
объем пирамиды,
если МВ
АВС
и МВ = 10 см.
а) 300 см3; б) 260 см3; в) 780 см3; г) определить нельзя; д) см3.
Углубленное изучение геометрии по учебнику [6]
Рассмотрим методические рекомендации для углубленного изучения темы «Объемы многогранников». В настоящее время для данного обучения в школах используют учебник [6], так как именно он рекомендован (допущен) Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях. Теоретический материал учебника разбит на две части – основную и дополнительную. Основная часть содержит теоретические сведения (аксиомы, определения, теоремы); материал, в котором рассказано о значении наиболее важных геометрических результатов, о различных применениях стереометрии в других науках, технике, искусстве, быту, об истории геометрии.
В дополнительном материале с большей глубиной и подробностью обсуждаются самые трудные вопросы курса. Этот материал рассчитан на учащихся, особенно интересующихся математикой.
Глава V данного учебного пособия посвящена объемам тел многогранников. Эта глава традиционная для школьного курса геометрии. И построение ее как будто бы традиционное: сначала выработка общего понятия, затем вывод конкретных формул. Однако есть и характерные отличия.
Четко выясняется множество фигур, которые имеют объем в смысле данного определения.
Впервые в школьном курсе (и в такой формулировке) дается теорема о существовании и единственности объема.
Теорема о представлении объема интегралом рассмотрена с помощью наглядных соображений, так как полное доказательство «сложно и требует расширения понятия интеграла», однако рассуждение приведено тактично и не нарушает уверенности ученика в возможность доказать это утверждение.
В данном учебнике выводится формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда.
Объем прямого цилиндра
В пункте 26.1 высказаны наглядные соображения, «доказательство математического утверждения с точки зрения физики». С учетом уровня класса можно предположить несколько вариантов дальнейших событий:
а) этим и ограничиться;
б) предложить желающим разобрать пункт 26.2 самостоятельно и ответить индивидуально на оценку;
в) предложить отдельным учащимся сделать сообщение о теореме на уроке. (Для этого теорему можно разбить на