Цифровая обработка сигналов

ВВЕДЕНИЕ

В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ

СИГНАЛОВ

Содержание.

1. Дискретные сигналы

1.1. Дискретизация непрерывных сигналов

1.2. Связь спектров дискретных и непрерывных сигналов

1.3. Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов

1.4. Z - преобразование

1.5. Основные теоремы Z - преобразования

1.6. Дискретное преобразование Фурье

2. Дискретные цепи

2.1. Разностное уравнение и дискретная цепь

2.2. Передаточная функция дискретной цепи

2.3. Общие свойства передаточной функции

2.4. Частотные характеристики

2.5. Импульсная характеристика. Свертка.

2.6. Круговая свертка

2.7. Энергия дискретного сигнала. Корреляция и энергетический спектр

2.8. Расчет энергии сигнала в дискретной цепи

2.9. Секционирование

3. Цифровые фильтры

3.1. Цифровая система обработки сигналов

3.2. Расчет не рекурсивных ЦФ общего вида

3.3. Схема и характеристики фильтров с линейной фазой

3.4. Общие свойства фильтров с линейной фазой

3.5. Расчет ЦФ с линейной фазой. Метод взвешивания.

3.6. Метод частотной выборки

3.7. Расчет рекурсивных фильтров. Метод билинейного преобразования

4. Эффекты конечной разрядности и их учет.

4.1. Шум квантования и шумовая модель

4.2. Расчет шумов квантования

4.3. Влияние структуры ЦФ на шум квантования

4.4. Квантование коэффициентов. Расчет разрядности.

4.5. Чувствительность

4.6. Масштабирование сигнала в цепи

4.7. Динамический диапазон ЦФ

4.8. Предельные циклы

5. Восстановление непрерывного сигнала

5.1. Характеристики ЦАП

5.2. Погрешности восстановления

Литература

Обсуждены основные положения теории дискретных сигналов и способы их обработки. Рассмотрены особенности цифровой реализации дискретных систем. Изложены методы расчета цифровых фильтров, получившие наибольшее распространение.

Эффекты конечной разрядности ЦФ и их учет рассмотрены применительно к системам с фиксированной запятой. Погрешности дискретизации и восстановления обсуждены на уровне необходимом для понимания вопроса.

Для технических факультетов.

1. Дискретные сигналы.

1. Дискретизация непрерывных сигналов.

Обработка сигналов на цифровых ЭВМ начинается с замены непрерывного сигнала X(t) на дискретную последовательность, для которой применяются такие обозначения

x(nT) , x(n) , x_n , {x₀ ; x₁ ; x₂ ; … } .

Дискретизация осуществляется электронным ключом (ЭК) через равные интервалы времени T (Рис. 1.1).

Дискретная последовательность аппроксимирует исходный сигнал X(t) в виде решетчатой функции X(nT). Частота переключения электронного ключа f_д и шаг дискретизации T связаны формулой

f­­_д = 1 / T . (1.1)

Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом

x(nT) = x(t)d(t - nT) , (1.2)

где d(t) - дискретная d - функция (Рис. 1.2, а),

d(t - nT) - последовательность d - функций (Рис. 1.2, б).

Погрешность, возникающую при замене аналогового сигнала дискретным сигналом, удобно оценить сравнивая спектры этих сигналов.

2. Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов.

Исходное выражение для спектра дискретного сигнала с учетом (1.2) запишется следующим образом

X(jw) =x(nT) e^-jwt dt =x(t)d(t - nT) e^-jwt dt .

Периодическую последовательность d - функций здесь можно разложить в ряд Фурье

d(t - nT) =,

где с учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов

, поскольку F_d(jw) = 1

После замены в исходном выражении периодической последовательности d - функций ее разложением в ряд Фурье получим

X(jw) =x(t)() e^-jwt dt =x(t)e^-jwt dt .

Учитывая здесь теорему смещения спектров, т.е. :

если f(t) ® F(jw), то f(t)® F[j(w ± w₀)] ,

последнее равенство можно представить в виде формулы, выражающей связь спектров дискретного X(jw) и аналогового X_a(jw) сигналов

X(jw) =X_a[j(w -)] . (1.3)

На основании формулы (1.3) с учетом поясняющих рисунков 1.3, а, б можно сделать следующие выводы :

1. Спектр дискретного сигнала состоит из суммы спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на величину равную частоте дискретизации w_д

2. Спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот [-0,5w_д ; 0,5w_д], если удовлетворяется неравенство

w_в Ј 0,5w_д , (1.4)

где w_в - верхняя частота спектра аналогового сигнала.

Равенство в (1.4) соответствует утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте w_д.

1. Смежные спектры X_a(jw) в (1.3) частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (Рис 1.3, б). В этом случае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналогового сигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.

2. Аналоговый сигнал можно восстановить полностью по дискретному сигналу с помощью ФНЧ, частота среза которого w_с = 0,5w_д. Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходе ФНЧ и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, если выполняется условие (1.4). в противном случае сигнал восстанавливается с искажениями, обусловленными ошибками наложения.

Выбор частоты дискретизации осуществляется в соответствии с (1.4). если частота w_в не известна, то выбор из w_д определяется расчетом по формуле (1.1), в которой интервал T выбирается приближенно с таким расчетом, чтобы аналоговый сигнал восстанавливался без заметных искажений плавным соединением отсчетов дискретного сигнала.

3. Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов.

Для дискретных сигналов формулы Фурье и Лапласа представляется возможным упростить. Действительно, поскольку

то после перехода к дискретной переменной пара преобразований Фурье принимает вид

Здесь применяются формулы одностороннего преобразования Фурье, так как начало отсчета совмещается с началом действия дискретного сигнала.

Формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде, поэтому после замены X(nT) ® X(nT) / T преобразование Фурье принимает окончательный вид

(1.5)

Формулы Лапласа для дискретных сигналов получаются на основании (1.5) после обобщения частоты на всю плоскость комплексного переменного, то есть jw ® P = d + jw

(1.6)

4. Z - преобразование.

Эффективность частотного анализа дискретных сигналов существенно возрастает, если заменить преобразование Лапласа Z - преобразованием. В этом случае изображение сигнала X(p), которое представляет собой трансцендентную функцию переменной P = d + jw, заменяется Z - изображением сигнала X(Z), которое является рациональной функцией переменной Z = x + jy.

Формулы Z - преобразования получаются из формулы Лапласа (1.6) заменой переменных

e^pT = Z . (1.7)

Подстановка (1.7) и ее производной

dZ / dp = Te^pT

в (1.6) приводит к формулам прямого и обратного Z - преобразования

(1.8)

Точки на мнимой оси комплексного переменного p = d +jw, то есть точки p = jw, определяют реально частотные характеристики сигнала. Мнимой оси соответствует на плоскости Z единичная окружность, так как в этом случае согласно (1.7)

Z = e^jwT = (1.9)

Поэтому непрерывному росту переменной на мнимой оси плоскости p = d + jw, соответствует многократный обход единичной окружности на плоскости z = x + jy (Рис. 1.4). Этим фактом объясняется, в частности, то обстоятельство, что интегрирование в формуле обратного z - преобразования (1.8) осуществляется вдоль единичной окружности плоскости z взамен интегрирования вдоль прямой параллельной мнимой плоскости p.

Учитывая вышеизложенное и формулы (1.7), (1.9) можно утверждать, что левая полуплоскость переменного p = d + jw отображается на плоскость единичного круга переменного z = x + jy, правая полуплоскость - на плоскость z за пределами единичного круга.

Подстановка (1.9) в z - изображение сигнала приводит к спектру этого сигнала, подстановка (1.7) дает изображение по Лапласу.

Пример. Определить спектр и построить графики модуля и аргумента спектральной плотности сигнала x(nT) = {a ; b} (Рис. 1.5, а).

Решение.

Z - изображение сигнала согласно (1.8)

X(Z) =x(nT) Z^-n = x(0T) Z^-0 + x(1T) Z^-1 = a + bZ^-1

Отсюда подстановкой (1.9) определяем спектр сигнала

X(jw) = a + be^-jwT.

Графики модуля и аргумента спектральной плотности приведены на рисунке 1.6, а, б на интервале частот [0 ; w_д].

Вне интервала частот [0 ; w_д] частотные зависимости повторяются с периодом w_д.

5. Основные теоремы Z - преобразования.

Перечислим без доказательства теоремы z - преобразования, которые потребуются в последующих разделах.

1. Теорема линейности.

Если x(nT) = ax₁(nT) + bx₂(nT) ,

то X(Z) = a X₁(Z) + bX₂(Z).

2. Теорема запаздывания.

Если x(nT) = x₁(nT - QT) ,

то X(Z) = X₁(Z) Z^-Q.

3. Теорема о свертке сигналов.

Если X(nT) = x₁(kT) x₂(nT - kT) ,

то X(Z) = X₁(Z) X₂(Z).

4. Теорема об умножении сигналов.

Если x(nT) = x₁(nT) x₂(nT) ,

то X(Z) = X₁(V) X₂() V^-1 dV,

где V, Z - переменные на плоскости Z.

5. Теорема энергий (равенство Парсеваля).

x²(nT) =X(Z) X(Z^-1) Z^-1 dZ.

Z - преобразование дискретных сигналов имеет значение равное значению преобразования Лапласа непрерывных сигналов.

6. Дискретное преобразование Фурье.

Если сигнал ограничен во времени значением t_u , а его спектр - частотой w_в , то он полностью характеризуется конечным числом отсчетов N как во временной, так и в частотной областях (Рис. 1.7, а, б) :

N = t_u/T - во временной области, где T = 1/f_д ,

N = f_д/f₁ - в частотной области, где f₁ = 1/t_u .

Дискретному сигналу соответствует периодический спектр, дискретному спектру будет соответствовать периодический сигнал. В этом случае отсчеты X(nT) = {X₀ ; X₁ ; … X_N-1} являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(jkw₁), период, который равен w_д. Соответственно, отчеты X(jkw₁) = {X₀ ; X₁ ; … X_N-1} являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(nT), период, который равен t_u.

Связь отсчетов сигнала и спектра устанавливается формулами дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Формулы ДПФ следуют из формул Фурье для дискретных сигналов (1.5), если непрерывную переменную w заменить дискретной переменной kw₁, то есть

w ® kw₁ , dw ® w₁.

После замены переменной в (1.5) получим

X(jkw₁) = x(nT),

x(nT) =X(jkw₁).

Отсюда после подстановки w₁ = w_д/N, T = 2p/w_д формулы ДПФ принимают окончательный вид

X(jkw₁) =x(nT)- прямое ДПФ ,

x(nT) =X(jkw₁)- обратное ДПФ (1.10)

Сигнал с ограниченным спектром имеет, строго говоря, бесконечную протяженность во времени и, соответственно бесконечное число отсчетов и непрерывный спектр. Спектр останется непрерывным, если число отсчетов сигнала ограничить конечным числом N. Формулы (1.10) в этом случае будут выражать связь между N отсчетами дискретного сигнала и N отсчетами его непрерывного спектра, который можно полностью восстановить по его отсчетам.

Пример. Определить отсчеты спектра сигнала на Рис. 1.5, а.

Здесь N = 2 поэтому X(jkw₁) =x(nT) e^-jpkn следовательно

X(j0w₁) =x(nT)e^-j0 = x(0T) + x(1T) = a + b

X(j1w₁) =x(nT)e^-jpn = x(0T) e^-j0 + x(1T) e^-jp = a - b

график отсчетов спектра приведен на Рис. 1.5, б, где w₁ = w_д/N = 0,5w_д.

Сигнал с конечным числом отсчетов N имеет спектр, который повторяет с конечной погрешностью спектр сигнала с бесконечным числом отсчетов : спектры совпадают на отсчетных частотах kw₁ и отличаются на других частотах. Отличие спектров тем меньше, чем больше N. В самом деле, реальные сигналы обладают конечной энергией и, следовательно, начиная с некоторого номера отсчета остальными номерами можно пренебречь ввиду их малости, что не окажет заметного влияния на спектр сигнала.

Пример. Осуществить дискретизацию экспоненциального импульса X(t) = Ae^-at = 1 e^-10t и сравнить спектры исходного и дискретного сигналов.

Решение.

График сигнала X(t) представлен на Рис. 1.8

Пусть T = 0,02с. В этом случае плавным соединением отсчетов сигнала (штриховая линия на Рис. 1.8) сигнал восстанавливается удовлетворительно хотя заметны искажения в окрестности точки t = 0, поэтому ошибки наложения будут некоторым образом влиять на спектральные характеристики.

Пусть t_u = 0,4с. В этом случае

N = t_u/T = 20.

Расчет спектра по формуле прямого ДПФ в точке w = 0 (k = 0) запишется так

X(j0w₁) = 1,0 + 0,8187 + 0,6703 + 05488 + 0,4493 + 0,368 + 0,3012 + 0,2466 + 0,2019 + 0,1653 + 0,1353 + 0,1108 + 0,09072 + 0,07427 + 0,06081 + 0,04979 + 0,04076 + 0,03337 + 0,02732 + 0,02237 = 5,41

Истинное значение спектра в точке w = 0 можно определить зная спектр аналогового экспоненциального импульса

X_a(jw) =, следовательно X_a(j0) == 0,1.

чтобы сравнить спектры дискретного и непрерывного сигналов, дискретный спектр необходимо денормировать умножением на T, так как формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде. Поэтому

X(jow₁) = 5,41 T = 5,42Ч0,02 = 0,1082.

Таким образом совпадение спектров X_a(jw) и X(jw) в точке w = 0 вполне удовлетворительное. Некоторая неточность объясняется влиянием ошибок наложения.

Уместно заметить, что выбор шага дискретизации достаточно контролировать в точках максимальной крутизны исходной функции X(t). В рассмотренном примере такой точкой является момент времени t = 0.

В заключение отметим, что формулы ДПФ упрощают расчетные процедуры по взаимному преобразованию сигналов и их спектров, что особенно важно для технических систем, функционирующих В реальном масштабе времени. В этих случаях применяется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), основанный на формулах ДПФ. Ускоренная процедура расчетов по алгоритму БПФ достигается за счет исключения повторных арифметических операций, характерных для расчетов по формулам ДПФ.

2. Дискретные цепи.

1. Разностное уравнение и дискретная цепь.

Непрерывный сигнал на входе линейной системы x(t) и соответствующий сигнал y(t) на выходе связаны дифференциальным уравнением. Замена непрерывной переменной t на дискретную переменную nT приводит к замене дифференциального уравнения разностным уравнением. Каноническая форма разностного уравнения общего вида, учитывающая в явном виде наличие в системе как прямых, так и обратных связей, запишется так

y(nT) =a_m x(nT - mT) +y(nT -), (2.1)

где (M + 1) - число прямых связей,

Z - число обратных связей,

m, , n - целые положительные числа.

Аналитические методы решения разностных уравнений во многом повторяют методы решения дифференциальных уравнений и позволяют получить решение в общем виде, пригодном для анализа работы дискретной системы. Численные методы решения приводят к результату в виде числовой последовательности, поэтому разностное уравнение в этом случае воспринимается как алгоритм функционирования дискретной системы, пригодной для программирования на ЭВМ работы такой системы.

Система работа которой описывается разностными уравнениями, является дискретной так как она способна воздействовать только на отсчеты сигнала. Дискретная система и дискретная цепь осуществляет, согласно (2.1) следующие операции над дискретными сигналами.

1. Сдвиг (запаздывание) на целое число интервалов T

2. Умножение на некоторый коэффициент a_m или b

3. Сложение сигналов.

Перечисленные операции образуют полный базис, в котором можно реализовать заданное воздействие на сигнал.

Набору операций базиса соответствует набор типов элементов дискретной цепи : элементы памяти (задержки), умножители и сумматоры.

Каноническая схема дискретной цепи общего вида, соответствующая разностному уравнению (2.1), приведена на Рис. 2.1.

Разностное уравнение с постоянными коэффициентами a_m , b описывает линейную дискретную цепь. Разностное уравнение с коэффициентами, зависящими от уровня отсчетов дискретного сигнала, описывает нелинейную дискретную цепь.

Разностное уравнение составляется непосредственно по схеме цепи, учитывая возможные пути прохождения сигнала, или по системным характеристикам цепи.

Пример. Составить разностное уравнение цепи, схема которой приведена на Рис. 2.2, а.

Решение.

Здесь имеется три пути прохождения сигнала от входа до выхода цепи, по которым сигналы проходят и затем складываются в сумматоре. Поэтому разностное уравнение имеет вид

y(nT) = 0,5 x(nT) - 0,7 x(nT - T) + 0,35 x(nT - 2T).

Пример. Определить y(nT) (Рис. 2.2, б), если x(nT) = {1,0 ; 0,5}.

Решение.

Разностное уравнение цепи y(nT) = 0,5 x(nT - T) + 0,1 x(nT) численное решение разностного уравнения :

n=0; y (0T) = 0,5 x(-T) + 0,1 x(0T) = 0,1;

n=1; y (1T) = 0,5 x(0T) + 0,1 x(1T) = 0,55;

n=2; y (2T) = 0,5 x(1T) + 0,1 x(2T) = 0,25;

n=3; y (3T) = 0,5 x(2T) + 0,1 x(3T) = 0.

Следовательно y(nT) = {0,1; 0,55; 0,25}.

Графики сигналов x(nT) и y(nT) приведены на рис (2.3,а,б).

Пример. Определить сигнал на выходе цепи (рис 2.2,в), если y(nT)={0,1; 0,1}.

Решение.

Цепь содержит обратную связь (ОС), поэтому сигнал на выходе цепи формируется как сигнал со стороны входа, так и со стороны выхода.

y(nT) = 0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T)

n=0 y(0T) = 0,4 x(-T) - 0,08 y(-T) = 0

n=1 y(1T) = 0,4 x(0T) - 0,08 y(0T) = 0,4

n=2 y(0T) = 0,4 x(1T) - 0,08 y(1T) = 0,368 и т.д. ...

Следовательно y(nT) = {0; 0,4; 0,368; ...}.

В данном случае за счет циркуляции сигнала по цепи ОС выходной сигнал состоит из бесконечного числа отсчетов.

Дискретная цепь, содержащая ОС, называется рекурсивной. Дискретная цепь без ОС называется нерекурсивной.

2.2 Передаточная функция дискретной цепи.

Замена сигналов в разностном уравнении (2.1) на Z - изображения этих сигналов

,