Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы

Можно доказать, что если среди точек нет совпадающих и , то определитель системы (20) отличен от нуля и, следовательно, эта система имеет единственное решение (19). Подставив его в (17), найдем искомый обобщенный многочлен , те есть многочлен, обладающий минимальным квадратичным отклонением . Заметим, что при m = n коэффициенты (19) можно определить из условий причем в этом случае Ф = 0. Следовательно, мы приходим здесь к рассмотренной ранее задаче интерполирования.

Функции , , как известно, образуют систему Чебушева на любом сегменте и могут быть использованы для практической реализации описанного метода.

Легко видеть, что коэффициенты и свободные члены системы (20) в этом случае представим как

(21)

(22)

Заметим здесь, что матрица является симметричной и положительно определенной, так как квадратичная форма неотрицательна для любых значений переменных причем только при Действительно,

Пусть задана система алгебраических уравнений

(23)

где - невырожденная квадратная матрица m – го порядка, а и - вектор – столбцы, согласованные в размерностью матрицы А.

Выделяют два класса методов решения таких систем: прямые и итерационные.

Прямые методы основаны на разложении матрицы А в произведении более простых матриц (диагональных, треугольных, ортогональных). В этом случае исходная система уравнений (23) распадается на несколько более простых систем, решаемых последовательно. Если при этом все вычисления производить без округлений, то через вполне определенное заранее известное конечное число шагов получится точное решение системы (23).

Поэтому их называют также точными. Альтернативой для указанных методов являются итерационные алгоритмы, в которых решение находится как предел при последовательных приближений , где - номер итераций.

Зависимости температуры поверхности и экспериментальной температуры от времени, а также теплового потока и коэффициента теплоотдачи представлены на рисунках 4, 5, 6 ,7 и 8 соответственно.

Т, К

Т, К

Рис. 4. Температура поверхности и экспериментальная температура

для однослойной пластины.

Рис. 5. Тепловой поток и коэффициент теплоотдачи для однослойной пластины.

Т, К

Т, К

Т, К

Т, К

Рис. 7. Тепловой поток и коэффициент теплоотдачи для двухслойной

пластины точки 1.

Рис. 8. Температура поверхности и экспериментальная температура

для двухслойной пластины точки 2.

Рис. 6. Температура поверхности и экспериментальная температура

для двухслойной пластины точки 1.

Рис. 9. Тепловой поток и коэффициент теплоотдачи для двухслойной

пластины точки 2.

В реальных условиях измеряемые температуры (то есть исходные данные для обратной тепловой задачи) являются случайными величинами из-за дефектов производства, технологии изготовления, загрязнения поверхности, погрешности измерения и обработки экспериментальной информации. Влияние погрешностей исходной информации на решение обратной задачи теплопроводности оценивалось с помощью метода статистических испытаний Монте – Карло / 5-8 /. Анализ результата статистического моделирования решения обратной задачи позволяет установить коридор ошибок искомых граничных условий.

Одним из методов решения ОЗТ является метод статистических испытаний Монте –Карло, который заключается в статистическом моде­лировании аналитических решений ОЗТ с учетом случайного характе­ра исходных данных /121/.

В методе Монте-Карло основным является случайная выборка исходных данных /24/. В данной работе для этого необходим источ­ник случайных чисел.

Введем для исходных данных обозначение

(24)

где - математическое ожидание j – го параметра в точках. Ошибку представим в виде

= (25)

где - максимально возможная погрешность,

- функция возмущения, в общем случае различная во всех точках.

Функция возмущения имеет вид при возмущении по нормальному закону распределения плотностей вероятностей при использовании правила "трех сигм"; - случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием m = 0 и дисперсией Д = 1.

Используя метод Монте – Карло можно исследовать влияние по­грешности исходной информации (геометрические размеры, место уста­новки температурного датчика, теплофизические характеристики, измерения и обработки экспериментальной температуры внутренних точек тела) на решение ОЗТ. Коридор ошибок восстановленного решения мож­но определить по результатам статистической обработки полученных реализации. Кроме того, процедура Монте – Карло позволяет рассматри­вать влияние каждой входной величины на решение ОЗТ. Найденные та­ким путем статистические характеристики решения ОЗТ можно исполь­зовать для того, чтобы направить инженерные усилия на уменьшение именно тех случайных вариаций, которые наиболее сильно сказывают­ся на решении ОЗТ.

Проведенные расчеты для однослойной пластины показали, что погрешность в задании экспериментальной температуры до 5% вызывает максимальные отклонения температуры поверхности до 10% на