Xreferat.com » Рефераты по авиации и космонавтике » Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

КИЕВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Шевченко


Факультет физики и астрономии


РЕФЕРАТ


НА ТЕМУ: ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ МЕТРИКА,УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ


Выполнила: студентка ІV курса

Группа 103 В

Голуб Наталия


Киев 2009


Содержание


1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ МЕТРИКА

1.1 Скорость света

1.2 Шварцшильдовы координаты

1.3 Изотропные координаты

2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

2.1 Уравнение энергии

2.2 Шкалы времени

3. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ


1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ МЕТРИКА


В четырехмерном римановом пространстве общее выражение для интервалаПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениемежду двумя событиями выражается производными

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение следующим образом:


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение (1.1.1)


гдеПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— свободные индексы (а не обозначения степеней), и, кроме того, принято обычное правило суммирования (повторяющийся свободный индекс предполагает суммирование по всем его значениям 0, 1,2, 3). Таким образом, выражение (1.1.1) представляет собой сумму 16 членов. ЗначенияПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— функции координат; они определяют собой метрику пространства.

В соответствии с общей теорией относительности эта метрика зависит от распределения материи; значенияПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеудовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям в частных производных, известным как уравнения Эйнштейна. Такая метрика называется пространственно-временной.

Последовательность координат движущейся частицы описывает ее «мировую линию», в частности, мировая линия частицы, свободно перемещающейся в гравитационном поле, называется геодезической.

Для наших целей достаточно ограничиться рассмотрением статического сферически симметричного поля, создаваемого единственной изолированной массой. ОтождествимПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениес пространственными координатами относительно центра симметрии, аПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение временной координатой, обозначив ее через t. Предположение о статичности поля подразумевает, что значенияПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениене являются функциями t, а радиальный масштаб может быть определен как произвольная функция радиуса. Поскольку этот масштаб выбран, дифференциальные уравнения, описывающие геодезическую, заданы полностью.

Тем не менее остается свободным еще выбор пространства координатПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениечто эквивалентно выбору геометрической проекции при построении двухмерных карт. Аткинсон [8] показал, что релятивистские свойства сферически симметричного поля можно строго описать в рамках трехмерного евклидова пространства, поскольку предположение о сферической симметрии подразумевает неизменность вида метрики при евклидовых преобразованиях пространственных координат.

Принимая такую точку зрения, мы определяем евклидово пространство тремя взаимно ортогональными декартовыми осями с началом в центре симметрии; эта система координат описывает покоящуюся систему отсчета. Определим координатный вектор х и координатную скоростьПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениекак трехмерные евклидовы векторы, компоненты которых соответствен


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


ЕслиПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— единичный вектор в направлении х, то наиболее

общее выражение интервалаПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениев случае статического сферически симметричного поля имеет вид


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение (1.1.2)


гдеПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение — константа,Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— функции радиуса Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение(в этойформуле и далее все индексы — показатели степени).

Рассмотрим только так называемые временноподобные интервалы, для которых Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение в этом случае т называется «собственным» временем. Аткинсон [9] показал, что уравнения Эйнштейна приводят к двум соотношениям между коэффициентами формулы (1.1.2), которые в наших обозначениях таковы:

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение (1.1.3)

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение (1.1.4) гдеПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— другая константа, а также

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


ВыборомПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение, как произвольной функции радиальной координаты, можно описать бесконечное число сферически симметричных метрик, удовлетворяющих уравнениям Эйнштейна. Единственное условие, которое должно быть при этом удовлетворено, заключается в том, что приниными словами, на бесконечном расстоянии Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеот начала координат выражение интервала принимает вид (1.1.5)


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


который задает плоскую метрику Минковского специальной теории относительности. Система отсчета, в которой метрика имеет вид (1.1.э), называется инерциальной или лорентцевой системой отсчета.


1.1 Скорость света


Мировая линия фотона, называемая нулевой геодезической, определяется так, чтоПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениевсегда равно нулю. Уравнение (1.1.5) показывает, что на нулевой геодезической в бесконечном удалении от начала


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


т. е. координатная скорость света в «пустом» пространстве равна Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение, Однако в нашем евклидовом пространстве координатная скорость света не равнаПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение. Приняв вПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеимеем

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение(1.1.6)


что эквивалентно


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение (1.1.7)


Скорость света в произвольной точке х зависит от радиальной координаты и направления. В радиальном направлении скорость задается формулой


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


в то время как в тангенциальном направлении


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


и, следовательно,


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


1.2 Шварцшильдовы координаты


Рассмотрим преобразование пространственных координат


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

гдеПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениевсегда равноПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение.

Дифференцируя это выражение и учитывая, чтоПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение получаем


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


откуда следует, что


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


и


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Из формулПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениевидно, что выражение (1.1.2) для интервалаПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениепреобразуется к виду


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Где


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Выражение Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— векторная форма метрики в стандартных координатах Шварцшильда; соответствующую скалярную форму в сферических координатах, как строгое решение уравнений Эйнштейна, впервые получил в 1916 г. К. Шварцшильд.

Мы показали, что общее выражение (1.1.2) с помощью формул (1.1.3) и (1.1.4) может быть приведено к шварцшильдовой форме (1.1.12) путем чисто алгебраического преобразования соотношения (1.1.8). Таким образом, уравнения, выведенные с использованием метрики Шварцшильда, можно преобразовать к некоторой общей сферически симметричной метрике.


1.3 Изотропные координаты


Рассмотрим систему координат, определяемую формулой


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


В соответствии с (1.1.3), получаем


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Дифференцируя (1.1.14) поПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение, находим


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Следовательно, по (1.1.4) имеем


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

или


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


и выражение (1.1.2) для элементаПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениепринимает вид


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

Это выражение известно как изотропная форма метрики Шварцшильда, поскольку, приняв вПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение, можно найти, что координатная

скорость света в точке х, задаваемая формулой


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

одинакова во всех направлениях.


2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ


Можно показать (см. Приложение В), что уравнения, определяющие геодезические, выводятся из обычных уравнений Эйлера — Лагранжа, которые в координатах Шварцшильда имеют вид


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


гдеПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— лагранжиан,


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


а точка сверху обозначает дифференцирование поПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

Уравнение (1.2.1) дает непосредственно


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Или

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


гдеПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— постоянная интегрирования.

Формула (1.2.2) приводит к следующему выражению, вывод которого содержится в Приложении В:


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Умножая (1.2.2) векторно наПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение, получаем

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


вследствие того чтоПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеТаким образом,


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


где Н — постоянная, а h — постоянный единичный вектор. Из последнего уравнения следует, что геодезическая лежит в плоскости, перпендикулярной h, а угловой момент по отношению к собственному времени остается неизменным. Угловой момент постоянен только в координатах Шварцшильда. В произвольной метрике, для которой Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение уравнение (1.2.6) имеет вид


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


правая часть которого не является постоянной, поскольку x — функцияПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

При этих условиях (1.2.6) эквивалентно уравнению


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


и, следовательно, уравнение геодезической (1.2.5) в координатах Шварцшильда принимает вид


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


2.1 Уравнение энергии


Умножение уравнения (1.2.9) скалярно наПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениес последующим интегрированием дает

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

гдеПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— постоянная интегрирования.

Это выражение можно также получить, исключаяПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеиз (1-2.4) и (1.2.3), с условием, чтоПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеЭто приводит к

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

Вследствие того что

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

и

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

левая часть (1.2.11) вдвое превышает левую часть (1.2.10) и, следователь!; о,Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

СчитаяПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениев точке, гдеПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеиз (1.2.10) находим

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

где

Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


2.2 Шкалы времени


Уравнение (1.2.4)—дифференциальное, связывающее координатное и собственное время. С учетом (1.2.11) имеем


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

ЕслиПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеопределено интегрированием формулы (1.2.9), то можно найтиПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеи, следовательно, получить после интегрирования выражения (1.2.15)Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениекак функциюПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение

Необходимо также выразить дифференциальное уравнение (1.2.15) через координатную скоростьПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеПринимая в (1.2.11)


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


с учетом (1.2.4) получаем


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Формулы (1.2.15) и (1.2.16) можно вывести делением формулы (1.2.32) на, соответственно,Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


3. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ


Принимая в уравнении (1.2.9)Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение получим известное выражение для ускорения под действием закона всемирного тяготения Ньютона


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Здесь мы отождествляемПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение гдеПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— постоянная тяготения, аПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение - центральная масса. В этом случае в соответствии с (1.1.13) Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение а из Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение Таким образом, уравнение (1.2.4) дает.Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение а координатное и собственное время оказывается идентичным.

Подставив (1.3.8) в (1.2.9) и зная, чтоПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— произвольная функция Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение можно получить уравнение геодезической в любых координатах. Очевидно, что даже и приПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениезакон обратных квадратов строго выводится только в случае постоянства к, что вновь приводит нас к стандартным координатам Шварцшильда с простой лишь сменой шкалы. Таким образом, уравнение геодезической (1.2.9) в стандартных координатах Шварцшильда является непосредственным релятивистским обобщением уравнения Ньютона (1.3.1). В этих координатах мы и будем рассматривать теорию орбитального движения, принимая ньютоново решение как первое приближение.

Теперь имеем


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


и, следовательно,


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


и далее по (3.3.1)


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Учитывая, чтоПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение—постоянный единичный вектор, интегрирование дает


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


гдеПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение— произвольный постоянный единичный вектор, а е — произвольная константа. В силу перпендикулярности Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеиПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение из (1.3.3) следует, чтоПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеперпендикулярноПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеи находится в плоскости орбиты.

Умножив скалярно (1.3.3) наПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеполучаем


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


где обозначеноПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближениеРазделив (1.3.4) наПространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение, находим уравнение

орбиты


Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение


Поскольку

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: