Реакция опор твердого тела

Определение реакции опор твердого тела

Дано: Q= 4 кН Т=6 кН G=3 кН a=20 см b=40 см c=15 см R=20 см r=10 см T=2t t II AY

T AZ PIIAY

Решение: К системе приложены сила тяжести G, силы натяжения нитей T, t и P. Реакция подпятника А определяется тремя составляющими: XА, YA,ZA, а реакция подшипника В-двумя: Хв и Yв.

Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить шесть уравнений равновесия.

ΣX=0 XA+XB-Tcos30°= 0 (1)

ΣY=0 YA+YB+Tsin30°+P+t = 0 (2)

ΣZ=0 ZA-G-Q=0 (3)

ΣMAX=0 –YB(a+b)-Pa-QRcos45°-t(a+b+c)-Tsin30°(a+b+c)=0 (4)

ΣMAY=0 XB(a+b)-QRsin45°-Tcos30°(a+b+c)=0 (5)

ΣMAZ=0 Pr+tR-TR=0 (6)

Из уравнения (6) находим P=(T-t)R/r = (6-3)*20/10= 6 кН

Из уравнения (5) находим XB= (QRsin45°+Tcos30°(a+b+c))/(a+b) = (4*20*0,707+6*0,866(20+40+15))/(20+40) = 7,44 кH

Из уравнения (4) находим YB= -(Pa+QRcos45°+t(a+b+c)+Tsin30°(a+b+c))/(a+b) = -(6*20+4*20*0,707+3*(20+40+15)+6*0,5(20+40+15))/(20+40)= -10,44 кH

Из уравнения (3) находим ZA=G+Q=3+4= 7 кH

Из уравнения (2) находим YA=-YB-Tsin30°-P-t=10,4-6*0,5-6-3= -1,6 кН

Из уравнения (1) находим XA=-XB+Tcos30°= -7,44+6*0,866= -2,24 кН

Знак (-) перед найденными значениями реакций XA,YA и YB означает, что данные силы действуют в направлении, противоположном выбранному на рисунке.

Точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M.

Схема механизма показана на рисунке 1, исходные данные, приведены в таблице 1:

Рисунок 1

Решение

Будем считать, что в заданный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью треугольника D. Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr =ОМ.

При t = 2 c

Sr=6(2+0,5*22) = 24 см.

Абсолютную скорость точки М найдём как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:

Модуль относительной скорости

,

где

.

При t = 2 c

Положительный знак у показывает, что вектор направлен в сторону возрастания Sr.

(1)

где R – радиус окружности L, описываемый той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка M, R= Sr sin 300 =12 см; - модуль угловой скорости тела:

При t = 2 c

Положительный знак у величины показывает, что вращение треугольника происходит вокруг оси OY в сторону, направления отчёта угла α. Поэтому вектор направлен по оси OY влево Рисунок 2.

Модуль переносной скорости, по формуле (1),

Вектор направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела. Так как и взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости точки M

,

или

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

или в развёрнутом виде

Рисунок 2 Рисунок 3

Модуль относительного касательного ускорения

где

При t = 2 c

Положительный знак показывает, что вектор направлен в сторону Sr. Знаки и одинаковы; следовательно, относительное движение точки М ускоренное.

Относительное нормальное ускорение

так как траектория относительного движения – прямая ().

Модуль переносного вращательного ускорения

(2)

где - модуль углового ускорения тела D:

При t = 2 c

Знаки и одинаковы; следовательно, вращение треугольника D ускоренное, направления векторов и совпадают Рисунок 2,3.

Согласно (2),

Вектор направлен в ту же сторону, что и .

Модуль переносного центростремительного ускорения

Вектор направлен к центру окружности L.

Кориолисово ускорение

Модуль кориолисова ускорения

где

С учётом найденных выше значений, получаем

Вектор направлен согласно правилу векторного произведения Рисунок 3

Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций:

Результаты расчёта сведены в таблице 2.

Д-10 вар.8 d

Дано ω

m1=m A

m2=1/2m R N ω Fтр N

m3=1/3m G δ

R3=30 p 300 G

α=300

β=450 450

f=0.15 Рис №1

δ=0.20см d

S=1.75м А

Найти v1 N

G

р

N

G

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

где и кинетические энергии системы в начальном и конечном положениях; сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное; сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями.

Так как в начальном положении система находится в покое, то .

Следовательно, формула (1) принимает вид.

(2)

Найдем кинетические энергии тел участвующих в системе.

Найдем кинетическую энергию тела 1 движущегося поступательно

(3)

Найдем кинетическую энергию тела 2 вращающегося вокруг оси Ox

(4)

Момент инерции относительно оси вращения.

(5)

Так как точка Р является мгновенным центром скоростей, то и следовательно,

(6)

Подставив в формулу (4) формулы (5) и (6) получим кинетическую энергию тела 2 вращающегося вокруг оси Ox:

(7)

Найдем кинетическую энергию тела 3 совершающего плоско вращательное движение

(8)

(9)

Так как точка Р является мгновенным центром скоростей, то и следовательно,

(10)

Подставив в формулу (8) формулы (9) и (10) получим кинетическую энергию тела 3 совершающего плоско вращательное движение:

(11)

Теперь полученные формулы (3), (7) и (11) подставим в формулу вида

и получим формулу суммы кинетических энергий для данной системы имеющий вид:

(12)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданной ее перемещении.

Работа силы тяжести

(13)

Работа силы трения

(14)

(15)

при подстановки в формулу (14) формулу (15) работа силы трения имеет вид

(16)

Работа силы тяжести

(17)

Работа силы сцепления катка 2 равна нулю, так как эта сила приложена в мгновенный центр скоростей этого катка.

Работа пары сил сопротивления качению катка 3

(18)

(19)

(20)

при подстановки в формулу (19) формулы (20) момент инерции имеет вид

(21)

(22)

при подстановки в формулу (18) формул (21) и (22) работа пары сил сопротивления качению имеет вид.

(23)

для нахождения общей работы воспользуемся формулой такой и теперь подставим в неё формулы (13), (16), (17) и (23) получим.

(24)

примем за величину которая в скобках получим

(25)

подставим в выражение (24) уравнение (25) и получим

(26)

воспользовавшись формулой (2) и подставив, туда формулы (12) и (26) получим

(27)

подставив в формулу (27) выражение (25) получим

ответ;

Р1=6кН

Р2=6кН

q=1кН/м

M=7кН*м

Q=q*10=10кН

Xc-?

Q*dtc-p1cos*dtc-p2cos+dtc+Xc*dtc=0

Xc+Q-p1cos-p2cos=0

Xc=p1cos+p2cos-Q/1=6*cos+6*cos-10=1,84кН;

Yc-?

MdjAD-Q*10djAD+Yc*5djB-p2*3sin*djBC+p2*3sin*djBC+p1cos*djBC=0

djAD-djBC

M-Q*10+Yc*5-p2*3sin+p1*3sin+p1*5cos/5=-7+10*10+6*3*0,86-6*3*0,5-6*5*0,86/5=14,7 кН;

Q-p1cos-p2cos-Xc=0

10-6*0,86-6*0,5-1,8=0