Теоретическая механика

Конспект лекций по предмету

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Для студентов специальности:

260501.65 Технология продуктов общественного питания,

форма обучения - очная

Конспект лекций составлен на основе:

Буторин Л.В., Бусыгина Е.Б. Теоретическая механика. Учебно-практическое пособие. – М., МГУ ТУ, 2004

Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 2001г. - с.

Яблонский А.А., Никифорова В.Н. Курс теоретической механики. М. “Лань”, 2000г.

Введение

Современные промышленные производства, в том числе пищевые, являются высокомеханизированными производствами. На технологическое оборудование возлагается решение все более сложных задач, что в свою очередь ведет к усложнению оборудования. Формирование современного инженера немыслимо без знания фундаментальных дисциплин. Одной из таких дисциплин является теоретическая механика.

Теоретическая механика – раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Механическим движением называется изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел, механическим взаимодействием – такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Теоретическую механику принято делить на: статику, кинематику и динамику.

В статике изучаются условия равновесия материальных тел и методы тождественного преобразования системы сил. Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.

В кинематике рассматриваются общие геометрические характеристики движения тел. Действующие на тело силы не рассматриваются. Закон движения задается. Закон движения тела – это зависимость положения тела в пространстве от времени.

В динамике изучают общие законы движения тел под действием сил.

1. Cтатика твердого тела

1.1 Основные понятия статики

Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется. Следствие размеры и форма тела не изменяются.

Материальная точка – тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.

Свободное тело – тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.

Несвободное (связанное) тело – тело, на перемещение которого наложены ограничения.

Связи – тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).

Механическая система – совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.

Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.

Сила – векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.

Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением (рис.1.1). Единица измерения модуля силы – Ньютон.

Рис.1.1. Рис.1.2.

Линия действия силы – прямая, вдоль которой направлен вектор силы.

Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.

Распределенные силы (распределенная нагрузка) – силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела (рис.1.2).

Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).Размерность распределенной нагрузки – Н/м3 (Н/м2, Н/м).

Внешняя сила – сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.

Внутренняя сила – сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.

Система сил – совокупность сил, действующих на механическую систему.

Плоская система сил – система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.

Пространственная система сил – система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Система сходящихся сил – система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис.1.3).

Произвольная система сил – система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.(рис.1.4)

Рис.1.3 Рис.1.4

Эквивалентные системы сил – такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела. Принятое обозначение:

Уравновешенная система сил – система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).

Равнодействующая сила – сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.

Момент силы – величина, характеризующая вращающую способность силы.

Пара сил – система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил. Принятое обозначение – ().Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.

Проекция силы на ось – отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси (рис.1.5 ).

Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.

Проекция силы на плоскость – вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости (рис.1.6).

Рис.1.5 Рис.1.6

1.2. Аксиомы статики

В основе теоретических положений статики лежит ряд аксиом. Аксиома, это закон, сформулированный в результате обобщения результатов наблюдений.

Аксиома равновесия.

Две силы, действующие на твердое тело, уравновешиваются только в том случае, если они равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис.1.7).

Рис.1.7 Рис.1.8

Аксиома присоединения ( исключения) уравновешенной системы сил.

Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или исключить из нее уравновешенную систему сил (рис 1.8).

Аксиома о параллелограмме сил.

Система двух сил, приложенных в одной точке твердого тела, имеет равнодействующую, приложенную в той же точке. Вектор равнодействующей является диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис.1.9).

Рис. 1.9 Рис.1.10

4.Аксиома противодействия.

При действии одного твердого тела на другое возникает сила противодействия, равная по модулю, противоположно направленная действующей силе (рис.1.10).

Примечание. Силу, действие которой задано, называют активной силой, силу противодействия называют реакцией.

5.Аксиома связей.

Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие соответствующими реакциями.

1.3 Связи и их реакции

Тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта, будем называть связями. Сила, с которой связь действует на рассматриваемый объект, называется реакцией связи. При определении возможных реакций связи следует исходить из того, что реакция это сила, препятствующая перемещению рассматриваемого тела. Реакция направлена в сторону, противоположную той, куда связь не позволяет перемещаться телу.

Рассмотрим некоторые часто встречающиеся связи .

Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности (рис.1.11).

Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры (рис.1.12)

Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости ,перпендикулярной оси вращения. При расчетах реакцию Fr, как правило, представляют в виде двух составляющих по осям X и Y (рис.1.13).

Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня (рис.1.14).

Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости (рис.1.15). Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Рис.1.11 Рис. 1.12 Рис.1.13 Рис.1.14 Рис.1.15

1.4 Момент силы относительно точки

Под действием силы твердое тело наряду с поступательным движением может совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательная способность силы характеризуется моментом силы. Вращательный эффект силы зависит от модуля силы, расстояния от центра до линии действия силы, направления поворота в плоскости вращения.

Абсолютное значение момента равно произведению модуля силы на кратчайшее расстояние h от центра вращения до линии действия силы. Расстояние h называют плечом силы (рис.1.16).

М0 () = F Ч h, ( 1.1)

Момент считают положительным, если сила стремится вращать плечо h против хода часовой стрелки и отрицательным при вращении по ходу часовой стрелки.

Свойства момента силы относительно точки:

1. Момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль линии действия силы.

2. Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через точку приложения силы.

3. Момент равнодействующей силы относительно точки равен сумме моментов слагаемых сил относительно этой точки.

где (1.2)

Рис.1.16. Рис.1.17.

1.5. Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент считается положительным, если с положительного конца оси поворот, который сила стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.

. (1.3)

Чтобы найти момент силы относительно оси, нужно (рис 1.17);

1. Провести плоскость перпендикулярную оси z.

2. Спроецировать силу на эту плоскость и вычислить величину проекции .

3. Провести плечо h из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции силы и вычислить его длину.

4. Найти произведение этого плеча и проекции силы с соответствующим знаком /

Свойства момента силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен нулю, если:

1. , т.е. сила параллельна оси.

2. h=0 , т.е. линия действия силы пересекает ось.

1.6. Момент пары сил

Пара сил оказывает на тело вращающее действие. Момент пары сил равен произведению одной силы на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары, которое называется плечом пары (рис.1.18)

, (1.4)

где: -силы, составляющие пару;

h - плечо пары

Рис.1.18.

Момент пары считают положительным, если силы стремятся вращать плечо против хода часовой стрелки.

Свойства пары сил

1. Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю.

2. Не изменяя момента пары можно одновременно соответственно изменять значение сил и плечо пары.

3. Пару можно переносить в плоскости ее действия при этом действие пары на тело не изменится.

1.7. Тождественное преобразование систем сил

Преобразование может быть выполнено графическим или аналитическим способом.

1.7.1. Преобразование сходящейся системы сил

Равнодействующая R двух сходящихся сил находится на основании аксиомы о параллелограмме сил. (рис.1.9). Геометрическая сумма любого числа сходящихся сил может быть определена путем последовательного сложения двух сил (рис.1.19) – способ векторного многоугольника.

Вывод: система сходящихся сил (n) приводится к одной равнодействующей силе .

Рис.1.19 Рис.1.20. Рис.1.21.

Аналитически равнодействующая сила может быть определена через ее проекции на оси координат

, (1.5 )

Согласно теореме: проекция равнодействующей на ось равна сумме проекций слагаемых сил на эту ось (рис.1.20). Rx = F1 x + F2 x + F3 x , или в общем виде

Rx = е Fkx (1.6)

С учетом (1.6) равнодействующая определяется выражением

, (1.7)

Направление вектора равнодействующей определяется косинусами углов между вектором и осями x, y, z (рис.1.20)

где

1.7.2. Преобразование произвольной системы сил.

Применить правило параллелограмма сил непосредственно к произвольной системе сил нельзя, так как линии действия сил не пересекаются в одной точке. Предварительно систему сил приводят к одному центру на основании теоремы о параллельном переносе силы.

Теорема: силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, перенести параллельно в другую точку тела, прибавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, в которую она переносится (рис.1.22).

В результате указанного преобразования получается сходящаяся система сил и сумма моментов пар сил. Действие сходящейся системы сил заменяют действием суммарной силы, действие моментов - суммарным моментом. Суммарный вектор * называют главным вектором системы сил, суммарный момент * - главным моментом системы сил.

Рис.1.22

Вывод: произвольная система сил в результате тождественного преобразования приводится к главному вектору * и главному моменту * системы сил.

Аналитически главный вектор и главный момент системы сил могут быть определены через их проекции на оси координат

, ( 1.8 )

. (1.9)

1.8 Условия равновесия систем сил

1.8.1. Равновесие системы сходящихся сил

По определению (см.п.1.1) действие системы сходящихся сил эквивалентно действию одной равнодействующей силы . Для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю = 0.

Из формулы (1.7) следует, что для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси X,Y,Z равнялась нулю

е Fkx = 0

е Fky = 0 ( 1.10) еFkz = 0

Для равновесия плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси X,Y равнялась нулю

е Fkx = 0

е Fky = 0 ( 1.11 )

1.8.2. Равновесие произвольной системы сил.

Действие произвольной системы сил эквивалентно действию главного вектора и главного момента. Для равновесия необходимо и достаточно выполнения условия

* = 0 (1.12 )

* = 0

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси X,Y,Z и суммы моментов всех сил относительно осей X,Y,Z равнялись нулю.

еFkx = 0

еFky = 0

еFkz = 0 (1.13)

еМх (k) = 0

еМy (k) = 0

еМz (k) = 0

Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций главного вектора на оси X,Y, и алгебраическая сумма моментов сил относительно центра О были равны нулю.

еFkx = 0