Теоретическая механика
еМо
(
k)
= 0
1.9. Вопросы для самоконтроля по разделу
1. Дайте определение абсолютно твердого тела, материальной точки, силы, линии действия силы, системы сил (плоской, пространственной, сходящейся) произвольной систем сил.
2. Что называется проекцией силы на ось, на плоскость?
3. Что называется моментом силы, как определяется момент силы относительно точки?
4. Изменяется ли момент силы относительно данной точки при переносе силы вдоль линии ее действия?
5. В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?
6. Какая система сил называется парой сил, чему равен момент пары сил?
7. Что называют связью? В чем заключается принцип освобождения от связей? Перечислите основные типы связей, покажите их реакции.
8. Каковы условия и уравнения равновесия системы сходящихся и произвольной систем сил, расположенных в пространстве и в плоскости?
9. Сформулируйте порядок решения задач статики.
2. Кинематика
Кинематика- раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела. Соответственно, изучение делят на кинематику точки и кинематику твердого тел
2.1 Основные понятия кинематики
Закон движения точки (тела) – зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
Траектория точки – геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
Скорость точки (тела) – характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
Ускорение точки (тела) – характеристика изменения во времени скорости точки (тела)
2.2. Кинематика точки
2.2.1 Способы задания движения точки
Задать движение точки - значит задать изменение ее положения по отношению к выбранной системе отсчета. Существует три основных систем отсчета: векторная, координатная, естественная. Соответственно возможны три способа задания движения точки.
В векторной
системе положение
точки относительно
начала отсчета
задается
радиус-вектором
(рис.2.1). Закон
движения
Положение точки в системе координат OXYZ задается тремя координатами X,Y,Z (рис.2.2). Закон движения – x = x( t ), y = y( t ), z = z( t ).
Положение точки в естественной системе отсчета задается расстоянием S от начала отсчета до этой точки вдоль траектории (рис.2.3). Закон движения – s = s( t ).
Рис.2.1 Рис. 2.2 Рис.2.3
Движение точки при естественном способе задания движения определено если известны:
Траектория движения.
Начало и направление отсчета дуговой координаты.
Уравнение движения.
При естественном способе задания движения, в отличии от других способов, используются подвижные координатные оси, движущиеся вместе с точкой по траектории. Такими осями являются (рис. 2.4).
Касательная
(
)
– направлена
в сторону возрастания
дуговой координаты
по касательной
к траектории.
Главная нормаль (п) – направлена в сторону вогнутости кривой.
Бинормаль (в) – направлена перпендикулярно к осям t , n.
Рис. 2.4
2.2.2 Определение кинематических характеристик точки
Траектория точки
В векторной
системе отсчета
траектория
описывается
выражением
В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f (x,y) - в пространстве, или y = f(x ) – в плоскости.
В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
Скорость точки
Согласно определению (см. п. 2.1) скорость характеризует изменение во времени положения точки (тела) в пространстве.
Определение скорости точки в векторной системе координат
При задании
движения точки
в векторной
системе координат
отношение
перемещения
к интервалу
времени
называют средним
значением
скорости на
этом интервале
времени
.
Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости)
(2.1)
Вектор средней
скорости
направлен вдоль
вектора
в сторону движения
точки, вектор
мгновенной
скорости
направлен по
касательной
к траектории
в сторону движения
точки (рис.2.5).
Рис.2.5
Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
Отметим и используем в дальнейших рассуждениях следующее свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
Определение скорости точки в координатной системе отсчета
На основании свойства производной определим скорости изменения координат точки
(2.2)
Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен
(2.3)
Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов
где
- углы между
вектором скорости
и осями координат.
Определение скорости точки в естественной системе отсчета
Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки
V=
(2.4)
Согласно
предыдущим
выводам вектор
скорости направлен
по касательной
к траектории
в сторону движения
точки и в осях
nb
определяется
только одной
проекцией
.
Ускорение точки
По определению ускорение характеризует изменение скорости, т.е. скорость изменения скорости.
Ускорения точки в векторной системе отсчета
На основании свойства производной
, (2.5 )
Вектор скорости
может изменяться
по модулю и
направлению.
Для определения
приращения
вектора
совместим
начала векторов
(рис.2.6). Вектор
ускорения
направлен по
линии приращения
вектора скорости,
т. е. В сторону
искривления
траектории.
Рис.2.6
Ускорение точки в координатной системе отсчета
Ускорение изменения координат точки равно производной по времени от скоростей изменения этих координат
ax=
;
ay=
;
az=
.
Полное ускорение в прямоугольной системе координат будет определяться выражением
а =
,
(2.6)
Направляющие косинусы вектора ускорения
.
Ускорение точки в естественной системе отсчета
Приращение
вектора скорости
(рис.2.7)
можно разложить
на составляющие,
параллельные
осям естественной
системы координат
,
(2.7)
Разделив левую и правую части равенства (2.7 ) на dt, получим,
,
(2.8)
где:
-
тангенциальное
ускорение,
(2.9)
-
нормальное
ускорение,
(вывод см .[1], п.43)
где R - радиус кривизны траектории в окрестности точки
Рис. 2.7
2.3. Кинематика твердого тела
В отличие от кинематики точки в кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
- задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
- определение кинематических характеристик точек тела.
Способы задания и определения кинематических характеристик зависят от типов движения тел.
В настоящем пособии рассматриваются три типа движения: поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси и плоско-параллельное движение твердого тела
2.3.1. Поступательное движение твердого тела
Поступательным называют движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению (рис.2.8).
Доказана теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения (рис.2.8).
Вывод: Поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.
Рис. 2.8 Рис. 2.9
2.3.2 Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Вращательным вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
Положение тела определяется углом поворота j (рис.2.9 ). Единица измерения угла – радиан. (Радиан - центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2p радиана.)
Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси j = j(t). Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования
-
угловая скорость,
рад/с; (2.10)
-
угловое ускорение,
рад/с2 (2.11)
При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси его точки, не лежащие на оси вращения, движутся по окружностям с центром на оси вращения.
Если рассечь
тело плоскостью
перпендикулярной
оси, выбрать
на оси вращения
точку С и
произвольную
точка М, то
точка М будет
описывать
вокруг точки
С окружность
радиуса R
(рис. 2.9). За время
dt происходит
элементарный
поворот на угол
,
при этом точка
М совершит
перемещение
вдоль траектории
на расстояние
.Определим
модуль линейной
скорости:
( 2.12 )
Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим, см.(2.8)
,
где:
;
.
Подставляя в формулы выражение (2.12) получим:
, .
,
(2.13)
где:
-
тангенциальное
ускорение,
-нормальное
ускорение.
2.3.3. Плоско - параллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным называется движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости (рис.2.10). Для изучения движения тела достаточно изучить движение одного сечения S этого тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости. Движение сечения S в своей плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из двух элементарных движений: а) поступательного и вращательного; б) вращательного относительно подвижного (мгновенного) центра.
В первом варианте движение сечения может быть задано уравнениями движения одной его точки (полюса) и вращением сечения вокруг полюса (рис.2.11). В качестве полюса может быть принята любая точка сечения.
Рис. 2.10 Рис. 2.11
Уравнения движения запишутся в виде:
ХА
= ХА (t)
YА = YА (t) ( 2.14 )
jА = jА (t)
Кинематические характеристики полюса определяют из уравнений его движения.
Скорость любой точки плоской фигуры, движущейся в своей плоскости слагается из скорости полюса (произвольно выбранной в сечении точки А) и скорости вращательного движения вокруг полюса (вращение точки В вокруг точки А).
Ускорение точки движущейся плоской фигуры складывается из ускорения полюса относительно неподвижной системы отсчета и ускорения за счет вращательного движения вокруг полюса.
(2.15 )
(2.16 )
Во втором варианте движение сечения рассматривается как вращательное вокруг подвижного (мгновенного) центра P (рис.1.12). В этом случае скорость любой точки В сечения будет определяться по формуле для вращательного движения
(2.17 )
Угловая скорость вокруг мгновенного центра Р может быть определена если известна скорость какой либо точки сечения, например точки А.
(2.18)
Рис.2.12
Положение мгновенного центра вращения может быть определено на основании следующих свойств:
вектор скорости точки перпендикулярен радиусу;
модуль скорости точки пропорционален расстоянию от точки до центра вращения ( V= w ∙R) ;
скорость в центре вращения равна нулю.
Рассмотрим некоторые случаи определения положения мгновенного центра.
1. Известны направления скоростей двух точек плоской фигуры (рис.2.13). Проведем линии радиусов. Мгновенный центр вращения Р находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей.
2. Скорости
точек А и В известны,
причем вектора
и
параллельны
друг другу, а
линия АВ
перпендикулярна
(рис. 2. 14). В этом
случае мгновенный
центр вращения
лежит на линии
АВ. Для его
нахождения
проведем линию
пропорциональности
скоростей на
основании
зависимости
V= wR.
3. Тело катится без скольжения по неподвижной поверхности другого тела (рис.2.15). Точка касания тел в данный момент имеет нулевую скорость в то время, как скорости других точек тела не равны нулю. Точка касания Р будет мгновенным центром вращения.
Рис. 2.13 Рис. 2.14 Рис. 2.15
Кроме рассмотренных вариантов скорость точки сечения может быть определена на основании теоремы о проекциях скоростей двух точек твердого тела.
Теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, проведенную через эти точки, равны между собой и одинаково направлены.
Доказательство: расстояние АВ изменяться не может, следовательно,
VА cosa не может