Xreferat.com » Рефераты по физике » Электромагнитные волны

Электромагнитные волны

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики.

Межрегиональный центр переподготовки специалистов


ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Электромагнитные поля и волны»


Выполнил:

Проверил:

Лиманский В.Н.


Новосибирск, 2010


Излучение электромагнитных волн. Электродинамические потенциалы. Элементарный электрический излучатель. Поля излучателя в ближней и дальней зонах.


Возможность излучения электромагнитных волн, т.е. передачи электромагнитной энергии из некоторой замкнутой области, содержащей сторонние источники, в окружающее пространство, непосредственно вытекает из уравнения баланса электромагнитной энергии. Излучение электромагнитных волн может иметь место только при переменных токах. Экспериментальное подтверждение возможности излучения электромагнитных волн впервые осуществлено опытами Г.Герца. Определяющее значение в использовании этой возможности для практической деятельности человека и, следовательно, для становления современной радиотехники, имело изобретение радио А.С.Поповым в 1895г.

Сформулируем задачу: пусть в среде, характеризуемой параметрами eа, mа и s распределен сторонний ток jст. Требуется определить векторы Электромагнитные волны и Электромагнитные волны, удовлетворяющие уравнениям Максвелла (3.2[4]).

Для определения векторов поля по заданным источникам обычно применяют искусственный прием: сначала находят вспомогательные функции, а потом через них уже вычисляют векторы Электромагнитные волны и Электромагнитные волны. Эти вспомогательные функции принято называть электродинамическими потенциалами.

Выпишем уравнения Максвелла в комплексной форме с учетом сторонних сил и введем вспомогательные функции.


Электромагнитные волны (4.1[4])


Используя материальные уравнения, преобразуем первое уравнение Максвелла следующим образом:


Электромагнитные волны.


Или окончательно:


Электромагнитные волны,


где: Электромагнитные волны - называется комплексной диэлектрической проницаемостью среды.

Для хороших диэлектриков, например воздуха, s » 0 и, соответственно, Электромагнитные волны.

Введем вспомогательную функцию, которую впредь будем называть векторным электродинамическим потенциалом Электромагнитные волны, следующим образом:


Электромагнитные волны (4.2[4])


Отсюда:

Электромагнитные волны. (4.3[4])


Подставим (4.2[4]) во второе уравнение Максвелла:


Электромагнитные волны,


отсюда:


Электромагнитные волны. (4.4[4])


Из курса высшей математики известно:


Электромагнитные волны,


где Электромагнитные волны - некоторая скалярная величина.

Пользуясь этим, введем еще одну вспомогательную функцию – скалярный электродинамический потенциал Электромагнитные волны


Электромагнитные волны (4.5[4])


Тогда из этого выражения получаем:


Электромагнитные волны. (4.6[4])


Используя материальные уравнения и выражения (4.3[4]), определяем вектор электрической индукции:

Электромагнитные волны (4.7[4])


Таким образом, все векторы, характеризующие электромагнитное поле (Электромагнитные волны и Электромагнитные волны), выражаются через две вспомогательные функции:Электромагнитные волны. Следовательно, теперь задача состоит в том, чтобы определить эти две функции. Для этого подставим (4.3[4]) и (4.6[4]) в первое уравнение Максвелла.


Электромагнитные волны,

Электромагнитные волны.


Учитывая известное из высшей математики тождество Электромагнитные волны, где Электромагнитные волны- любая векторная величина, преобразуем полученное выражение следующим образом:


Электромагнитные волны.

Электромагнитные волны.


Поскольку Электромагнитные волны- произвольные вспомогательные функции, то зададим их таким образом, чтобы выполнялось условие:


Электромагнитные волны . (4.8[4])


Условие (4.8[4]) получило название условие калибровки Лоренца.

С учетом (4.8[4]) окончательно получаем:

Электромагнитные волны, (4.9[4])


где: Электромагнитные волны – называют волновым числом,


Электромагнитные волны – оператор Лапласа.


Аналогичным образом, подставляя в третье уравнение Максвелла уравнение (4.7[4]), затем, учитывая условие калибровки Лоренца и известное тождество Электромагнитные волны, где Электромагнитные волны– некая скалярная величина, после несложных преобразований получим:


Электромагнитные волны. (4.10[4])


Таким образом, мы получили два неоднородных дифференциальных уравнения второго порядка для функций Электромагнитные волны. Среди множества решений выбирается то, которое удовлетворяет условию калибровки (4.8[4]), и затем уже с помощью (4.2, 4.3, 4.6, 4.7 [4]) определяются векторы электромагнитного поля.

Опуская ввиду громоздкости строгий вывод решения неоднородных дифференциальных уравнений (4.9[4]) и (4.10[4]), приведем лишь конечный результат решения этих уравнений:


Электромагнитные волны, (4.11[4])

Электромагнитные волны, (4.12[4])

где: V – область пространства, содержащая сторонние источники;

r – расстояние от источника до точки наблюдения (см. рис.1).


Электромагнитные волны

Рис.1. К пояснению выражений для электродинамических потенциалов


Рассмотрим простейший излучатель электромагнитных волн в виде короткого отрезка провода. Дадим определение:

Элементарным электрическим излучателем (ток Iст вибратором) называют отрезок провода, вдоль которого течет переменный ток с постоянной амплитудой Iстm = const, причем длина l этого проводника значительно меньше излучаемой длины волны l.

Представим ток Iст в комплексной форме:


Электромагнитные волны.


Применим к отрезку провода, по которому протекает ток Iст, закон сохранения заряда (см. ур. 1.26[4])


Электромагнитные волны,


или:Iстm = –jwQm, т.е. амплитуда изменения заряда в проводе пропорциональна изменению в нем амплитуды тока. Поскольку, по условию, амплитуда тока вдоль провода постоянна, то изменение будет происходить лишь на концах этого провода. Следовательно, элементарный электрический вибратор по своей сути представляет электрический колеблющийся диполь (см.рис.2).


Электромагнитные волныЭлектромагнитные волны

Рис. 2. Эквивалентность элементарного электрического излучателя и колеблющегося диполя


Малость длины l излучателя по сравнению с длиной волны l позволяет рассматривать его как точечный источник электромагнитных волн. Отметим, что первый искусственный излучатель, который использовал в своих опытах Герц, представлял собой два металлических шара, перезаряжаемых с высокой частотой индукционной катушкой (см. рис.3), т.е. являлся ничем иным, как колеблющимся диполем. Данный излучатель получил название диполя Герца.


Электромагнитные волны

Рис.3. Диполь Герца


Перейдем теперь к анализу элементарного электрического вибратора. Определим векторы напряженности электрического и магнитного полей Электромагнитные волны при заданном источнике сторонних сил Электромагнитные волны. Для этого вычислим вначале вспомога-тельную функцию – векторный электродинами-ческий потенциал Электромагнитные волны, используя (4.11[4]):


Электромагнитные волны (4.13[4])


Расположим элементарный электрический вибратор в сферической системе координат (см. рис.4). Теперь с помощью (4.3[4]) определим напряженность магнитного поля электрического излучателя:


Электромагнитные волны

Рис. 4. Расположение вибратора в сферической системе координат


· Из векторной математики. Операция rot в сферической системе координат некой векторной величины Электромагнитные волны:


Электромагнитные волны


где:Электромагнитные волны– единичные векторы

Электромагнитные волны


Вычисление операции rot проводим в сферической системе координат. Обратив внимание в (4.13[4]) на то, что Электромагнитные волны зависит только от r (и не зависит от j и q), в результате получим:


Электромагнитные волны (4.14[4])


Величину напряженности электрического поля вне области, содержащей источники сто-ронних сил, проще всего определить из первого уравнения Максвелла (причем будем полагать, что среда в этой области хороший диэлектрик, s » 0):


Электромагнитные волны,


отсюда: Электромагнитные волны. Раскрывая операцию rot в сферической системе координат, получим:


Электромагнитные волны (4.15[4])


Из полученных уравнений (4.14[4]) и (4.15[4]) несложно заметить, что составляющие электромагнитного поля электрического излучателя зависят от расстояния r. Вследствие этого принято различать ближнюю и дальнюю зоны излучателя.

Рассмотрим поле в ближней зоне:

Этот случай характеризуется тем, что расстояние r от излучателя значительно меньше длины излучаемой волны l, т.е. r << l.

Поскольку:


Электромагнитные волны,


где: Электромагнитные волны– скорость света;

e, m – относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости воздуха (равные единице),

то условие r << l означает что:


Электромагнитные волны


Тогда из (4.14[4]) и (4.15[4]) получаем следующие комплексные значения составляющих электромагнитного поля в ближней зоне:


Электромагнитные волны (4.16[4])


Перейдем от комплексных значений к мгновенным, (т.е. возьмем вещественную часть от приведенных выражений)


Электромагнитные волны (4.17[4])


На основании (4.17[4]) можно отметить следующие основные свойства электромагнитного поля элементарного электрического излучателя в ближней зоне:

Составляющие электромагнитного поля убывают в зависимости от расстояния r по разному: амплитуда электрического поля по закону 1/r3, амплитуда магнитного – по закону 1/r2.

Поскольку sin(wt) = cos(wt - p/2), то это означает, что электрическое и магнитное поля сдвинуты во времени по фазе на 900.

Определим вектор Пойнтинга в ближней зоне (т.е. плотность потока мощности, выходящего сквозь замкнутую поверхность S вокруг вибратора). Из (4.17[4]) следует, что вектор Пойнтинга будет иметь две составляющие:

Электромагнитные волны и Электромагнитные волны.


Мгновенные значения:


Электромагнитные волны


Отсюда видно, что обе составляющие вектора Пойнтинга изменяются во времени по закону sin(2wt) , т.е. принимает как положительные, так и отрицательные мгновенные значения. Очевидно, что среднее значение составляющих вектора Электромагнитные волныза период колебаний Т будет равно нулю. Это означает, что движение энергии ближнего поля имеет колебательный характер – в течение четверти периода Т (поскольку 2w) энергия движется в одном направлении, в течение следующей четверти периода энергия движется в противоположном направлении.

Вывод: Таким образом, ближнее электромагнитное поле не участвует в процессе излучения и имеет характер квазистационарного поля. Поясним сказанное рис.5 на примере струны, закрепленной на бесконечности.


Электромагнитные волны

Рис.5 Пример, поясняющий характер процесса в "ближней" и "дальней" зоне. Видно, что относительно распространения волны (ось z) в "ближней" зоне преобладает колебательный характер, тогда как в " дальней" зоне – волновой характер

Ближнюю зону называют также зоной индукции.

Рассмотрим теперь поле в дальней зоне. Этот случай характеризуется тем, что r >> l, и соответственно, kr >> 1. Используя это, можно записать:


Электромагнитные волны


Тогда из (4.14[4]) и (4.15[4]) получаем следующие комплексные значения составляющих электромагнитного поля в дальней зоне:


Электромагнитные волны (4.18[4])


Перейдем от комплексных значений к мгновенным:


Электромагнитные волны (4.19[4])


Исходя из (4.19[4]) отметим следующие основные свойства электромагнитного поля элементарного электрического излучателя в дальней зоне:

Амплитуды электрического и магнитного полей убывают одинаково по закону 1/r.

Электрическое и магнитное поля изменяются в одинаковой фазе:

(wt–kr) = w(t – rЭлектромагнитные волны) = w(t – rЭлектромагнитные волны) = w(t – rЭлектромагнитные волны) = w(t –Электромагнитные волны), (4.20[4])


где: Электромагнитные волны - называют фазовой скоростью.

Вектор Пойнтинга в дальней зоне имеет только одну составляющую:Электромагнитные волны.

Мгновенное значение:


ReЭлектромагнитные волны = Еqm cos(wt – kr)Hjm cos(wt – kr) = EqmHjm cos2(wt – kr).


Таким образом, мгновенное значение вектора Пойнтинга всегда оказывается положительным. Это, в свою очередь, означает, что энергия движется только в одном направлении – от излучателя и поэтому представляет собой энергию излученной электромагнитной волны.

Вернемся к фазе составляющих электромагнитного поля излучателя (wt – kr) = w(t – r/v). Заметим, что она зависит как от времени t, так и от расстояния r. Из курса общей физики известно, что любой процесс, описываемый уравнением вида: А = Аmcos(х), есть волновой процесс. Следовательно, исходя из (4.19[4]), заключаем, что электромагнитное поле в дальней зоне представляет собой электромагнитную волну, изменяющуюся во времени и в пространстве. Причем векторы Электромагнитные волны и Электромагнитные волны лежат перпендикулярно к направлению распространения r (т.к. у них индексы q и j) находятся в фазе и взаимно перпендикулярны друг к другу.

К основным параметрам элементарного электрического излучателя обычно относят:

диаграмму направленности;

мощность и сопротивление излучения.

На практике, как правило, основной интерес представляет дальняя зона излучения, поэтому данные параметры будут рассматриваться лишь применительно к этой зоне.

Диаграммой направленности называют зависимость нормированной амплитуды напряженности поля излучателя в дальней зоне от направления (т.е. от угловых сферических координат q и j) при постоянном расстоянии от излучателя (т.е. при r = const):


Электромагнитные волны,


где: Еmmax, Нmmax – максимальное амплитудное значение Еm(q,j) и Нm(q,j), соответственно.

Из (4.19[4]) имеем, что максимальное значение, например Еm(q,j), при изменении q и j соответствует:


Электромагнитные волны.


Следовательно, диаграмма направленности элементарного электрического излучателя:


Электромагнитные волны, (4.21[4])


и не зависит от угла j. Максимум излучения лежит в экваториальной плоскости вибратора (q=900); вдоль его оси излучения нет. В сферической системе координат диаграмма направленности представляет собой пространственную фигуру в виде тора (см. рис.6).

Электромагнитные волны

Рис. 7. Диаграмма направленности элементарного электрического излучателя


Определим теперь среднее значение вектора Пойнтинга элементарного элек-трического вибратора в предположении, что по излучателю длиной l протекает переменный ток I с частотой w. Для переменных (т.е. гармонических) полей Пср определяется выражением (3.18[4]):


Электромагнитные волны.


Для дальней зоны из (4.18[4]) получаем:


Электромагнитные волны. (4.22[4])


Для того, чтобы определить мощность, излучаемую вибратором, мысленно окружим излучатель поверхностью S. Напомним, что вектор Пойнтинга характеризует плотность потока мощности, проходящей через единичную поверхность. Следовательно, проинтегрировав Электромагнитные волны по всей поверхности S, мы определим мощность излучения излучателя:


Электромагнитные волны.


Поверхность S удобно взять в виде сферы, тогда, учитывая, что элементарная площадка dS выражается через угловые сферические координаты dq и dj как dS = r2sinq dq dj и расположена по нормали к вектору Электромагнитные волны, получим:


Электромагнитные волны (4.23[4])


Согласно полученному выражению мощность излучения пропорциональна квадрату амплитуды переменного тока, протекающего по излучателю. В этом смысле имеется прямая аналогия между выражением (4.23[4]) и обычным выражением для мощности переменного тока, выделяемой на некотором активном сопротивлении: Электромагнитные волны. Поэтому (4.23[4]) можно представить в следующем виде:


Электромагнитные волны,


где: Электромагнитные волны - называют сопротивлением излучения. (4.24[4])

Сопротивление излучения имеет очень важное значение в теории антенн, поскольку, как несложно заметить из (4.24[4]), оно характеризует излучательную способность антенной системы.

Преобразуем выражение для Rизл учитывая, что Электромагнитные волны:

Электромагнитные волны (4.25[4])


где Электромагнитные волны- имеет размерность [Ом] и называется характеристическим (волновым) сопротивлением среды. Zс определяется только параметрами eа, mа среды, окружающей элементарный излучатель.


Задача 1


Плоская электромагнитная волна распространяется в однородной немагнитной среде с относительной диэлектрической проницаемостью = 4 и удельной проводимостью . Частота электромагнитной волны f = 5,5 МГц. Определить:

1.Фазовую постоянную.

2.Длину волны в среде.

3.Расстояние, на котором амплитуда волны убывает на 100 дБ.

4.Отношение модуля плотности тока проводимости к модулю плотности тока смещения.


Электромагнитные волны

Рис.9 Плоская электромагнитная волна в реальной среде.

Дано: Электромагнитные волны=0,3Электромагнитные волны; Электромагнитные волны=4; Электромагнитные волны=5,5 МГц = Электромагнитные волныГц;

Решение.

Определим фазовую постоянную.

Для начала, найдем тангенс угла потерь:


Электромагнитные волны;(2.12 [2]), где


Электромагнитные волныудельная проводимость среды;

Электромагнитные волны круговая частота гармонических колебаний;

Электромагнитные волны абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.

Круговая частота гармонических колебаний равна:

Электромагнитные волны рад/с. (стр.30[1]), где

Электромагнитные волнычастота плоской электромагнитной волны.

Абсолютная диэлектрическая проницаемость среды равна:


Электромагнитные волны Ф/м. (1.36[2]) ,


где

Электромагнитные волныэлектрическая постоянная, равная:


Электромагнитные волны Ф/м. (1.11[3]).


Подставив числовые значения в (2.12 [2]), вычислим Электромагнитные волны:

Электромагнитные волны

Далее, определим фазовую постоянную по формуле:

Электромагнитные волны; (6.7 [1]), где


Электромагнитные волныабсолютная магнитная проницаемость среды.

Относительная магнитная проницаемость всех диамагнитных и большинства парамагнитных веществ весьма мало отличается от единицы, поэтому в расчетах данной задачи эффектами диа- и парамагнетизма пренебрежем, считая, что Электромагнитные волны. Отсюда:


Электромагнитные волны Гн/м. (1.63[3]).


Подставив числовые значения в (6.7 [1]), получим:

Электромагнитные волны

Определим длину волны в среде.

Так как Электромагнитные волны, то потери происходят как в проводящих средах, соответветственно длина волны определяется по формуле:


Электромагнитные волны; (6.28[1])


Подставив числовые значения в (6.28[1]), получим:

Электромагнитные волны

Определим расстояние, на котором длина волны убывает на 100 дБ.


Электромагнитные волны

Рис.10 Уменьшение амплитуды плоской волны при распространениии в среде с потерями.


Расстояние Z, на котором амплитуда волны убывает (затухает) на 100 дБ, найдем, используя закон изменения амплитуды вдоль оси распространения, который можно записать как:


Электромагнитные волны; (3.8[2]), где


Электромагнитные волныкоэффициент ослабления плоской волны в среде, равный:


Электромагнитные волны; (6.8 [1])


Подставив числовые значения в (6.8 [1]), получим:

Электромагнитные волны

Так как амплитуда затухает на 100 дБ, то отношение Электромагнитные волны, тогда:

Электромагнитные волны

Определим отношение модуля плотности тока проводимости к модулю плотности тока смещения.

По условию задачи Электромагнитные волны, соответветственно здесь плоская электромагнитная волна распространяется как в реальной среде, а в реальных средах, в отличии от свободного пространства потери волны возникают по двум причинам. Во-первых, потери связаны с конечной проводимостью среды

Похожие рефераты: