Xreferat.com » Рефераты по физике » Основная задача механики

Основная задача механики

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R3 – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.


Таблица 1.

m1, кг m2, кг m3, кг m4, кг R3 δ, см s, м
m 1/2m 5m 4m 25 0,20 2








Решение


Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:


Основная задача механики (1)


где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; Основная задача механики- сумма работ внешних сил, приложенных к системе; Основная задача механики- сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Основная задача механики


Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:


Основная задача механики (2)


Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:


Т = Т1 + Т2 + 4Т3 + Т4. (3)


Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,


Основная задача механики (4)


Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,


Основная задача механики, (5)


где J2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:


Основная задача механики, (6)


w2 – угловая скорость барабана 2:

Основная задача механики.(7)


После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:


Основная задача механики. (8)


Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоскопараллельное движение:


Основная задача механики, (9)


где VC3 – скорость центра тяжести С3 барабана 3, J3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:


Основная задача механики, (10)


w3 – угловая скорость барабана 3.

Мгновенный центр скоростей находится в точке СV. Поэтому


Основная задача механики, (11)

Основная задача механики. (12)


Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:


Основная задача механики. (13)

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно


Основная задача механики. (14)


Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):


Основная задача механики


Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:


Основная задача механики

или

Основная задача механики. (15)


Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести Основная задача механики:


Основная задача механики (16)


Работа силы тяжести Основная задача механики:


Основная задача механики (17)


Работа пары сил сопротивления качению Основная задача механики:

Основная задача механики (18)


где

Основная задача механики (19)

Основная задача механики (20)

Основная задача механики (21)


Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:


Основная задача механики (22)

Работа силы тяжести Основная задача механики:


Основная задача механики (17)


Работа силы тяжести Основная задача механики:


Основная задача механики (23)


Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):


Основная задача механики.


Подставляя заданные значения, получаем:


Основная задача механики

Или


Основная задача механики. (24)


Согласно теореме (2) приравняем значения Т и Основная задача механики, определяемые по формулам (16) и (24):


Основная задача механики,


откуда выводим


Основная задача механиким/с.


Дано:

R2=30; r2=20; R3=40; r3=40

X=C2t2+C1t+C0

При t=0 x0=7 Основная задача механики=0

t2=2 x2=557 см

X0=2C2t+C1

C0=7

C1=0

557=C2 *52+0*5+7

25C2=557-7=550

C2=22

X=22t2+0t+7

Основная задача механики=V=22t

a=Основная задача механики=22

V=r2Основная задача механики2

R2Основная задача механики2=R3Основная задача механики3

Основная задача механики3=V*R2/(r2*R3)=(22t)*30/20*40=0,825t

Основная задача механики3=Основная задача механики3=0,825

Vm=r3*Основная задача механики3=40*(0,825t)=33t

atm=r3Основная задача механики

Основная задача механики=0,825t

atm=R3Основная задача механики=40*0,825t=33t

anm=R3Основная задача механики23=40*(0,825t)2=40*(0,825(t)2

a=Основная задача механики


***********************************


Дано :R2=15; r2=10; R3=15; r3=15

X=C2t2+C1t+C0

При t=0 x0=6 Основная задача механики=3

t2=2 x2=80 см

X0=2C2t+C1

C0=10

C1=7

80=C2 *22+3*2+6

4C2=80-6-6=68

C2=17

X=17t2+3t+6

Основная задача механики=V=34t+3

a=Основная задача механики=34

V=r2Основная задача механики2

R2Основная задача механики2=R3Основная задача механики3

Основная задача механики3=V*R2/(r2*R3)=(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

Основная задача механики3=Основная задача механики3=3,4

Vm=r3*Основная задача механики3=15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

atm=r3Основная задача механики

Основная задача механики=3,4t

atm=R3Основная задача механики=15*3,4t=51t

anm=R3Основная задача механики23=15*(3,4t+0,3)2=15*(3,4(t+0,08)2

a=Основная задача механики


Решение второй задачи механики


Дано:

m=4.5 кг; V0=24 м/с;

R=0.5V H;

t1=3 c;

f=0.2;

Q=9 H; Fx=3sin(2t) H.


Определить: x = f(t) – закон движения груза на участке ВС


Решение:


1) Рассмотрим движение на промежутке АВ


Основная задача механики


учитывая, что R=0.5V H;


Основная задача механики

Разделяем переменные и интегрируем


Основная задача механики


2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V0=VB)


Основная задача механики

Основная задача механики


Дано:

m=36 кг

R=6 см=0,06 м

H=42 см=0,42 м

yC=1 см=0,01 м

zС=25 см=0,25 м

АВ=52 см=0,52

М=0,8 Н·м

t1=5 с

Найти реакции в опорах А и В.


Решение

Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:


Основная задача механики (1)


Для определения углового ускорения ε из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле


Основная задача механики, (2)


где Jz1− момент инерции тела относительно центральной оси Сz1, параллельной оси z; d – расстояние между осями z и z1.

Воспользуемся формулой


Основная задача механики, (3)


где α, b, g - углы, составленные осью z1 с осями x, h, z соответственно.

Так как α=90є, то


Основная задача механики. (4)


Определим моменты инерции тела Основная задача механики, Основная задача механики как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h, z


Основная задача механики;

Основная задача механики.


Вычисляем


Основная задача механики;

Основная задача механики.

Определяем угол g из соотношения


Основная задача механики;

Основная задача механики;

Основная задача механики.


Угол b равен


Основная задача механики;

Основная задача механики.


По формуле (4), вычисляем


Основная задача механики.


Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2):


Основная задача механики,


где d=yC;


Основная задача механики.


Из последнего уравнения системы (1)

Основная задача механики;

Основная задача механики.


Угловая скорость при равноускоренном вращении тела


Основная задача механики,


поэтому при ω0=0 и t=t1=5 c


Основная задача механики.


Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции Основная задача механики и Основная задача механики тела. Основная задача механики, так как ось х, перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А.


Центробежный момент инерции тела Основная задача механики определим по формуле


Основная задача механики,


где Основная задача механики, т.е.


Основная задача механики.

Тогда


Основная задача механики.


Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства


Основная задача механики


Основная задача механики


Основная задача механики


Отсюда


Основная задача механики

Основная задача механики

Основная задача механики

Основная задача механики

Ответ: Основная задача механики, Основная задача механики, Основная задача механики, Основная задача механики.


Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения


Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.


Исходные данные:

x=5cos(pt2/3); y= -5sin(pt2/3); (1)

t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).


Решение:

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.


x2 + y2 = (5cos(pt2/3))2 + (-5sin(pt2/3))2;


Получаем x2 + y2 = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки


Основная задача механики (2)

Вектор ускорения точки


Основная задача механики


Здесь Vx , Vy , ax, ay – проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)


Основная задача механики (3)


По найденным проекциям определяем модуль скорости:


V=Ц(Vx2 + Vy2); (4)


и модуль ускорения точки:


а =Основная задача механикиЦ(ах2 +ау2). (5)


Модуль касательного ускорения точки


аt=|dV/dt|, (6)

аt= |(Vxax+Vyay)/V| (6’)


Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ - “ - что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки


ап= V2/p; (7)


p – радиус кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:


an =Основная задача механикиЦ(а2 -at2); (8)


После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:


p=V2/ an. (9)


Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице


Координаты

см

Скорость

см/с

Ускорение, см/с2

Радиус

см

х у Vx Vy V ax ay a at an p
2.5 -2.5Ц3 -5p/Ц3 -5p/3 10p/3 -20.04 13.76 24.3 10.5 21.9 5

Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени.

Основная задача механики


Дополнительное задание:


z=1.5t x=5cos(pt2/3); y= -5sin(pt2/3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).


Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения


Основная задача механики

Основная задача механики

По найденным проекциям определяем модуль скорости:


V=Ц(Vx2 + Vy2+Vz2);


и модуль ускорения точки:


а =Основная задача механикиЦ(ах2 +ау2+ аz2).

V=Основная задача механики;

a=24.3 см/с;


Касательное ускорение точки


аt= |(Vxax+Vyay+ Vzaz)/V|

at=(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с


Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:


an =Основная задача механикиЦ(а2 -at2);

an=21.98 см/с2.


Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:


p=V2/ an. р=5.1 см


Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Координаты

см

Скорость

см/с

Ускорение, см/с2

Радиус

см

x y z Vx Vy Vz V ax ay az a at an p
2.5 -4.33 1.5 -9.07 -5.24 1.5 10.58 -20.04 13.76 0 24.3 10,36 21.98 5.1

Задание: точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.


Дано:


ОМ=Sr=120pt2 см;

jе=8t2 – 3t рад ;

t1=1/3 c; R=40 см.


Решение:


1) Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr=ОМ

при t=1/3 c Sr=120p/9=41.89 см.


Основная задача механики


При t=1/3с Vr=80p=251.33 см/с.


art=d2Sr/dt2 art=240p=753.98 см/с2

arn=Vr2/R arn=(80p)2/40=1579.14 см/с2


2) Ve=wer , где r- радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М.

a=OM/R. r=R*sina=40*sin(p/3)=34.64 см.

wе=dje/dt=16t-3 при t=1/3 wе=7/3=2.33 с-1

Ve=80.83 см/с.

аец=we2 r аец=188.6 см/с2.

аев=eеr eе= d2je/dt2=16 с-2 аев=554.24 см/с2.

3) Основная задача механики

ас=2*wеVrsin(wе, Vr) sin(wе, Vr)=90-a=p/6 ac=585.60 см/с2

4) Основная задача механики

V=Ц(Ve2+Vr2) V=264.01 см/с


Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций.


ax=aев+ас

ay=arncos(p/3)+artcos(p/6)

az=-аец - arncos(p/6)+artcos(p/3)

а=Ц(ax2+ay2+az2)


Результаты расчетов сведены в таблицу


we,

c-1

Скорость см/с

eе

с-2

Ускорение , см/с2


Ve

Vr

V


аец

aев

arn

аrt

ас

ax

ay

az

а

2.33 80.8 251.3 264 16 188.6 554 1579 754 586 1140 1143 -1179 1999

Определение реакций опор твердого тела


Дано:


Q=10 kH;

G=5 kH;

a=40 см; b=30 см; c=20 см;

R=25 см; r=15 см.


Задание:

Найти реакции опор конструкции.


Решение:


Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия.


Основная задача механики

Основная задача механики


Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу.

Силы, кН

Р

ХА

ZA

XB

ZB

5.15 -0.17 2.08 -3.34 2.92

Проверка.

Составим уравнения относительно точки В.


Основная задача механики

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: