Динамика вращательного движения твердого тела
(2)
Поскольку векторы моментов сил и антинаправлены (в чём можно убедиться, используя правило правого винта), то в проекциях на ось ОХ этот закон примет вид
.(3)
Момент инерции диска относительно оси вращения определяется по формуле
.(4)
Угловое ускорение диска найдем как вторую производную угла поворота диска по времени:
, .(5)
Решая совместно (1) – (5), получаем
.(6)
После подстановки в (6) численных значений
7 Н.
Пример 7
Вследствие действия приливов продолжительность суток на Земле увеличивается за время 100 лет на 10-3 с. Определите приливную силу трения. Землю считать однородным шаром массой 61024 кг и радиусом 6,4106м.
Дано:
100 лет;
10-3 с;
6.1024 кг;
6,4.106м.
?
Решение: Из основного уравнения динамики вращательного движения изменение момента импульса Земли равно произведению момента приливной силы на время его действия :
=(1)
Момент инерции Земли (однородный шар массой и радиусом )
.(2)
Изменения угловой скорости Земли равно
,(3)
где - период вращения Земли (24 ч=8,64104 с); .
Момент приливной силы трения
.(4)
После подстановки (2), (3) и (4) в выражение (1), получаем
, откуда
.(5)
После подстановки в (5) численных значений получаем
6109 Н.
Пример 8
Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кгм2, вращается с частотой 20 с-1. В некоторый момент времени на него стала действовать тормозящая сила, в результате чего колесо через 1 мин остановилось. Радиус колеса 0,2 м. Найти величину тормозящего момента силы и число полных оборотов , сделанных колесом до остановки.
Дано:
245 кг.м2;
20 с-1;
1 мин60 с;
=0,2 м.
? ?
Рис. 8
Решение: Поскольку, кроме тормозящей силы, на колесо не действуют другие силы, создающие момент сил, то согласно основному закону динамики вращательного движения
(1)
Движение колеса равнозамедленное и, следовательно, угловое ускорение колеса равно
,(2)
где начальная угловая скорость колеса, а =0 – его конечная угловая скорость. Следовательно,
.(3)
После подстановки выражения (3) в (1) получаем
513 Нм.
Полное число оборотов можно определить, умножив его среднюю частоту вращения , т.е. среднее число оборотов за единицу времени, на все время вращения :
.(4)
Средняя частота вращения колеса есть среднее арифметическое начальной и конечной частот вращения (это справедливо только при равнопеременном вращении твердого тела):
.(5)
Таким образом,
Пример 9
Два груза массами 2 кг и 1 кг связаны невесомой нитью, перекинутой через неподвижный цилиндрический блок массой 0,8 кг. Найти ускорение грузов и силы натяжения нитей и . Трением пренебречь.
Дано:
2 кг;
1 кг;
0,8 кг;
9,8 м/с2.
_____________
а ? ? ?
Рис. 9
Решение: Запишем уравнения движения грузов и блока в отдельности. Груз массой движется вниз поступательно с ускорением . На него действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити . По второму закону Ньютона в векторной и скалярной формах с учетом выбранной системы координат
и
. (1)
Груз массой движется вверх тоже поступательно с таким же, как и груз , ускорением .
На него действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити .
Поскольку массой блока, а значит и его моментом инерции пренебречь нельзя, момент силы натяжения , направленный согласно правилу правого винта влево, больше момента силы натяжения , направленного вправо.
По второму закону Ньютона в векторной и скалярной формах
и
. (2)
Блок движется вращательно, поэтому применим к нему основное уравнение динамики вращательного движения
и
.(3)
Подставим в (3) основные параметры , , , . Момент инерции однородного цилиндра
,(4)
где радиус блока. Угловое ускорение
,(5)
где тангенциальное ускорение.
Момент силы натяжения
.(6)
Момент силы натяжения
.(7)
(Учитывая, что нить невесомая и нерастяжимая и ).
Подставляя (4), (5), (6) и (7) в (3), получаем
.(8)
Решая совместно (1), (2) и (3), получаем
2,9 м/с2,
13,8 Н,
12,7 Н.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Заметим, что между механикой вращательного движения, и механикой поступательного движения имеет место абсолютная симметрия: любой физической величине, характеризующей первое, можно сопоставить аналог из второго. Аналогичные величины объединяются в аналогичные выражения и подчиняются аналогичным уравнениям. Это позволяет легко запомнить формулы вращательного движения, отталкиваясь от хорошо известных формул поступательного.
Таблица аналогий
Поступательное движение | Вращательное движение |
элементарное перемещение |
элементарный заметённый угол |
линейная скорость |
угловая скорость |
ускорение |
угловое ускорение |
масса т | момент инерции J |
сила |
момент силы |
основное уравнение динамики поступательного движения |
основное уравнение динамики вращательного движения |
импульс |
момент импульса |
закон изменения импульса
|
закон изменения момента импульса
Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.),
обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus.
Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Похожие рефераты: |