Механика жидкостей и газов в законах и уравнениях

ГОУ ВПО

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Реферат на тему:

МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ и газов

Выполнил:

Студент гр. МС-116

Оконешников А.В.

Проверил:

Шевченко С.С.

Омск - 2007

1. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ

Совокупность векторов v(t), заданных для всех точек пространства, называется полем вектора скорости. Это поле можно наглядно изобразить с помощью линий тока (рис. 39.1). Линию тока

можно провести через любую точку пространства. Если построить все мыслимые линии тока, они просто сольются друг с другом. Поэтому для наглядного представления течения жидкости строят лишь часть линий, выбирая их так, чтобы густота линий тока была численно равна модулю скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно судить не только о направлении, но и о модуле вектора v в разных точках пространства. Например, в точке А на рис.39.1 густота линий, а следовательно и модуль v, чем в точке В. Поскольку разные частицы жидкости могут проходить через данную точку про­странства с разными скоростями (т. е. v = v(t)), кар­тина линий тока, вообще говоря, все время изме­няется. Если скорость в каждой точке пространства остается постоянной (V=const), то течение жидко­сти Называется стационарным (установившим­ся). При стационарном течении любая частица жидкости проходит через данную точку пространства с од­ной и той же скоростью v. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц. Если через все точки небольшого замкнутого контуpa провести линии тока, образуется поверхность, которую называют трубкой тока. Вектор v касателен к поверхности трубки тока в каждой ее точке. Следовательно, частицы жидкости при своем движе­нии не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем трубку тока, достаточно тонкую для того, чтобы во всех точках ее поперечного сечения S скорость частиц v была одна и та же (рис. 39.2). При стационарном течении трубка тока подобна стен­кам жесткой трубы. Поэтому через сечение 5 прой­дет за время Δt объем жидкости, равный SvΔt, а в единицу времени объем

(39.1)

Жидкость, плотность которой всюду одинакова и изменяться не может, называется несжимаемой. На рис. 39.3 изображены два сечения очень тонкой трубки тока — S1 и S2. Если жидкость несжи­маема , то кол – во ее между этими сечениями остается неизменным. От­сюда следует, что

объемы жидкости, протекающие в единицу времени через сечения S1 и S2, должны быть одинаковыми:

(39.2)

(напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проникают).

Равенство (39.2) справедливо для любой пары произвольно взятых сечений. Следовательно, для не­сжимаемой жидкости при стационарном течении про­изведение Sv в любом сечении данной трубки тока имеет одинаковое значение:

(39.3)

Это утверждение носит название теоремы о неразрывности струи.

Мы получили формулу (39.3) для несжимаемой жидкости. Однако она применима к реальным жидко­стям и даже к газам в том случае, когда их сжимае­мостью можно пренебречь. Расчеты показывают, что при движении газов со скоростями, много меньшими скорости звука в этой среде, их можно с достаточной точностью считать несжимаемыми.

Из соотношения (39.3) вытекает, что при изме­няющемся сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением (рис. 39.4). Если трубка тока горизонтальна, это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль трубки — в местах, где скорость больше, давление должно быть меньше, и наоборот. Аналитическую связь между скоростью течения и давлением мы уста­новим в следующем параграфе.

2. Уравнение Бернулли

В реальных жидкостях при перемещении слоев жидкости друг относительно друга возникают силы внутреннего трения, тормозящие относительное сме­щение слоев. Воображаемая жидкость, у которой внутреннее трение полностью отсутствует, называется идеальной. Течение идеальной жидкости не со­провождается диссипацией энергии (см. предпослед­ний абзац § 24).

Рассмотрим стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости. Выделим объем жидкости, огра­ниченный стенками узкой трубки тока и перпендику­лярными к линиям тока сечениями S1 и S2 (рис. 40.1), За время А/ этот объем сместится вдоль трубки тока, причем граница объема S1 получит перемещение Δl2 , а граница S2 — перемещение Δl2. Работа, совершае­мая при этом силами давления, раина приращению полной энергии (Ek + Ep), заключенной в рассматри­ваемом объеме жидкости.

Силы давления на стенки трубки тока перпенди­кулярны в каждой точке к направлению перемещения жидкости, вследствие чего работы не совершают. От­лична от нуля лишь работа сил давления, приложенных к сечениям S1 и S2. Эта работа равна (см. рис. 40.1).

Полная энергия рассматриваемого объема жидко­сти слагается из кинетической энергии и потенциалальной энергии в поле сил земного тяготения. Вслед­ствие стационарности течения полная энергия той части жидкости, кото­рая ограничена сече­ниями 1’ и 2 (внутрен­няя незаштрихованная часть трубки тока на рис. 40.1), за время Δt не изменяется. Поэто­му приращение полной энергии равно разности значений полной энер­гии заштрихованных объемов ΔV2 и ΔV1, масса которых Δm = рΔV (р — плотность жидкости).

Возьмем сечение S трубки тока и перемещения Δl настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объёмов можно было приписать одно и то же значение скорости v , давления p, и высоты h. Тогда дли приращения полной энергии получается выражение

Приравняв выражения (40.1) и (40.2), сократив на AV и перенеся члены с одинаковыми индексами в' одну часть равенства, придем к уравнению

Это уравнение становится вполне строгим лишь при стремлении поперечного сечения S к нулю, т. е. при стягивании трубки тока в линию. Следовательно, ве­личины и, h и р в обеих частях равенства нужно рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной и той же линии тока.

При выводе формулы (40.3) сечения S1 и S2 были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в стационарно текущей несжимаемой и идеальной жидкости вдоль любой линии тока вы­полняется условие

Уравнение (40.3) или равнозначное ему уравнение (40.4) называется уравнением Бернулли. Хотя это уравнение было получено для идеальной жидкости, оно хорошо выполняется для реальных жидкостей, у которых внутреннее трение невелико.

3. Истечение жидкости из отверстия

Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости из небольшого отверстия в широком откры­том сосуде (рис. 41.1). Выделим мысленно в жидко­сти трубку тока, сечениями ко­торой являются открытая по­верхность жидкости S1 и сече­ние струи при выходе из отвер­стия S2 (если не принять спе­циальных мер, то сечение струи будет меньше отвер­стия). Для всех точек каждого из этих сечений скорость жид­кости v и высоту h над некото­рым исходным уровнем можно считать одинаковыми. Поэтому к данным сечениям можно применить теорему Бернулли. Давления р1 и р2 в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному. Скоростью v1 пе­ремещения открытой поверх­ности жидкости ввиду ее малости можно пренебречь. Поэтому уравнение (40.3) в данном случае упро­щается следующим образом:

Рис.41.1.

где v — скорость жидкости в сечении S2 (скорость истечения из отверстия). Сократив на р, можно на­писать, что где h = h1 — h2 — высота открытой поверхности над отверстием.

Формула (41.1) называется формулой Торричелли. Из нее следует, что скорость истечения жидкости из отверстия, находящегося на глубине h под открытой поверхностью жидкости, совпадет со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h (в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь). Этот результат получен в пред­положении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения, определяемого формулой Торричелли, чем больше внутреннее трение в жидкости. Например, глицерин будет вытекать из сосуда медленнее, чем вода.

4. Вязкость. Течение жидкости в трубах

Идеальная жидкость, т. е. жидкость без внутрен­него трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение, после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Примером может служить движение жидкости в стакане после того, как ее пе­рестают размешивать ложечкой.

Рассмотрим течение жидкости в круглой трубе. Измерения показывают, что при медленном течении скорость частиц жидкости изменяется от нуля в не­посредственной близости к стенкам трубы до макси­мума на оси трубы.

Жидкость при этом оказывается как бы разделенной на тонкие цилиндрические слои, которые скользят друг относительно друга, не пере­мешиваясь (рис. 42.1). Такое течение называется ла­минарным или слоистым (латинское слово lamina означает пластинку, полоску). Отсутствие пе­ремешивания слоев можно наблюдать, создав в стек­лянной трубке диаметра несколько сантиметров сла­бый поток воды и вводя на оси трубы через узкую трубочку окрашенную жидкость (например, анилин). Тогда по всей длине трубы возникнет тонкая окра­шенная струйка, имеющая отчетливую границу с водой.

Из повседневного опыта известно, что для того, чтобы Создать и поддерживать постоянным течение жидкости в трубе, необходимо наличие между кон­цами трубы разности давлений. Поскольку при уста­новившемся течении жидкость движется без ускоре­ния, необходимость действия сил давления указывает на то, что эти силы, уравновешиваются какими-то си­лами, тормозящим движение. Этими силами являет­ся силы внутреннего трения на границе со стенкой трубы и на границах между слоями. Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой, действуя на него с силой F1 направленной по течению. Одновременно более медленный слой стрёмится замедлить движение более быстрого слон, дей­ствуя на него с силой F2y направленном против тече­ния (рис. 42.2).

Экспериментально установлено, что модуль СИЛЫ внутреннего трения, приложенной к площадке 5, ле­жащей на границе между слоями, определяется фор­мулой

где n— называемый вязкостью коэффициент про­порциональности, зависящим от природы и состояния

(например, температуры) жидкости, dv/dz—производная, показывающая, как быстро изменяется в дан­ном месте скорость течения в направлений г, перпен­дикулярном к площадке S. В случае качения жидко­сти в трубе ось z направлена в каждой точке границы между слоями по радиус} грубы (см. pиc, 42.1), Поэтому вместо dv/dz можно написать, dv/df, Знак мо­дуля в формуле (42.1) поставлен в связи с тем, что в зависимости от выбора направления оси z и харак­тера изменения скорости производная dv/dz может быть как положительной, так и отрицательной, в то время как модуль силы является положительной ве­личиной.

Мы уже отмечали, что при ламинарном течении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенки трубы и максимальна па оси трубы. Най­дем закон изменения скорости. Выделим воображае­мый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l (рис. 42.3). При стационарном течении этот объем движется без ускорения. Следовательно, сумма приложенных к нему сил равна нулю. В направлении

движения на жидкость действует сила давления, мо­дуль которой равен p1Пr2; во встречном направле­нии— сила давления, модуль которой равен p2Пr2. Результирующая сил давления имеет модуль

(Пr2 — площадь основания цилиндра).

На боковую поверхность действует тормозящая движение сила внутреннего трения, модуль которой

согласно формуле

(42.1) равен

где 2Пrl — площадь бо­ковой поверхности ци­линдра, dv/dr — зна­чение производной на расстоянии r от оси трубы. Скорость убывает с расстоянием от оси труби, поэтому производ­ная dv/dr отрицательна и ее модуль равен —dv/dr {модуль отрицательного числа равен этому числу, взя­тому с обратным знаком).

Приравняв выражения (42.2) и (42.3), придем к дифференциальному уравнению

Разделив переменные, получим уравнение

интегрирование которого дает, что

Постоянную интегрирования С нужно выбрать так, чтобы на стенке трубы (т. е. при г = R) скорость об* ращалась в нуль. Это условие выполняется при

Подстановка этого значения в (42.4) приводит к фор­муле

Скорость на оси трубы равна

С учетом этого формулу (42.5) можно написать в виде

Отсюда следует, что при ламинарном течения скорость изменяется с расстоянием от оси трубы но параболическому закону (рис. 42.4а).

С помощью формулы (42.7) можно вычисти, по­ток жидкости Q, т. е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы и единицу времени. Разобьем сечение трубы на кольца ширины dr (рис. 42.5). Через кольцо радиуса r пройдёт в еди­ницу времени объем жидкости dQ, равный произведе­нию площади кольца 2Пrdr на скорость v(t) на рас­стоянии от оси трубы:

(мы воспользовались формулой (42.7)). Проинтег­рировав это выражение по г в пределах ОТ пули до R, получим поток Q:

(S—площадь сечения трубы). Поток можно пред­ставить как произведение среднего по сечению значения скорости <и> на площадь 5. Из формулы (42.8) следует, что при ламинарном течении среднее значение скорости равно половине значения скорости на оси трубы.

Подставив в (42.8) выражение (42.6) дли с>о, по­лучим формулу

которая называется ф о р м у л о й П у а з е й л я . Из нее следует, что поток очень сильно зависит от радиуса трубы.

Естественно, что Q пропорционален отношению {P1 — Р2) / l т. е. перепаду давле­ния на единице длины трубы, а также обратно пропорционален вязкости жидкости n.

Формула Пуазейля использу­ется для определения вязкости жидкостей и газов. Пропуская жидкость или газ через трубку известного радиуса, измеряют перепад давления и поток Q. Затем на основании полученных данных вычисляют n.

Мы все время подчеркивали, что предполагаем те­чение медленным для того, чтобы оно имело ламинар­ный характер. Напомним, что ламинарное течение яв­ляется стационарным. Это означает, что скорость ча­стиц жидкости, проходящих через данную точку про­странства, все время одна и та же. Если увеличивать скорость течения, то при достижении определенного значения скорости характер течения резко меняется. Течение становится нестационарным — скорость ча­стиц в каждой точке пространства все время беспоря­дочно изменяется. Такое течение называется тур­булентным. При турбулентном течении происхо­дит интенсивное перемешивание жидкости. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места ее введения окрашенная жидкость равномерно распределится по всему сечению потока. Это можно наблюдать в упоминавшемся выше опыте, если увеличить поток воды в стеклянной трубке.

Поскольку при турбулентном течении скорость в каждой точке все время меняется, можно говорить только о среднем по времени значении скорости, кото­рая при неизменных условиях течения оказывается постоянной в каждой точке пространства. Профиль средних скоростей для одного из сечений трубы при турбулентном течении показан на рис. 42.56. Сравне­ние с рис. 42.5 а показывает, что вблизи стенки трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при лами­нарном течении; в остальной части сечения скорость изменяется меньше.

Рейнольдс установил, что характер течения оп­ределяется значением безразмерной величины

где р— плотность жидкости (или газа), v — средняя по сечению трубы скорость потока, n - вязкость жид­кости, l — характерный для поперечного сечения по­тока размер, например сторона квадрата при квад­ратном сечении, радиус или диаметр при круглом се­чении. Величина Re называется числом Рейнольдса.

При малых значениях Re течение носит ламинар­ный характер. Начиная с некоторого значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характер­ного размера трубы взять ее радиус (в этом случае Re = pvr/n), то критическое значение числа Рейнольдса оказывается равным примерно 1000 (если в качестве / взять диаметр трубы, то критическое зна­чение Re будет равно 2000).

Число Рейнольдса служит критерием подобия для течения жидкостей в трубах, каналах и т. д. Напри­мер, характер течения различных жидкостей (или га­зов) в круглых трубах разных диаметров будет оди­наковым, если каждому течению соответствует одно и то же значение Re.

В число Рейнольдса входит отношение плотности р и вязкости т). Величина

называется кинематической вязкостью. Чтобы отличить ее от v, величину n называют ди­намической вязкостью. Будучи выраженным через кинематическую вязкость, число Рейнольдса имеет вид

5. Движение тел в жидкостях и газах.

Воздействие жидкой или газообразной среды на движущееся в ней с постоянной скоростью v тело бу­дет таким же, каким было бы действие на неподвиж­ное тело набегающего на пего со скоростью v одно­родного потока жидкости или газа (в дальнейшем для краткости мы будем говорить только о жидко­сти, подразумевая при этом и газы). Следовательно, при выяснении сил, действующих на тело,