Решение обратной задачи динамики

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана»

Калужский филиал

Факультет электроники, информатики и управления

Кафедра "Системы автоматического управления и электротехника" (ЭИУ3-КФ)

Решение обратной задачи динамики

Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе

по курсу «ТиСУ»

Калуга 2009

Содержание

Введение

Постановка задачи

Основные направления развития концепций обратных задач динамики

Обратные задачи динамики в теории автоматического управления

Применение спектрального метода для решения обратных задач динамики

Практическая часть

Результаты расчёта

Приложения

Введение

Предлагаемая работа посвящена разработке на основе концепций обратных задач динамики математических методов и построенных на их основе алгоритмов синтеза законов управления и определения параметров настройки САУ из условия реализации на выходе системы законов максимально приближенных в известном смысле к эталонным. Основными в этих методах являются понятия спектральных характеристик функций и систем, под которыми понимаются совокупности коэффициентов Фурье процесса относительно выбранного ортонормированного базиса

Постановка задачи

Задана система автоматического управления (модель ЭГСП) в виде структурной схемы.

Числовые значения параметров математической модели ЭГСП

Параметры в упрощенной структурной схеме на рис. 2 имеют следующие значения:

• Параметры рабочей жидкости

- Рабочая жидкость: масло АМГ-10

- Рабочее давление в гидросистеме:

- Плотность рабочей жидкости:

- Объемный модуль упругости жидкости:

• Параметры ЭМП и ЭУ

- Коэффициент усиления ЭУ по току:

- Коэффициент усиления по напряжению выходного каскада электронного усилителя:

- Сопротивление обмотки управления:

- Сопротивление обратной связи по току:

- Суммарное сопротивление:

- Индуктивность обмотки управления:

- Электрическая постоянная цепи управления ЭМП:

- Коэффициент, характеризующий жесткость силовой характеристики:

- Коэффициент вязкого трения:

- Коэффициент жесткости обобщенных характеристик:

- Коэффициент пропорциональности диаметру сопл:

- Масса якоря и заслонки:

- Электромеханическая постоянная ЭМП:

- Коэффициент затухания колебательного звена:

• Параметры ГУ

- Ширина окна золотника:

- Длина окна золотника:

- Диаметр штока золотника:

- Диаметр рабочей поверхности золотника:

- Коэффициент чувствительности ГУ по расходу:

- Масса золотника:

- Площадь торца золотника:

- Максимальная проводимость рабочих окон при :

- Площадь поперечного сечения золотника:

- Объем жидкости в междроссельных каналах и торцевой камере

золотника:

- Коэффициент, характеризующий жесткость нагрузочных

характеристик ГУ в области линеаризации:

- Суммарная жесткость пружин, на которые опирается золотник:

- Жесткость гидродинамической силы: <<

- Коэффициент вязкого трения:

- Постоянная определяет собственную частоту колебаний золотника массой , опирающейся на пружины

- Коэффициент затухания колебательного звена

• Параметры ДГП

- Диаметр поршня (известен интервал значений):

- Диаметр штока:

- Площадь поршня (известен интервал значений):

- Длина рабочей камеры цилиндра:

- Объем жидкости, подвергающейся сжатию (расширению) в

полости 1(2) гидроцилиндра при y = 0 (известен интервал

значений):

- Масса поршня штока (известен интервал значений):

- Расстояние между штоком поршня и осью вращения элерона (известен интервал значений): . Для расчета момента инерции выберем среднее значение .

- Коэффициент чувствительности золотникового распределителя по расходу:

- Коэффициент, характеризующий жесткость нагрузочных характеристик ДГП: .

- Гидравлическая постоянная времени ДГП:

- Коэффициент момента трения со смазочным материалом:

- Коэффициент передачи электрической обратной связи по перемещению поршня

- Коэффициент передачи электрической обратной связи по углу руля:

- Момент инерции всех подвижных частей привода, приведенный к оси руля: J

- Момент аэродинамических сил, действующий на руль относительно его оси вращения

Средствами simulink:

Данная задача относится к так называемым обратным задачам динамики.

Основные направления развития концепций обратных задач динамики

Динамика как раздел науки о движении рассматривает следующие задачи:

– по заданным силам, действующим на систему, определить закон движения (траекторию) этой системы;

– по заданному закону движения системы определить силы, под действием которых это движение происходит.

Эти задачи являются в определенном смысле противоположными по своему содержанию. Поэтому их именуют прямой и обратной задачами.

Хотя обратные задачи динамики имеют давнюю и богатую историю, в настоящее время можно встретить их различное толкование и понимание. Наиболее обобщенное определение понятия обратных задач динамики следующее. Обратными задачами динамики называются задачи об определении активных сил, действующих на механическую систему, параметров механической системы и связей, наложенных на систему, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой механической системы.. Здесь под обратными задачами динамики понимаются задачи об определении законов управления движением динамических систем и их параметров из условия осуществления движения по назначенной траектории.

На протяжении длительного времени первая задача являлась основной. В средние века предметом исследований классической механики оказалось, в основном, установление свойств движения заданной механической системы под действием полностью известных сил, т.е. решались так называемые детерминированные прямые задачи динамики. В те времена это и было оправдано, так как соответствующий уровень развития производительных сил потребовал решения в первую очередь задач установления свойств движения механических систем различных конструкций под действием заданных нагрузок и сил. Кроме того, решение прямых задач привлекало еще и тем, что, казалось, оно может восстановить прошлое в движении механической системы и предсказать будущее, если известно состояние системы в данный момент времени. Правда, эта иллюзия детерминизма была вскоре развеяна, в основном, благодаря развитию одного из разделов самой классической механики, теории устойчивости движения. Было установлено, что ни один процесс в природе не происходит так, как он определяется решением соответствующих уравнений движения при заданных начальных условиях.

Это объясняется, во-первых, тем, что сами уравнения движения не могут быть составлены точно с учетом всех явлений; во-вторых, любое движение механической системы сопровождается начальными, параметрическими и постоянно действующими возмущениями, они и вызывают отклонение действительного движения системы от движения, полученного решением детерминированной прямой задачи. Было установлено также, что для сохранения желательных свойств движения необходимо управлять движением рассматриваемой механической системы, добиваться устойчивости этого движения, требовать, чтобы оно было неподатливым ко всякого рода возмущениям. А для этого предварительно приходилось решать обратные задачи динамики, определять, при каких условиях осуществимо движение с заданными свойствами.

С другой стороны, и само развитие теории управления движениями материальных систем вызвало необходимость решения обратных задач динамики в различных постановках. Все это привело к тому, что обратные задачи классической механики оказались своего рода направляющими и исходными задачами современной науки об управлении движениями материальных систем различной физической природы и конструкций.

В настоящее время можно говорить о трех классах обратных задач динамики:

– обратные задачи аналитической механики;

– обратные задачи динамики управляемого полета;

– обратные задачи динамики в теории автоматического управления.

Обратные задачи динамики в теории автоматического управления

Теория автоматического управления и регулирования развивалась независимо от возникновения и развития концепций обратных задач динамики. Начиная с первых простейших автоматических регуляторов, инженеры и конструкторы создавали автоматические системы, которые обеспечивали протекание управляемых процессов по желаемым законам. В результате в теории автоматического управления разработано большое число практических приемов и методов, которые успешно применяются при проектировании и создании автоматических систем различного назначения. В основе каждого метода заложены концепции обратных задач динамики управляемых систем.

Действительно, частотные методы расчета и проектирования систем автоматического регулирования и управления основаны на приближении частотных характеристик проектируемой системы к соответствующим характеристикам желаемого вида, т.е. процессы в проектируемой системе должны быть близки к процессам, протекающим в некоторой эталонной системы, отвечающей требованиям технического задания на проектирования.

Расчет параметров систем автоматического регулирования корневыми методами также основан на приближении динамических характеристик проектируемой системы к соответствующим характеристикам некоторой эталонной системы. Мера близости динамических характеристик в таких процедурах расчета определяет соответствие между распределениями корней характеристических уравнений проектируемой и эталонной систем.

В теории автоматического управления широкое развитие получили методы синтеза замкнутых систем, основанные на решении оптимизационных задач с использованием различных функционалов, характеризующих качество процессов управления. Большое число процедур было разработано для параметрической оптимизации систем регулирования по критерию минимума интегральных квадратичных оценок, введенных А.А. Красовским еще в 40-е годы.

По определению интегральными квадратичными оценками рассматриваемой системы являются:

- оценка нулевого порядка,

- оценка первого порядка,

- оценка порядка n,

где x(t) – выходная переменная, характеризующая состояние системы - ее производные; n – порядок системы. Величины постоянны и имеют размерность времени.

Для вычисления интегральных квадратичных оценок разработаны различные приемы и способы, которые можно в учебной литературе по теории автоматического регулирования.

Задача формулируется следующим образом. Задана структура динамической системы; некоторые параметры системы являются варьируемыми, а остальные должны оставаться неизменными. Требуется найти такие значения варьируемых параметров, при которых реализуется минимум какой-либо интегральной квадратичной оценки. Сформулированная задача является задачей параметрической оптимизации динамической системы. Найденные в результате ее решения параметры именуются оптимальными, а систему с такими параметрами называют оптимальной по переходному процессу.

Схема решения задачи параметрической оптимизации в аналитической форме такова. Пусть есть те параметры, которые необходимо определить из условия реализации минимума принятой интегральной квадратичной оценки . Выражение для оценки содержит неизвестные параметры . Оптимальные значения параметров определяются из уравнений . Практически параметрическая оптимизация проводится с применением численных методов, так как в аналитическом виде решение может быть получено в простейших случаях. Выражения для оказываются громоздкими, а уравнения для оптимальных параметров нелинейными.

Однако, как показано в работах А.А. Красовского и А.А. Фельдбаума, оптимальность системы по интегральному квадратичному критерию равносильна тому, что ошибка системы как функция времени подчиняется в процессе управления соответствующему дифференциальному уравнению.

Действительно. Пусть состояние системы характеризуется выходной переменной x(t) и ее производными ). Предполагается, что порядок системы равен n. Пусть в начальный момент

, ,..., (1.1)

Принимается, что собственное движение системы асимптотически устойчиво. Тогда при система стремится к положению равновесия:

(1.14)

Рассмотрим оценку и найдем такую функцию x(t), которая удовлетворяет граничным условиям (1.1), (1.2) и доставляет минимум интегралу . Обозначим через подынтегральное выражение в . Тогда согласно теории вариационного исчисления необходимое условие экстремума (минимума) интеграла будет иметь вид

(1.3)

Это дифференциальное уравнение называется уравнением Эйлера-Пуассона. С учетом выражения для можно найти

и, кроме того,

Следовательно, уравнение (1.3) будет

(1.4)

Таким образом, экстремаль x(t), на которой интеграл обращается в минимум, является решением дифференциального уравнения (1.4) порядка 2n. При этом x(t) должна удовлетворять граничным условиям (1.1) и (1.2). Характеристическое уравнение, отвечающее (1.16), таково:

Оно обладает тем свойством, что его корни попарно симметричны относительно начала координат комплексной плоскости p, т.е. корням , соответствуют корни, . На этом основании решение (1.4) можно записать в виде

(1.5)

где постоянные , должны быть такими, чтобы выполнялись граничные условия.

Пусть для определенности корни таковы, что

, ,

В этом случае постоянные в (1.5) должны быть равными нулю в силу того, что согласно (1.2) при функция и ее производные стремятся к нулю. Таким образом, выражение для экстремали должно быть

. (1.6)

Однако известно, что , определяемая формулой (1.6), есть решение одного дифференциального уравнения n-го порядка

(1.7)

Коэффициенты этого уравнения однозначно выражаются через корни по формулам Виета.

Отметим, что начальными условиями для уравнения (1.7) являются (1.1).

Из приведенного анализа следует, что экстремаль интеграла при граничных условиях (1.1), (1.2) является решением однородного дифференциального уравнения (1.7), порядок которого равен порядку оптимизируемой системы. На этом основании можно заключить, что параметрическая оптимизация системы по критерию минимума интегральной квадратичной оценки выполняется из условия, чтобы выходная переменная x(t) системы в свободном движении изменялась во времени по предписанному закону, определяемому дифференциальным уравнением (1.7). Это в свою очередь означает, что задачу параметрической оптимизации можно рассматривать как обратную задачу динамики, формулируемую следующим образом: динамическая система заданной структуры имеет варьируемые параметры ; требуется найти такие значения этих параметров, при которых движение системы проходит по предписанной траектории, определяемой дифференциальным уравнением вида (1.7).

Практически не всегда оказывается возможным провести параметрический синтез системы из условия, чтобы ее выходная переменная x(t) в точности была равна переменной , которая является экстремалью минимизируемого функционала . В большинстве случаях параметры ищутся из условия наилучшего (в каком-либо смысле) приближения x(t) и . Очень часто в качестве меры приближения используют определенные интегралы:

и другие. Здесь - отклонение выходной переменной оптимизируемой системы от экстремальной кривой ; , - производные по времени; , - положительные числа. Выражение (1.7) представляет собой, по сути дела, также интегральные оценки, записанные для отклонений траектории синтезируемой системы от назначенной.

В прикладных задачах параметрической оптимизации не всегда используются интегральные квадратичные оценки, порядок которых равен порядку дифференциального уравнения оптимизируемой системы. Очень часто параметрический синтез проводят по квадратичным оценкам первого и второго порядка. В таких случаях параметры системы определяются из условия, чтобы выходная переменная x(t) приближалась к решению дифференциального уравнения первого или соответственно второго порядка.

Таким образом, требование оптимальности системы по переходному процессу в смысле минимума интегральной квадратичной оценки