Шпоры к Экзамену

любую точку О,

добавив при этом

момент присо-единённой пары сил = моменту данной силы относительно точки приведения О. М_пр= Р*h.

6Условия равновесия произвольной плоской системы сил.(в-3)

7.Основные гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые факторы, метод сечений.(в-1)

1Материал конструкции однородный и сплошной т.е. его св-ва не зависят от формы и размеров тела и одинак во всех его точках.

2.Мат-л конс-ии изотропен,т.е.его св-ва по всем направлениям одинаковы. (99% мат-ов)

3.Мат-л обладает св-вом идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанав-ть первонач-ю форму и размеры после снятия внеш нагрузок(это справедливо для напр-ий не превыш-их предел упругости).

4.З-н Гука: дефор-ция мат-ла конструк прямо пропорциональна напряжениям

ε = σ / Е γ = τ / G

E-модуль Юнга(модуль упр 1-го рода) G-модуль упругости 2-го рода. (З-н Гука справедлив до предела пропорциональности)

5.Деф-ции констр малы и не влияют на взаимное расположение нагрузок.

6.Принцип независимости действия сил (принцип наложения): результат воздействия на конструкцию системы нагрузок= сумме результатов возд от каждой нагрузки в отдельности

δ = δ^Р+ δ^М+ δ^q (справедлив если выполняются 4и5 предпосылки).

7.Гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сеч-я бруса, плоские до приложения, остаются плоскими и после прилож-я нагрузки(справедлив для всех видов деф-ции).

8.Принцип Сен-Венана: если не интересоваться местными деф-ми (в малой части объёма тела), то нагрузку, прилож-ю к малой части объёма тела можно заменить статистически ей эквивалентной или равнодействующей

если а<

Метод сечений: в интересующем нас месте рассекаем брус; отбрасываем одну из частей бруса(лучше ту, где больше внеш сил); взаимодейс-е частей бруса друг на друга заменяем внутр усилиями, которые уравновешивают внешниесилы.

Σ(Р_i)_z=0

8. Понятия о напряжениях, деформациях, перемещениях.

Напр-ем наз-ся внутр сила, приходя-щаяся на ед-цу площади рассматриваемого сеч-я. Р_{среднее}=ΔR/ΔF

P_{истинное}= lim ΔR/ΔF(приΔF→0) [H/м²=Па]

σ_z – (нормальное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я перпендикулярная плоскости сеч-я.

τ_{(zx или zy)}- (касательное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я, лежащая в плоскости сечения.

Плоская задача

Р=√σ²+τ²

N=f(σ)→σ_max<=[ σ]

Q=f(τ)→τ_max<=[ τ] условия

M_к=f(τ)→ τ_max<=[ τ] прочности

M_и=f(σ)→ σ_max<=[ σ]

Деф-ции:

1.линейные а)абсолютные Δl=l₁-l Δh=h₁-h[м,см] З-н Гука в абсол вел-х:

Δl=N*l/(E*F) –растсжатие

φ = М_к*l /(G*J_p) – кручение

k= 1/ρ= M_из/(E*J_x) – изгиб

ΔS= Q*a / (G*F) – сдвигсрез

В этих 4-х формулах знаменатель= жесткость сечения бруса.

б) относительные ε=Δl/l ε=Δh/h ε=σ/E (E- модуль Юнга)

2.угловые деф-ции γ (угол сдви-га)=α+β, γ=τ/G(G-модуль упр 2 рода)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины. Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-I=Σ(Δl_i)

условие жесткости: δ_max<= [δ]

8. Растяжение и сжатие. Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.

Центральным рс наз-ся деф-ция при которой в поперечных сечениях бруса возникает только 1-но внут усилие- продольная сила N. Оно вызыв-ся силами действ-ми вдоль оси бруса.

Напряж-е τ =0 γ= 0 σ ≠ 0 = const

σ_i=N_i /F_i<=[σ_c],[σ_p]- условие проч-ти.

Деф-ция: ε = σ / Е - з-н Гука Δl/l=N/(F*E) Δl=N*l/(F*E)

Деф-я относится к отрезку части бруса – это изменение его первоначальной длины.

Попереч деф-я:

ε'= - μ*ε ε’-относ

попер деф-я, μ- коэф

Пуассона, ε – относ

Продольная деф-я.

μ хар-ет способность

мат-ла к попер деф-м.

Δ b=ε’ * b

Перемещение (δ) относится к сечению

4)∑(P_i)_z=0 ∫σdF (поF)=E/ρ∫ydF(поF)=0 ∫ydF- обознач-ся S_x и наз-ся статисти-ческий момент сечения относ-но оси х

S_x=y_ц.т.*F т.к.Е/ρ≠0, то S_x=0 Ось х прох-т ч/з центр тяж-ти.

5)∑m_y(P_i)=0 x- плечо σ*dF- сила ∫x*σdF=E/ρ∫xydF ∫xydF= J_xy наз-ся центробежным моментом инерции сеч-я относ-но х и у. Если он=0 то оси х и у явл-ся главными осями сеч-я.

6)∑m_x(P_i)=0 ∫yσdF=М_и Е/ρ∫у²dF=М_и ∫у²dF=J_x- наз-ся осевым моментом инерции сеч-я относ-но оси х

Е/ρ*J_x=М_и 1/ρ=М_и/(Е*J_x) – кривизна нейтр-ого слоя.

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_и/(Е*J_x)= у*М_и/*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Наиб эконом формы попер сеч балок:

1)Надо выбирать балки у котор большая часть мат-ла удалена от центра тяж-ти. Выгодно:

2)Расположение балки делают таким чтобы J_x=max

3)Выбор формы сеч-я зависит от мат-ла. Для пластич мат-ла лучше использ-ть балки с симметр сеч-ми относит-но нейтр оси у которых σ_{max pас}=σ_{max сж}

для хрупк ассиметр сеч-я при этом сеч-я располагают так чтобы

σ_{max pас}<=σ_{max сж}

т.к. [σ_сж]=(3-5)*[σ_рас]

29 Условие прочности при изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.

Усл проч-ти для симметр сеч-й относ-но оси х:

σ_{max pас}=σ_{max сж}=М_и*0.5*h/J_x=М_и/W_x W_x=J_x/y –наз-ся осевым моментом сопр-я при изгибе.

1)пластич мат-л: σ_max =М_и/W_x<=[σ]

2)хруп мат-л: σ_max =М_и/W_x<=[σ_рас]

Ассиметричные сеч-я:

σ_{max рас} =М_и*y_{max рас}/J_x<=[σ_рас]

σ_{max сж} =М_и*y_{max сж}/J_x<=[σ_сж]

30 Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе.

А_внеш=М₁*θ₁/2 dA_внут= - М_и*dθ/2

ρ – радиус крив-ны k –кривизна

dz=ρ*dθ

dθ=dz/ρ

k=1/ρ=М_и/(Е*J_x)

dθ= М_и*dz/(Е*J_x) dA= - М_и²*dz/(2*Е*J_x) U= -A_внут=

= -∫-М_и²*dz/(2*Е*J_x)=∫М_и²*dz/(2*Е*J_x) (от0 до L). – для попер изг-а М_и≠const.

Для чистого изгиба: М_и=const

U= М_и²*L/(2*Е*J_x)

31 Напряжение при поперечном изгибе: нормальные и касательные.

Поперечный М_изг≠0, Q≠0,N=0,M_к=0

σ= Е*у/ρ=Е*у*М_и/(Е*J_x)= у*М_и/*J_x – справедливо и для чистого и для попер

Касат напряж в произвольной точке попер сеч-я: τ_zy=τ=Q_y*S_x/(J_xb_y)

Q_y-попер сила в рассматр сеч-и S_x-статистич момент относит-но нейтр-ой оси той части сеч-я, которая распол-на по одну сторону прямой, провед-ой ч/з данную точку J_x- момент инерции всего сеч-я относит-но нейтр оси b_y-ширина попер сечения на уровне рассматриваемой точки.

32 Дифференциальное уравнение упругой линии балки, его интегрирование.

Перемещения: у- прогиб – это перемещ-е точек оси балки по нормали её недеформированной оси.

max прогиб-это стрела прогиба. Условие жесткости: у_max<=[y]

[y]=(0.01-0.001)*L

θ_A-угол поворота попер сеч-я балки, буде считать его = углу наклона касательной к оси z т.е. углу поворота оси балки. y=f(z) θ_A=tg θ_A при α<<

θ_A=dy/dz=y’ Условие жесткости: θ_max<=[θ] [θ]=(0.5-1)*град.

Изогнутая ось балки y=f(z) наз-ся упругой линией балки. Расчёт балки на жест-ть позволяет опр-ть размеры попереч сечения при которых перемещ-е не превышает установленные нормами пределы.

Правило знаков: y>0-перемещ вверх θ>0- поворот сеч-я против часовой стрелки.

Из матем-ки: k=1/ρ =y’’/(1+(y’)²)^3/2

Из сопромата: k=1/ρ =M_и/(ЕJ_x )

Точное диф ур-е:

y’’/(1+(y’)²)^3/2= M_и/(ЕJ_x)

y’=θ→min т.к.y’-мал,то (y’)²-пренебре-

гаем. Получаем: y’’= M_и/(ЕJ_x)

M_и= y’’ЕJ_x- основное диф ур-е упругой линии балки.

y'’=d²y/dz²=dy’/dz

аналитическое решение: M_и= y’’ЕJ_x ЕJ_x=const ЕJ_xd(y’)=M_иdz

ЕJ_xy’= ∫M_иdz+C y’=θ=(∫M_иdz+C)/( ЕJ_x)

ЕJ_x dy/dz= ∫M_иdz+C

ЕJ_x dy= dz(∫M_иdz+C)

ЕJ_x = ∫dz∫M_иdz+C*z+D

C и D- произвольные const их опр-ют из условия операния балки.

y_A=0 θ_A=0

y_A=0 y_B=0

33 Метод начальных параметров вычисления перемещений при изгибе балок.

Для данного

напавления

все знаки +

1) ЕJ_xθ= ЕJ_xθ₀+∑M(z-a)+(∑P(z-b)²)/2+ +(∑q(z-c)³)/6+…

2) ЕJ_xy= ЕJ_xy₀+ ЕJ_xθ₀z+(∑M(z-a)²)/2+ +(∑P(z-b)³)/6+ +(∑q(z-c)⁴)/24+…

1)справедливы для балок с постоян жёсткостью ЕJ_x=const 2)Необходимо иметь только расчётную схему 3)Если q имеет разрыв непрерывности до сечения т.е.

то берутся дополнит слогаемые в 1-е: -(∑q(z-d)³)/6, во 2-е: -(∑q(z-d)⁴)/24

∑-алгеб сумма 4) y₀ и θ₀ опред-ся из условия операния балки.

34 Понятие о напряжённом состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения.

Объёмная деформация. (В-12)

Объёмное или 3-х осное напяж сост

σ₁≠0

σ₂≠0

σ₃≠0

Объем деф-я х-ся изменением объёма

υ=(V₁-V₀)/V₀ υ-относит изменение объёмаV₁-объем после деф-ииV₀-до

деф-ии

бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-I=Σ(Δl_i)

условие жесткости: δ_max<= [δ]

E- модуль Юнга- модуль упругости 1-го рода (модуль продольной упр-ти) Е_стали=2*10⁵МПа.

8. Потенциальная энергия деформации при растяжении, сжатии.

Элементарная dА_внеш=P*dδ P=f(δ) Δl=δ=P*l/(E*F) P=E*F*δ/l dA=(E*F*δ/l)*dδ A_внеш=

Работа внеш сил выражается площадью диаграммы построенной в коор-х Р*δ и равна половине произведения окончательной силы Р и перемещения δ.

dA_внут= - N*Δ(dz)/2

Δ(dz)=N*dz/(E*F)

dA_внут= -N²*dz/(2*E*F)

A_внут=-N²*dz/(2*E*F)

A_внут= -N²*l/(2*E*F)

Потен эн-я деф-ии наз-ся вел-на = работе внутр сил взятых с противопол знаком:

U= - A_внут=N²*l/(2*E*F), U=N²*dz/(2*E*F) A_внут= -А_внеш, U=A_внеш

8. Эпюры продольных сил, напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.

Разбиваем брус на уч-ки границы кот-х нах-ся в точках прилож-я сосред-х сил

0<=z₁2<= a+b

Для каждого из уч-ов опр-ем вел-ну продольной силы N (в пределах уч-ка N=const) N₁=P₁ N₂= - P₂+P₁строим эпюру прод сил.

Для каждого из уч-ов опр-ем напряж-е: σ_i=N_i/F_i

Для кажд уч-ка опр-ем абсол деф-ю:

Δl_i=N_i*l/(E*F_i) и опр-ем перемещ-я (Перемещение (δ) относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δ_i-i=Σ(Δl_i)

8. Одноосное напряженное состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.

Напряж-е сост-е в точке хар-ся совокупностью напряж-й возникающ-х на бесконеч-ом множестве произ-но ориентированных площадок произ-но проведённых ч/з эту точку. Напряже сост хар-тся 9 компонентами σ_x σ_y σ_z τ_xy τ_xz τ_yx τ_yz τ_zx τ_zy

Главные площ-ки τ=0 х-ся 3 комп-ми: σ₁ >σ₂ >σ₃(в алгебр смысле). Направлении┴ глав площ наз-ся глав-

ми напр-ми Деф-ии┴ глав площ наз-ся глав-ми деф-ми

Линейное или одноосное напр сост:

σ_3или1≠0,

σ₂=σ_1или3=0

F_α=F/ cosα

1) ∑(Р_i)_{площадка}=0 σ_α*F_α –σ₁*F*cosα=0

σ_α* F/ cosα –σ₁*F*cosα=0

σ_α=σ₁*cos² α

2) ∑(Р_i)_{площадка}=0 τ_α*F_α –σ₁*F*cosα=0

τ_α* F/ cosα –σ₁*F*cosα=0

τ_α=σ₁*cos α * sin α = 0.5* σ₁* sin 2α

τ_max|_α=45= σ₁/2 τ_min| _{α=0, α=90}= 0