Шпоры к Экзамену

σ_α+π/2=σ₁*cos²(α+π/2)=

=σ₁*sin²α т.о.

σ_α + σ_α+π/2= σ₁*cos²α +

+ σ₁*sin²α = σ₁

т.о. сумма на 2-х взаимоперпендикуля

площ-ах = σ₁

τ_α+π/2=0.5*σ₁*sin2(α+π/2)=0.5*σ₁sin(2α+ +π)= - 0.5*σ₁sin(2α)

τ_α+ τ_α+π/2=0.5*σ₁sin(2α)- 0.5*σ₁sin(2α)=0

З-н парности кас напряж: на 2-х взаимоперпендик площ-х действуют = по вел-не и обратные по знаку касательные напр-я (τ).

τ_xy= - τ_yx

τ_zy= - τ_yz

τ_xz= - τ_zx

8. Деформации продольные и поперечные. Коэффициент Пуассона. (в –9)

9. Расчёты на прочность при растяжении/сжатии. Условия прочности.

N=f(σ)→ σ_i=N_i/F_i<=[σ]–для пластично

σ_ic<=[ σ_с] σ_iр<=[ σ_р] –для хрупкого

8. Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические характеристики.

9. Испытания хрупких материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.

10. Допускаемое напряжение, коэффициент запаса прочности.

Т.к. детали и сооруж-я должны безопасно работать и при неблагоприят условиях, то напряж-я должны быть ниже тех предельных напряж-й при которых может произойти разрушения или возник-ть пластич дефор-ции. Т.о.

[σ]= σ_u/n [σ]-допускаемое напяж-е

σ_u- предельное напяж-е материала

n – нормативный коэф запаса прочности (коэф безопасности). Коэф запаса проч-ти вводится для того чтобы обеспечить безопасную, надёж работу сооружений и отдельных его частей. Вопрос о “n” решается с учётом имеющегося опыта эксплуатц.

8. Чистый сдвиг. Закон Гука. Модуль сдвига. Напряжения и деформации.

Чистый сдвиг – напряж сост-е если на гранях эл-та действует только τ. Площ-ки на которых действует только τ наз-ся площ-ми чист сдвига. Q≠0 (Q_x или Q_y) Q=f(τ). Практические деф-ции сдвига/среза возник-ет когда брус нагружен 2-мя равными силами действующие на малом раст-ии друг от друга ┴ оси бруса и навстречу друг другу.

Напр-я: Q=P τ = Q/F (т.к равномерно распред-ны по сечению)

Деф-ия: γ – угловая деф-я γ= tgγ ΔS (абсолют деф-я)= γ*a γ =τ/G

V₀=1

l₁=l₂=l₃=1

для ед длины:ε₁=Δl₁/l₁= Δl₁/1= Δl₁ =>

V₁= (1+ ε₁)* (1+ ε₂)* (1+ ε₃)=1+ +ε₁ε₂+…+ ε₁ ε₂ ε₃+…+ ε₁+ ε₂+ ε₃

Т.к деф-ии малы то произвед-ями ε₁ε₂+…+ ε₁ ε₂ ε₃ε₂+…можно пренебречь.=> V₁= 1+ ε₁+ ε₂+ ε₃

υ=(V₁-V₀)/V₀=(1+ ε₁+ ε₂+ ε₃-1)/1= ε₁+ +ε₂+ ε₃

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))- обобщенный з-н Гука для объем н.с. υ=(1-2μ)*(σ₁+σ₂+σ₃)/E

35 Обобщённый закон Гука.

Обобщ з-н Гука – это зависимость м/д деф-ми и напяж-ми при плоском и объёмном напр сост. Предпосылки для вывода: 1)используем з-н Гука для одноосного н.с.: ε=σ/Е 2)связь м/д продольными и попереч деф-ми:

ε’= -μ*ε 3)принцып наложения (независимости действия сил)

1)Для плоского н.с.:

ε_{12 1-}направление деф-ии _2-причина деф

ε₁₁= σ₁ /Е ε₂₂= σ₂ /Е

ε₂₁= -μ*ε₁₁= -μ* σ₁ /Е ε₁₂= -μ*ε₂₂=

= -μ* σ₂ /Е =>

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂= σ₁ /Е - μ* σ₂ /Е=

=1/E *(σ₁-μσ₂)

ε₂= ε₂₂ +ε₂₁= σ₂ /Е - μ* σ₁ /Е=

=1/E *(σ₂-μσ₁)

2)Для объёмного н.с.:

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))

(и В-34)

36 Удельная потенциальная энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.

ε₁= ε₁₁ +ε₁₂ +ε₁₃=1/Е*(σ₁-μ*(σ₂+σ₃))

ε₂= ε₂₁ +ε₂₂ +ε₂₃=1/Е*(σ₂-μ*(σ₁+σ₃))

ε₃= ε₃₁ +ε₃₂ +ε₃₃=1/Е*(σ₃-μ*(σ₁+σ₂))

удельная потенц энергия е_р=U/V₀

Полная энергия U=∫е_рdV(по V)

V₀=1 е_р=U/1=U= - A_внут= - (A_{внут 1}+

+ A_{внут 2}+ A_{внут 3})

A_{внут 1}= - (σ₁* ε₁)/2 A_{внут 2}= - (σ₂* ε₂)/2 A_{внут 3}= - (σ₃* ε₃)/2

е_р=(σ₁* ε₁)/2+(σ₂* ε₂)/2+(σ₃* ε₃)/2

подставив ε₁ ε₂ ε₃ получим:

е_р=

е_р= е_р^{формоизменения}+ е_р^{объёмоизменения}

е_р^ф зависит от угловых деф-ий

е_р^о зависит от линейных деф-й сторон

е_р^ф=(1+μ)(σ₁²+σ₂²+σ₃²-σ₁σ₂-σ₁σ₃-

-σ₂σ₃)/3Е

е_р^о=(1-2μ)*(σ₁+σ₂+σ₃)²/6Е

37 Виды напряженных состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных напряжений. (В-12)

1)Прямая задача для плоского н.с.:

σ_α=σ₁*сosα+σ₂*sinα

τ_α=((σ₁-σ₂)/2)*sinα

τ_max|_α=45=(σ₁-σ₂)/2

2)Обратная задача для плоск н.с.

по σ_α σ_β τ найти σ₁ σ₂

а) tg2ψ₀=2τ/(σ_β-σ_α)-

положение

глав площ-ки

σ_{1(max)/3(min)}= (σ_α-σ_β)/2±(√((σ_α-σ_β)²+4τ²))/2 вел-на глав напр-й (+для σ_1(max) -для

σ_3(min))

б)для кручения

с изгибом

tg2ψ₀=2τ/σ

σ_1/3=σ/2±(√(σ²+4τ²))/2

(+для σ_1(max) -для σ_3(min))

38Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах прочности.

1)линейное н.с.(растсж, изгиб)

2)простое плоское н.с.(кручение, срез)

3)сложное н.с.

Гипотезы проч стремятся установить критерии проч-ти для мат-ла находящ-ся в сложном н.с. При этом слож н.с. сводится к одноосному линейному н.с. которое обознач-ся σ_экв и явл-ся равноопасным заданным плос или объёмным сост-м. σ_экв выр-ся ч/з напряж-я σ₁ σ₂ σ₃ т.о. σ_экв=f(σ₁ σ₂ σ₃) и устанавливается гипотезами прочн-и

σ_экв<=[σ]- условие проч при слож н.с.

I)гипотеза наиб-х нормальных напряж

σ_1/3<=[σ] (практикой не подтверждено)

II)гипотеза наиболь линейных деф-й

ε_1/3<=[ε]=σ/E(практикой не подтвержд)

III) Гипотеза max касательн напряж-й

τ_max(для слож н.с.)<=[τ](для линей н.с.) τ_max =(σ₁-σ₃)/2 [τ]=[σ]/2

(σ₁-σ₃)/2<=[σ]/2 σ₁-σ₃<=[σ] =>

σ_{экв III}= σ₁-σ₃ т.к. не уч-ет σ₂ то погрешность сост≈ 15% прошла пров-ку временем но исполь только для пластических мат-ов

IV)Гипотез энергии формоизменения:

Прочность мат-ла при сложном н.с. обеспеч-ся если удельная потенц энергия формоизменения (е_р^ф) не превосходит допустимой е_р^ф установленной для одноосного н.с.

е_р^ф(для слож н.с.)<=[е_р^ф](для линей н.с.

σ_эквIV==

=<=<= [σ] –самая применимая более всего оправдавшая себя на практике применима для пластич мат-лов

Мора) σ_{экв М}= σ₁ - ν σ₃<=[σ_р] или [σ_сж]

ν=[σ_р] / [σ_сж] подтверж практикой применимо для хрупких мат-ов

Для плоского н.с.(круч с изгибом):

σ₁= σ₃=

σ_{экв III}= σ₁- σ₃==

=<<=[σ]

σ_эквIV===

=

σ_{экв М}= σ₁ - ν σ₃=1/2*=

==

σ_экв=М_прив/W_x<=[σ] W_x=0.1d³

ΔS= τ*a/G=Q*a/(G*F) – з-н Гука в абс вел-нах, где G- модуль сдвига (модуль упругости II рода) хар-ет способность мат-ла сопротив-ся деф-ям сдвига.

А_внеш= -А_внут U= -A_внут= P*ΔS/2=

=Q* ΔS/2= Q²*a/(2*G*F)

8. Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.

Δ l=0 σ =0 γ (угол сдвига)≠0

τ (кас напр)= G*γ

Кручением наз-ся вид деф-ии при кот-м в поперечном сеч-ии возникает только 1-о внутр усилие – крутящий момент (М_кр)

Внеш скруч

мом-ы: М_скр

М_кi= ΣM_{скр i} Крутящий момент = алгеб сумме внеш-х скруч моментов действующих по1-ну сторону от сечения. Касатель напр-я: τ = G*γ

М_кр = f (τ)

Справедлива гипотеза Бернулли (о плоских и жест сеч-ях) Ось вала осталась прямолинейная. Геометр размеры без изм-я.

γ-угол сдвига образующей φ-угол закручивания или угол поворота попереч сечения. r- радиус γ_max=tg γ_max=NN’/dz=r dφ/dz γ_ρ= tg γ_ρ=kk’/dz= ρ dφ/dz τ_ρ =G*dφ/dz* ρ

dφ/dz=const G=const G* dφ/dz=const

S=0 → τ=0 S= r → τ_max

При круч-ии деф-ии сдвига γ и кас напр τ пропорц-ны расстоянию от оси вала ρ. dM_к= τ_ρ*dF *ρ M_к=∫dM_к(по F) = =∫ ρ *τ_ρ*dF = ∫ ρ²*G (dφ/dz)dF=G* dφ/dz ∫ ρ²dF ∫ ρ²dF=J_p- полярный момент инерции поперечного сечения.

dφ/dz=М_к/(G*J_p)

τ_ρ= G* ρ* М_к/(G*J_p)= М_к* S/J_p

J_p(для круга)=0.1*d⁴

J_p(пусто-ого вала)=0.1*D⁴*(1-c⁴) c=d/D

τ_max=М_к*r /J_p= M_к/W_p<=[τ] –усл проч-и

W_p=J_p/r W_p – полярный момент сопротивления = отнош-ю поляр моменту инер-ии к расст до наиболее удалённых волокон вала (r)

W_p (круг)= 0.2*d³

W_p(пустотел вал)= 0.2*D³*(1-c³) c=d/D

dφ =М_к* dz /(G*J_p) проинтегрируем обе части (правую от0доφ, лев от0доL)

М_к/(G*J_p)=const φ= М_к*l/(G*J_p) – з-н Гука

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_i

Условие жесткости: δφ_max<=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_к/(G*J_p)

Услов жесткости: θ <= [θ]

8. Полярный момент инерции, полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при кручении. (в-19)

9. Потенциальная энергия деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого бруса.

A_внеш=М_скр1*φ₁/2 dА_внут= - М_к*φ/2

U= -А_внут=∫ М_к²* dz /(2*G*J_p(от0 доL) U=М_к²* l/(2*G*J_p)

Перемещ сеченя: δφ=∑φ_i

Условие жесткости: δφ_max<=[φ]

Относит угол закр-я: θ=φ/l= М_к/(G*J_p)

Услов жесткости: θ <= [θ]

τ_max=М_к*r /J_p= M_к/W_p<=[τ] –усл проч-и

8. Испытание материалов на кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические характеристики при кручении.

9. Расчёт на прочность заклёпочного и болтового соединений.

d-диаметр отверстия d_зак-диам заклёпк d≈d_зак+(0.5-1)мм

1)Р-равномер распред-но м/д заклёп (болтами) Q_{1-й зак}=P/n n-число заклёпок

2)По плоскости среза τ распед равном

τ=Q/F

условие проч-ти: τ=Q/F=4P/(nπd²)<=[τ_cp] [τ_cp]≈0.8[σ]

n>=4P/(πd²[τ_cp]) n-числ зек из расчёта на прочность.

Расчёт на смятие:

F_смят=d*δ_min

δ_min-min толщина места. σ_смят=Q/F_смят=P/(n’dδ_min)<=[σ_cм]<=2*[σ]

n’-число зак из расчёта на смятие

n’>=P/([σ_cм]*d* δ_min) из n и n’выбир >

8. Расчёт на прочность сварных швов.

Для соед-я встык – расчёт на обычное растяжсжат: σ=P/F_шва<=[σ]

Соед-е внахлёст:

Шов хар-ся катетом: АВ=ВС=δ=катет

На биссектрису дейст-ет τ_мах. Ширина опасного сечения = 0.7*катет

Площади опасного сечения швов:

F_лоб =b_∑*0.7*кат-т F_фронт =l_∑*0.7*кат-т

Допустимая нагрузка:

(l_∑+b_∑)*0.7*кат-т*[τ]>=P

8. Расчёт цилиндрических винтовых пружин малого шага.

α<=10-12град

D-сред диамет

пружины

d-диам проволок

h-шаг

с=D/d-индекс пруж

с=4-12

n-число раб витков

n_пол=n+1.5-2.5

λ-удлинение/осадка

в сечении 2 внутренних усилия:

Q-поперечная сила, М_к-крутящ момен

Q=P M_к=P*D/2

M_к: τ_max=М_к/W_p=P*D/2*W_p

W_p=π*d³/16 τ_max =8PD/πd³

Q: τ=Q/F=4P/ πd²

Условия проч в опасной точке: τ_max= τ_max(Мк)+ τ_max(Q)= 8PD/πd³+4P/ πd²= =(8PD+4Pd)/ πd³= =8PD/πd³*(1+d/2D)<=[τ]

Если d/2D<=1/6, то τ_max=8PD/πd³<=[τ]

d>= λ=8PD³n/Gd⁴