Xreferat.com » Рефераты по физике » Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Академия России

Кафедра Физики


Реферат на тему:

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ


Орел 2009

Содержание


Введение

Спектральный состав периодических колебаний

Анализ периодических колебаний

Частотный состав непериодического колебания

Библиографический список

Вступление


Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические функции. Их значение обусловлено рядом причин, основными из которых являются:

– гармонические сигналы инвариантны (не изменяются) относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой;

– техника генерирования гармонических сигналов достаточно проста.

Кроме того, известно (курс математики), что любое негармоническое колебание, удовлетворяющее определенным условиям, можно представить в виде суммы гармонических колебаний. При этом говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала, а отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

Спектральный состав периодических колебаний


Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодическое колебание Спектральный анализ колебаний со следующим свойством:

Спектральный анализ колебаний, n = 1, 2, …,

где Т – период колебания.

Известно, что любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция непрерывна и монотонна, и во всякой точке разрыва функции существуют переходы от одного конечного значения к другому), может быть представлена рядом Фурье. Если ряд Фурье представлен в тригонометрической форме, то его запись имеет следующий вид:

Спектральный анализ колебаний, k = 0, 1, 2, …,

где Спектральный анализ колебаний.

То есть периодическое колебание можно представить как сумму постоянной составляющей Спектральный анализ колебаний и гармонических колебаний с частотами kw1 (гармоник), причем совокупность амплитуд гармоник Спектральный анализ колебаний называется спектром амплитуд колебания Спектральный анализ колебаний, а совокупность начальных фаз Спектральный анализ колебаний называется спектром фаз колебания Спектральный анализ колебаний.

Очень часто используют комплексную форму ряда Фурье. Для перехода к этой форме воспользуемся формулой Эйлера:

Спектральный анализ колебаний.

Тогда ряд Фурье запишется в виде

Спектральный анализ колебаний.

Отсюда легко определяются комплексные амплитуды гармоник:

Спектральный анализ колебаний.

Поскольку периодическое колебание Спектральный анализ колебаний известного периода Т полностью описывается совокупностью амплитуд Спектральный анализ колебаний и фаз Спектральный анализ колебаний своих составляющих, то задание спектра такого колебания сводится к заданию его спектров амплитуд и фаз.

Пример графического изображения спектров амплитуд Спектральный анализ колебаний и фаз Спектральный анализ колебаний некоторого периодического колебания приведен на рисунке 1.

Спектральный анализ колебаний

Рис. 1. Графическое изображение спектров амплитуд и фаз колебания


Каждая частотная составляющая изображается на графике спектра одним вертикальным отрезком – спектральной линией. Длина отрезка определяет величину амплитуды Спектральный анализ колебаний или начальной фазы Спектральный анализ колебаний, а местоположение отрезка на оси частот – частоту составляющей (Спектральный анализ колебаний).

Иногда пользуются и табличным способом задания спектра (табл. 1).


Таблица 1

Частота 0

Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Амплитуда

Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Начальная фаза

Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний


Пример. Определить спектральный состав колебания, представляющего собой периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов Спектральный анализ колебаний с известными параметрами Спектральный анализ колебаний.

Спектральный анализ колебаний

Решение.

В радиотехнике отношение Спектральный анализ колебаний называют скважностью последовательности. По формуле ряда Фурье в комплексной форме находим

Спектральный анализ колебаний.

Комплексная амплитуда Спектральный анализ колебаний пропорциональна функции вида Спектральный анализ колебаний, график которой показан на рисунке 2.

Спектральный анализ колебаний

Рис. 2. График функции Спектральный анализ колебаний

Амплитуды гармоник определяются как модуль Спектральный анализ колебаний:

Спектральный анализ колебаний

и пропорциональны функции вида Спектральный анализ колебаний, график которой показан на рисунке 4.

Спектральный анализ колебаний

Рис. 4. График функции Спектральный анализ колебаний


График спектра амплитуд при Спектральный анализ колебаний показан на рисунке 5.

Спектральный анализ колебаний

Рис. 5. График спектра амплитуд

Пунктирная линия, построенная по формуле Спектральный анализ колебаний, называется огибающей спектра амплитуд, в которую вписываются амплитуды гармоник на своих частотах Спектральный анализ колебаний. Нули огибающей будут на тех частотах, на которых

Спектральный анализ колебаний (n = 1, 2, 3, …),

откуда Спектральный анализ колебаний. Постоянная составляющая определяется как Спектральный анализ колебаний.

В пределах первого лепестка огибающей спектра амплитуд (Спектральный анализ колебаний) комплексная амплитуда положительна и вещественна, значит Спектральный анализ колебаний (Спектральный анализ колебаний). В области частот Спектральный анализ колебаний величина Спектральный анализ колебаний вещественна и отрицательна, значит Спектральный анализ колебаний (Спектральный анализ колебаний). Следовательно, начальные фазы гармоник изменяются на 180° при переходе через нули огибающей. График спектра фаз показан на рисунке 6.

Спектральный анализ колебаний

Рис. 6. График спектра фаз

Изменение периода следования импульсов Т приводит к сгущению (при увеличении) или разряжению (при уменьшении) спектральных линий.

Изменение длительности Спектральный анализ колебаний импульсов вызывает смещение нулей огибающей на оси частот, положение же спектральных линий при этом остается без изменения. В том случае, когда скважность последовательности импульсов Спектральный анализ колебаний, последовательность обладает богатым спектром, содержащим очень большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник, и широко используется в синтезаторах частот.

Спектр амплитуд позволяет наглядно судить о соотношении между амплитудами гармоник и о полосе частот, в пределах которой расположены энергетически значительные частотные составляющие.

Для периодического колебания Спектральный анализ колебаний средняя мощность Рср может быть представлена формулой

Спектральный анализ колебаний.

Кроме того, доказано, что средняя мощность периодического колебания равна сумме средних мощностей составляющих гармоник:

Спектральный анализ колебаний.

Это равенство называют равенством Парсеваля. Сопоставляя квадраты амплитуд гармоник, можно судить о распределении общей мощности периодического колебания по диапазону частот, а, следовательно, строить радиотехнические устройства, ограничивая спектр передаваемого колебания требуемым числом спектральных составляющих, тем самым уменьшая частотный диапазон передаваемых сигналов. Обычно спектр ограничивают частотой, на которой сумма мощностей постоянной составляющей и вошедших в этот диапазон гармоник составляет не менее 90 % полной средней мощности колебания.


Анализ периодических колебаний в электрических цепях


В основу анализа линейных электрических цепей, находящихся под воздействием периодических негармонических колебаний, лежит принцип наложения. Его суть применительно к негармоническим воздействиям сводится к разложению негармонического периодического колебания в одну из форм ряда Фурье и определения реакции цепи от каждой гармоники в отдельности. Результирующая реакция находится как сумма полученных частных реакций.

Анализ проведем на примере. Пусть ко входу последовательной RC-цепи (рис. 7) подведено воздействие в виде периодической последовательности видеоимпульсов с амплитудой А = Е и скважностью Спектральный анализ колебаний.

Спектральный анализ колебаний

Рис. 7

Требуется определить реакцию – напряжение на элементе емкости Спектральный анализ колебаний.

На вход цепи поступает периодическое колебание, разложение которого в ряд Фурье дает следующий результат:

Спектральный анализ колебаний

Из ряда видно, что в составе разложения отсутствуют гармоники с четными номерами, так как скважность последовательности импульсов равна 2. Ограничимся первыми тремя членами разложения. Приложенное напряжение содержит постоянную составляющую Спектральный анализ колебаний, первую Спектральный анализ колебаний и третью Спектральный анализ колебаний гармоники с нулевыми начальными фазами. Найдем напряжение на емкости от постоянной составляющей приложенного напряжения:

Спектральный анализ колебаний.

Комплексное действующее напряжение от первой гармоники будет равно:

Спектральный анализ колебаний

Аналогично находим напряжение на емкости от 3-й гармоники

Спектральный анализ колебаний.

Теперь можно записать мгновенное значение напряжения на емкости в виде ряда:

Спектральный анализ колебаний.

Действующее значение напряжения определяем, как

Спектральный анализ колебаний.

Частотный состав непериодического колебания


От периодического колебания к непериодическому можно просто перейти, если не изменяя формы импульса безгранично увеличивать период его следования, что, в свою очередь, приведет к бесконечно близкому расположению друг к другу спектральных составляющих, а значения их амплитуд становятся бесконечно малыми. Однако начальные фазы этих составляющих таковы, что сумма бесконечно большого числа гармонических колебаний бесконечно малых амплитуд отличается от нуля и равна функции только там, где существует импульс. Поэтому понятие спектра амплитуд для непериодического колебания не имеет смысла, и его заменяют, используя прямое и обратное преобразования Фурье.

Известно, что функция, удовлетворяющая заданным условиям, может быть представлена интегралом Фурье (обратное преобразование Фурье)

Спектральный анализ колебаний.

Используя прямое преобразование Фурье, приходим к интегралу

Спектральный анализ колебаний.

Функция Спектральный анализ колебаний называется комплексной спектральной плотностью амплитуд, а ее модуль Спектральный анализ колебаний – спектральной плотностью амплитуд. Аргумент Спектральный анализ колебаний называют фазовым спектром непериодического колебания.

В качестве примера рассмотрим колебание, описываемое экспоненциальной функцией Спектральный анализ колебанийпри положительном вещественном значении параметра a.

Найдем спектральную плотность:

Спектральный анализ колебаний

Особенностью комплексного спектра является его распространение, как на положительную, так и на отрицательную области частот. Графики нормированного амплитудного и фазового спектров представлены на рисунке 8.Спектральный анализ колебаний

а б

Рис. 8. Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса:

а – нормированный амплитудный спектр; б – фазовый спектр


Распределение энергии в спектре непериодического колебания


Пусть непериодическое колебание описывается функцией Спектральный анализ колебаний. Тогда можно записать

Спектральный анализ колебаний.

Проинтегрируем это выражение по переменной Спектральный анализ колебаний в бесконечных пределах:

Спектральный анализ колебаний

В этом выражении

Спектральный анализ колебаний,

где Спектральный анализ колебаний – комплексная величина, сопряженная с Спектральный анализ колебаний.

Следовательно,

Спектральный анализ колебаний.

Произведение двух сопряженных комплексных величин равно квадрату модуля одной из них, поэтому

Спектральный анализ колебаний.

Так как левая часть равенства определяет энергию колебания Спектральный анализ колебаний, то это можно сказать и о правой части. Но тогда

Спектральный анализ колебаний

есть ни что иное, как энергия колебания, приходящаяся на один радиан полосы частот для текущей частоты w.

Иными словами, Спектральный анализ колебаний является спектральной плотностью энергии колебания Спектральный анализ колебаний и характеризует распределение энергии в полосе частот колебания:

Спектральный анализ колебаний.

Энергетически значимые участки спектра расположены в тех частотных полосах, в которых значение спектральной плотности Спектральный анализ колебаний относительно велики.

Пример. Определить спектральную плотность энергии прямоугольного видеоимпульса с параметрами: длительность Спектральный анализ колебаний, амплитуда Спектральный анализ колебаний и располагается симметрично относительно начала отсчета времени.

Спектральный анализ колебаний

На основании формулы прямого преобразования Фурье найдем спектральную плотность амплитуд

Спектральный анализ колебаний

Спектральную плотность энергии легко определить путем возведения в квадрат спектральной плотности амплитуд:

Спектральный анализ колебаний

Введем безразмерную переменную Спектральный анализ колебаний и представим результаты определения спектральной плотности амплитуд и спектральной плотности энергии в следующем виде:

Спектральный анализ колебаний;

Спектральный анализ колебаний.

Теперь легко построить нормированные спектры как функций безразмерной частотной переменной Спектральный анализ колебаний (рис. 9 и 10).

Спектральный анализ колебаний

Рис. 9. График нормированной спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса как функции параметра Спектральный анализ колебаний

Спектральный анализ колебаний

Рис. 10. Нормированный энергетический спектр прямоугольного

видеоимпульса как функции безразмерной частотной переменной Спектральный анализ колебаний

Библиографический список


Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей.– М.: Радио и связь, 1986.

Суднищиков В. С. Основы теории передачи и устройства преобразования сигналов (часть 1).– Орел:

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.– М.: Наука, 1986.

.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: