Xreferat.com » Рефераты по физике » Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Содержание


1. Возникновение переходных процессов и законы коммутации

2. Способы получение характеристического уравнения

3. Особенности переходных процессов в цепях с одним реактивным элементом

4. Переходные процессы в цепях с двумя разнородными реактивными элементами

5. Временные характеристики цепей

6. Расчет реакции линейной цепи на входное воздействие произвольного вида с применением временных характеристик цепи

Список используемых источников


1. Возникновение переходных процессов и законы коммутации


Для изучения темы реферата необходимо знать расчет установившихся режимов, т.е. таких, когда все токи и напряжения либо постоянные, либо периодически повторяющиеся функции времени, но в любой схеме могут происходить подключения и отключения ветвей (происходит коммутация). Обозначают коммутацию: Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях. В линейных цепях коммутация считается идеальной, т.е.:

1) ключ представляет собой либо разрыв, либо провод;

2) длительность перехода из одного состояния в другое равна нулю. Момент времени сразу после коммутации обозначают Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях либо Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, а момент времени непосредственно перед коммутацией соответственно обозначают Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях. После коммутации цепь стремится под действием источников схемы прийти к новому установившемуся режиму, но для этого ей требуется время. Процессы, происходящие в цепи после коммутации, называются переходными процессами.

Почему этот переход не может произойти мгновенно? Дело в том, что в цепи имеются элементы L и C, в которых запасается определенная величина энергии WL=LКлассический метод расчета переходных процессов в линейных цепях2/2 и WC=Cu2/2 соответственно. В новом установившемся режиме будет другой запас энергии, и, т.к. скорость изменения энергии есть подводимая к элементу мощность, получается, что требуется конечное время на изменение этого запаса энергии (т.к. источников бесконечной мощности в реальной цепи нет). Из выражения для WL и WC и того факта, что в цепях не развивается бесконечная мощность, вытекают два фундаментальных условия, без которых невозможно рассчитать ни один переходной процесс – это законы коммутации.

Получим их:

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях,


т.к. PКлассический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, L - конечное число, Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхL - конечное число, то Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях - скачка быть не может. Отсюда вытекает один из законов коммутации: ток в индуктивности не может измениться скачком, поэтому при коммутации: Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях. Дифференцируя dWC/dt, приходим ко 2-ому закону коммутации: напряжение на ёмкости не может измениться скачком, поэтому при коммутации: Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях. Т.к. Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях = LКлассический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхL, Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, то можно использовать и такие функции: Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.

Про остальные величины, в том числе и про скорость изменения любых токов и напряжений при коммутации заранее ничего не известно и их приходится рассчитывать. Т.к. и форма изменения токов и напряжений неизвестна, приходится использовать самые общие выражения: Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях. Тогда уравнения, описывающие цепь после коммутации, оказываются дифференциальными. В линейной цепи – это линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ). Существуют различные методы решения таких уравнений, и соответственно различают различные методы расчета переходных процессов.


2 Способы получение характеристического уравнения


Классический метод

Классический метод основан на решении ЛДУ методом вариации произвольных постоянных. Любая система ЛДУ может быть сведена к одному уравнению n –ого порядка. В цепях по схеме после коммутации порядок определяется так: n = n L + n C – nОК – nОС , где n L – число L; n C – число C; nОК – число особых контуров, т.е. таких, которые состоят только из емкостей и источников ЭДС; nОС – число особых сечений (в простейшем случае, это узлы схемы, к которым подключены только ветви с источником тока или с индуктивностями).

Решение уравнения представляют в виде суммы частного решения неоднородного уравнения (ЛНДУ) и общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ). Частное решение определяется видом правой части уравнения. В цепях в правой части уравнения стоят источники энергии схемы после коммутации. Физический смысл частного решения уравнения в цепях – это новый установившийся режим, к которому будет стремиться схема после коммутации под действием источников. Поэтому частное решение ЛНДУ называют принужденной составляющей режима. Общее решение ЛОДУ физического смысла не имеет. В противоположность принужденной составляющей, его называют свободной составляющей переходного процесса. Свободная составляющая записывается в виде суммы слагаемых, число и вид которых определяются корнями характеристического уравнения.

После записи решения необходимо рассчитать произвольные постоянные, вошедшие в выражение общего решения. Это можно сделать, если известны начальные условия. Начальные условия – это значения искомой функции времени и необходимого числа её производных по времени в начале переходного процесса, т.е. при t=0.

Все начальные условия делят на две группы:

- независимые начальные условия, это Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхL(0) и uC(0), которые находятся по законам коммутации, с помощью вычисленных ранее Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхL(0-) и uC(0-) в схеме до коммутации;

- все остальные начальные условия – зависимые. Их приходится искать из цепи после коммутации в переходном режиме по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений при t=0 с помощью независимых начальных условий. Имея необходимое число начальных условий и рассматривая решение и его производные по времени в момент Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, получают систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из которой находят произвольные постоянные.

В соответствии с изложенным, порядок расчета переходного процесса классическим методом может быть таким:

1) рассматривают установившийся режим схемы до коммутации и находят Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхL(0-) и uC (0-);

2) рассматривают цепь после коммутации в новом установившемся режиме и находят принужденную составляющую переходного процесса;

3) тем или иным способом получают характеристическое уравнение и находят его корни в соответствии с которыми определяют вид свободной составляющей;

4) записывают решение в виде суммы принужденной и свободной составляющих.Если характеристическое уравнение n – ого порядка, то формируется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) n - ого порядка, включающая (n-1) производную решения. Переписывают СЛАУ для Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях;

5) рассматривают цепь после коммутации в переходном режиме; рассчитывают необходимые начальные условия (ННУ);

6) подставляют ННУ в СЛАУ при Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях и находят произвольные постоянные;

7) записывают полученное решение.


Способы получения характеристического уравнения

Существуют различные способы получения характеристического уравнения.

Если цепь описывается всего одним уравнением, то его алгебраизируют: d/dt заменяют на p, Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхdt заменяют на 1/p, правую часть обращают в ноль и получают характеристическое уравнение.

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


Если режим в цепи описывается системой из нескольких уравнений, то методом подстановки их сводят к одному и поступают точно также как описано выше (обычно так не делает).


Универсальный способ

Систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации алгебраизируют и составляют определитель системы, и приравняв его к нулю, получают характеристическое уравнение.

Воспользуемся этим способом.

Пусть схема после коммутации имеет вид:


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, ,

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


Если в схеме нет управляемых источников и взаимных индуктивностей, то проще всего поступить так: в схеме после коммутации все источники заменить их внутренним сопротивлением, вместо индуктивности L написать pL, вместо емкости C написать Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.

а) Если в полученной схеме нет ветви без сопротивления, томожно разомкнуть любую ветвь полученной пассивной схемы и относительно точек разрыва записать выражение для нахождения Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.

б) Если в полученной схеме есть ветви без сопротивления, то размыкать надо именно ту ветвь, в которой ищется переходный ток или напряжение и относительно точек разрыва записывают Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.

Характеристическое уравнение имеет вид:


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.


Для рассмотренного выше примера получим:


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


Выражение для свободной составляющей содержит столько слагаемых, сколько есть корней, а слагаемые имеют такой вид:

а) каждому простому вещественному корню Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях соответствует слагаемое Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.

Если два корня, то процесс апериодический.

б) двум комплексно-сопряженным корням: Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях и Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях соответствует A1ePx1 t +A2ePx2 t, где A1, A2 – получаются комплексными числами, причем комплексно-сопряженными числами. Поэтому с помощью формулы Эйлера этот результат можно записать в другом виде (где не будет j): Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.

По этому выражению не очень удобно строить графики. Используя формулы тригонометрии его можно преобразовать (либо в sin, либо в cos): Ce-Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхt sin(Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхct+Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях1)=De-Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхt cos(Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхc t+Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях2) – затухающий во времени гармонический процесс – колебательный процесс.

в) среди корней есть m одинаковы[ (если таких корней два, то переходный процесс называется критическим).


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях;

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


Пример: Дано: E=40В, R1 =R2=400 Ом, L=5Гн, C=5 мкФ. Найти Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


1) В схеме до коммутации стоит постоянный источник, следовательно, ток в установившемся режиме постоянный.

t<0

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.


Если источник ЭДС синусоидальный, то эту часть задачи решают символическим методом.

2) Рассчитывают новый установившийся режим, находят принужденную составляющую.


tКлассический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


Видно, что после коммутации в схеме есть только постоянный источник ЭДС и поэтому в принужденном режиме – постоянный ток.


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.


3) получают характеристическое уравнение


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.


4) записывают решение

5) определяют начальные условия

Для схемы после коммутации записывают систему уравнений по законам Кирхгофа. Число этих уравнений больше, чем число неизвестных, однако при t=0, известны все iL(0) и uC(0), поэтому при добавлении этих независимых условий из полученной при t=0 системы можно найти все остальные зависимые начальные условия, например, методом подстановки.

При решении надо выразить значения токов и напряжений в момент t=0, их производные по времени в момент t=0 через параметры элементов схемы и независимые начальные условия.

Например, для нашей задачи:


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


В нашей задаче для расчета Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях надо найти 2 начальных условия, т.к. имеем 2 корня характеристического уравнения и 2 произвольные постоянные, поэтому надо знать Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхR(0) и Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхR(0).

Из (1):


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях,

Из (3):


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях,

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.


6) расчет произвольных постоянных

В нашем случае:


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепяхКлассический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


При Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях:


Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


Тогда из (1) Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Из (3)Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях(2)Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Ответ: Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, А.


3. Особенности переходных процессов в цепях с одним реактивным элементом


В таких цепях характеристическое уравнение будет первого порядка. Получить это уравнение можно, например, так:

По способу Zвх(p)=0, при этом схемы могут иметь вид:

Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях


Рис (1) Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях,

Рис (2) Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.


Видно, что корень характеристического уравнения получается отрицательным, т.е. с течением времени свободная составляющая Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях.

Ясно, что в разных схемах различными получаются величина А, величина Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях, но свободная составляющая всегда будет иметь вид затухающей экспоненты. Для таких функций вводятся специальная характеристика.

Постоянная времени цепи (τ) – есть интервал времени, за который амплитуда свободной составляющей уменьшается в e раз.

Воспользовавшись этим определением, можно найти τ таким образом так как Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: