Xreferat.com » Рефераты по физике » Теория столкновений

Теория столкновений

Размещено на /

Факультет «Естественных наук»

Кафедра «Физика»


Курсовая работа

специальности 7.070101 «Физика»

по дисциплине «Квантовая механика»

Теория столкновений


Луганск, 2010 г.

Факультет «Естественных наук»

Кафедра «Физика»


Задание на курсовую работу

специальности 7.070101 «Физика»

по дисциплине «Квантовая механика»


Название курсовой работы: «ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ»

Указания к выполнению курсовой работы:

Изучить литературные источники по данной теме, сделать необходимые обобщения и применить их при выполнении практического задания.

План выполнения:

Изучение общей теории столкновений;

Обобщение и проверка применимости для решения практических задач;

Решение практических задач.


Реферат


Курсовая работа:

29 с., 1 рис., 5 источников.

Цель работы: изучение квантовой теории столкновений и выполнение практических задач.

Исследовательский прием: анализ теоретических исследований, обобщение и применение при решении практических задач.

Теория столкновений микрочастиц образует в наше время одну из весьма обширных глав атомной механики. Столкновение – понятие из классической механики. В квантовой механике больше применимо понятие рассеяния. Процессом рассеяния называется отклонение частиц от первоначального направления движения, вызванное взаимодействием с некоторой системой, называемой рассеивателем.

Изучение процессов рассеяния заряженных и незаряженных частиц является одним из основных экспериментальных методов исследования строения атомов, атомных ядер и элементарных частиц.

Приоритеты развития – проведение экспериментов, сопоставление теории с новыми экспериментальными данными.

Волновая функция, постоянная планка, рассеяние, сечение рассеяния, борновское приближение.

рассеяние заряженный атом борновский фазовый

Содержание


Введение

Обзор литературы

1. Постановка задачи рассеяния. Амплитуда рассеяния

2. Борновское приближение. Формула Резерфорда. Атомный форм-фактор

2.1 Борновское приближение

2.2 Критерий применимости

2.3 Формула Резерфорда

2.4 Атомный форм-фактор

2.5 Конечные сечения в квантовой механике

3. Фазовая теория рассеяния

3.1 Понятие о неупругом сечении

3.2 Оптическая теорема

3.3 Упругое рассеяние медленных частиц

3.4 Дифракционное рассеяние быстрых частиц на черном шаре

3.5 Упругое рассеяние быстрых частиц на идеально отражающем шаре

3.6 Резонансное рассеяние

Список использованных источников


Введение


В последние десятилетия наука об атомных явлениях образовала не только одну из важнейших глав современной физики, но и получила широкое применение в современной технике.

Уже самый поверхностный взгляд на область атомных явлений обнаруживает новые черты, существенно отличные от тех, которые свойственны микромиру.

Первое, с чем мы встречаемся в микромире – это атомизм. Простейшие, элементарные частицы характеризуются вполне определенными признаками (зарядом, массой и пр.), тождественными для всех частиц одного сорта.

Подобной атомистичности не существует в макромире. Макроскопические объекты представляют собой совокупности большого числа элементарных частиц. Закономерности макроскопических явлений – это закономерности, свойственные совокупности большого числа частиц.

Все это показывает, что было бы методологически неправильно рассматривать микрочастицы по образу и подобию макроскопических тел. Даже материальная точка классической механики есть абстрактный, идеализированный образ вовсе не микрочастицы, а макроскопического тела, размеры которого малы в сравнении с расстояниями, встречающимися в задаче.

Атомизм микромира не ограничивается определенностью признаков самих микрочастиц. Он выражается также в существовании некоторой абсолютной меры для механического движения. Такой мерой является постоянная Планка Теория столкновений. Она имеет первостепенное значение в механике микрочастиц. Физики долгое время стремились понять атомные явления, оставаясь в рамках классических, макроскопических теорий. Открытие постоянной Планком было первым серьезным предупреждением о несостоятельности механического переноса закономерностей из области большого в область малого.

В 20-х годах ХХ столетия были открыты новые опытные факты, заставившие окончательно отказаться от этого пути. Было показано, что электроны обнаруживают волновые свойства: если пропускать поток электронов через кристалл, то частицы распределяются на экране так же, как распределяется интенсивность волн подходящей длины волны. Мы получаем чуждое классической механике явление дифракции микрочастиц. Позднее было доказано, что это явление свойственно не только электронам, но и вообще всем микрочастицам. Таким образом, была открыта принципиально новая и совершенно общая закономерность.

Движение микрочастиц оказалось во многих отношениях более родственно движению волн, нежели движению материальной точки по траектории. Явление дифракции несовместимо с предположением о движении частиц по траекториям. Поэтому принципы классической механики, в которых понятие траектории является одним из основных понятий, непригодны для анализа движения микрочастиц.


Обзор литературы


Литература по квантовой механике на русском языке в настоящее время представлена довольно полно как книгами советских физиков, так и переводами всех основных сочинений иностранных теоретиков. В этих книгах всякий физик, изучающий квантовую механику, или уже применяющий ее в своей практической работе, найдет исчерпывающее изложение основных принципов квантовой механики и многих ее применений, причем уже имеется возможность выбрать книгу сообразно требованиям и склонностям читателя. Квантовая механика вошла настолько глубоко в обиход современного физика, что ему, как правило, постоянно приходится сталкиваться с квантовомеханическим расчетом, с практическим приложением теории к конкретным вопросам. Эти квантовые расчеты содержатся почти во всех книгах, но приводятся они главным образом для иллюстрации общих соображений и не всегда достаточно подробно. В этом отношении книги «Теория столкновений» и «Теория столкновений», освещая принципиальные вопросы, отличаются наиболее подробным изложением решений основных задач.

В данной курсовой работе приведение подробных расчетов неприменимо в связи с ограничениями по объему. Поэтому можно воспользоваться литературными источниками, в которых основные принципы квантовой механики предполагаются известными и практически не обсуждаются (см. список литературы).


1. Постановка задачи рассеяния. Амплитуда рассеяния


Рассматриваем решение стационарного УШ


Теория столкновений (1.1)


которое на больших расстояниях r >> a (a — характерный радиус действия потенциала U(r)) имеет вид суперпозиции падающей плоской волны и сферической волны, расходящейся от центра (рис. 1):


Теория столкновений (1.2)


Здесь функция f = f(k,θ,ϕ) — амплитуда рассеяния.


Теория столкновений

Рис. 1: Схема рассеяния


Дифференциальное сечение рассеяния dσ равно отношению числа частиц, рассеянных в единицу времени в элемент телесного угла dΩ


Теория столкновений


к плотности потока падающих частиц Теория столкновений


Теория столкновений


Заметим, что, обсуждая сечение, мы имеем в виду расстояниях r, большие не только по сравнению с a, радиусом действия потенциала, но и с дебройлевской длиной волны λ.

От дифференциального УШ (1.1) и граничного условия (1.2) удобно перейти к интегральному уравнению

Теория столкновений (1.3)


Такой переход можно обосновать известными из электродинамики результатами (см. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля (М.: Наука, 1988, § 64). Действительно, волновое уравнение

Теория столкновений


при гармонической зависимости от времени потенциалов и плотностей зарядов


Теория столкновений


имеет вид


Теория столкновений (1.4)


аналогичный (1.1) с заменой


Теория столкновений


Решение же уравнения (20.4) в форме запаздывающих потенциалов таково:


Теория столкновений


что соответствует суперпозиции сферических волн Теория столкновений, расходящихся из центров Теория столкновений, в которых сосредоточены заряды Теория столкновений.

При r >> a соотношение (1.3) приводится к виду (1.2). Действительно, при этом


Теория столкновений


так что


Теория столкновений (1.5)


2. Борновское приближение. Формула Резерфорда. Атомный форм-фактор


2.1 Борновское приближение


Рассматриваем потенциал как возмущение. Для получения амплитуды рассеяния в первом порядке по потенциалу взаимодействия, подставим в (1.5) невозмущенную волновую функцию


Теория столкновений


и получим


Теория столкновений


2.2 Критерий применимости


Теория столкновений , что дает для сферически симметричного потенциала условие


Теория столкновений


Оно приводится к


Теория столкновений


Иными словами, характерная потенциальная энергия |U(a)| должна быть мала либо (для медленных частиц) по сравнению с характерной энергией Теория столкновений либо (для быстрых частиц) по сравнению с Теория столкновений (в последнем случае |U(a)| может быть и не мала по сравнению с Теория столкновений).

Критерий применимости борновского приближения для рассеяния медленных частиц Теория столкновений соответствует тому, что в случае притягивающего потенциала притяжение недостаточно для образования связанного состояния. В случае быстрых частиц условие Теория столкновений соответствует тому, что неопределенность в энергии, связанная с временем пролета, должна быть много больше потенциала взаимодействия; условие ka >> 1 обеспечивает здесь применимость квазиклассического рассмотрения.


2.3 Формула Резерфорда


Для поля U(r) = −α/r критерий применимости борновского приближения Теория столкновений Борновская амплитуда равна


Теория столкновений


а сечение рассеяния


Теория столкновений


совпадает с классическим. Отметим без доказательства, что борновская формула для сечения совпадает с точной (это верно лишь в нерелятивистском приближении). Полное сечение равно бесконечности.


2.4 Атомный форм-фактор


При упругом рассеянии быстрых электронов на атоме последний можно рассматривать как источник статического потенциала ϕ(r), создаваемого средним распределением зарядов в атоме


Теория столкновений


Так как Теория столкновений то из


Теория столкновений


следует, чтоТеория столкновений. Таким образом,


Теория столкновений


Здесь введен так называемый атомный форм-фактор:


Теория столкновений


При qa >> 1, то есть при углах рассеяния θ >> 1/ka, форм-фактор |F|<<|Z | и сечение совпадает с резерфордовским. Это вполне естественно: большие углы рассеяния соответствуют малым прицельным параметрам, при которых налетающая частица рассеивается ядром, практически неэкранированным.

При qa << 1 имеем


Теория столкновений


В этой области дифференциальное сечение


Теория столкновений


Таким образом, при рассеянии на атоме полное сечение оказывается (в отличие от резерфордовского) конечным.

Пример

Атом водорода. Теория столкновений,поэтому


Теория столкновений


Указанному распределению зарядов соответствует потенциальная энергия


Теория столкновений


В классической механике в таком поле σ = ∞, что находится в резком противоречии с квантовым (правильным!) результатом.


2.5 Конечные сечения в квантовой механике


Обсудим подробнее вопрос о том, какие потенциалы приводят в квантовой механике к конечным сечениям. Пусть на больших расстояниях Теория столкновений. В классической механике при рассеянии в таком поле полное сечение бесконечно, так как любым большим прицельным параметрам ρ соответствуют хотя и малые, но конечные классические углы отклонения


Теория столкновений


В квантовой механике для частицы с прицельным параметром ρ (у нее Теория столкновений неопределенность поперечного импульса Теория столкновенийТеория столкновенийпоэтому квантовая неопределенность угла отклонения равна


Теория столкновений


Таким образом, при Теория столкновенийи поэтому квантомеханические результаты могут существенно отличаться от классических.

Зная поведение U(r) на больших расстояниях, где взаимодействие всегда слабое и поэтому борновское приближение применимо, можно оценить поведение амплитуды в области малых углов рассеяния:


Теория столкновений


Отсюда получаем, что дифференциальное сечение


Теория столкновений


конечно при θ → 0,если n>3, а полное сечение


Теория столкновений


конечно при n>2.

Опыты по рассеянию быстрых электронов на ядрах. Формфакторы элементарных частиц.

3. Фазовая теория рассеяния


Рассеяние на сферически симметричном потенциале является симметричным, то есть ψ(r) зависит лишь от r и θ,но не от ϕ. Поэтому разложение этого решения по парциальным волнам содержит лишь Теория столкновений


Теория столкновений (3.1)


Как известно (центральное поле сил),


Теория столкновений


Чтобы выполнялось граничное условие (1.2), необходимо


Теория столкновений


Тогда


Теория столкновений


3.1 Понятие о неупругом сечении


Решение (3.1) при r →∞ можно представить не только в виде (1.2), но и в виде двух сферических волн, расходящейся и сходящейся:


Теория столкновений


(разумеется, при таком разбиении расходящаяся волнаТеория столкновенийотличается от Теория столкновенийв (1.2)). Парциальная амплитуда расходящейся волны отличается на множитель Теория столкновенийот соответствующей амплитуды в сходящейся волне. Если нет поглощения частиц силовым центром, то этот множитель должен быть по модулю равен единице, Теория столкновений.

Если есть поглощение, то Теория столкновений, а величина Теория столкновенийхарактеризует уменьшение потока частиц в расходящейся волне по сравнению с потоком частиц в сходящейся. Действительно,


Теория столкновений


Поэтому неупругое сечение равно


Теория столкновений


3.2 Оптическая теорема


Для процессов рассеяния и поглощения существуют определенные ограничения и связи. Введем понятие парционального сечения Теория столкновений, представив Теория столкновений. В классической механике Теория столкновениймомент импульса Теория столкновений, поэтому Теория столкновений, а под парциальным сечением Теория столкновенийестественно понимать площадь кольца между окружностями радиусов Теория столкновенийи Теория столкновений,то есть


Теория столкновений


Парциальные сечения для упругого, неупругого и полного Теория столкновенийТеория столкновений сечения можно записать в виде


Теория столкновений

Теория столкновений

Теория столкновений


При Теория столкновенийнет ни поглощения, ни рассеяния; при Теория столкновенийесть только рассеяние, но нет поглощения. Так как Теория столкновений, то


Теория столкновений

Теория столкновений


Если есть поглощение частиц Теория столкновений , то непременно происходит и рассеяние частиц. Поглощение максимально при Теория столкновенийи в этом случае


Теория столкновений


Еще одно соотношение возникает, если сравнить


Теория столкновений


с выражением для мнимой частицы амплитуды рассеяния на угол

нуль:


Теория столкновений


Отсюда получаем оптическую теорему:


Теория столкновений


Ее смысл тот же, что и в оптике: ослабление падающего потока происходит за счет интерференции падающей волны и волны, рассеянной под очень малыми углами.


3.3 Упругое рассеяние медленных частиц


При ka << 1 прицельные параметры Теория столкновений для Теория столкновений, поэтому лишь s-волна может давать заметное рассеяние. Таким образом,


Теория столкновений


дифференциальное сечение изотропно


Теория столкновений


а полное сечение определяется фазой s-волны


Теория столкновений


3.4 Дифракционное рассеяние быстрых частиц на черном шаре


Пусть идеально поглощающий (черный) шар имеет радиус a. Рассмотрим рассеяние быстрых (ka >> 1) частиц на таком шаре (пример: нейтроны с энергией E ∼ 100 МэВ рассеиваются на тяжелом ядре радиуса Теория столкновенийсм, при этом ka ∼ 10). Эта задача вполне аналогична дифракции плоской световой волны на черном шаре. Прицельный параметр Теория столкновенийсоответствует Теория столкновений.

При Теория столкновенийчастицы не сталкиваются с шаром, Теория столкновений .

При Теория столкновений частицы полностью поглощаются, Теория столкновений. Строго говоря, эти утверждения справедливы лишь для Теория столкновений, но область Теория столкновений не дает большого вклада в сечение. Таким образом,


Теория столкновений

Теория столкновений


то есть полное сечение вдвое больше классического Теория столкновений

Амплитуда упругого рассеяния велика лишь в области малых углов


Теория столкновений

Теория столкновений


Поэтому


Теория столкновений


3.5 Упругое рассеяние быстрых частиц на идеально отражающем шаре


Пусть радиус шара a и ka >> 1. Полное сечение определяет число частиц, выбывших из начального пучка. В классике это сечение Теория столкновений связано лишь с прямым столкновением с мишенью. С учетом волновых свойств частиц их выбывание из пучка, то есть изменение начального импульса, связано также с дифракцией.

Как и в предыдущем случае Теория столкновений

При Теория столкновений решение УШ для радиальной волновой функции имеет вид Теория столкновений при r < a и


Теория столкновений

Теория столкновений


Сшивка при r = a дает Теория столкновений. Для нахождения полного сечения используем оптическую теорему


Теория столкновений


Слагаемые, содержащие Теория столкновений, быстро осциллируют при изменении Теория столкновений, и поэтому их вкладом в сумму можно пренебречь. В итоге получаем Теория столкновений, что вдвое превышает классическое сечение Теория столкновенийВ данном случае отличие от классического результата связано с наличием помимо квазиклассического рассеяния, обусловленного углами θ >> 1/ka, дифракционного рассеяния на малые углы Теория столкновений

Чтобы увидеть это, представим амплитуду рассеяния


Теория столкновений


в виде двух слагаемых Теория столкновенийсовпадает с амплитудой рассеяния в предыдущем случае, а


Теория столкновений


Доказательство того факта, что Теория столкновений (в полном соответствии с классическим изотропным рассеянием Теория столкновений Теория столкновений) можно найти в задаче Теория столкновений

Таким образом, вклады Теория столкновений

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: