Квантовая теория атома

Квантовая теория атома

Исторически первая (классическая) модель строения атома была предложена в 1903 г. Томсоном. Согласно модели Томсона атом представляет собой шар, заряженный положительным электрическим зарядом непрерывно и равномерно, внутри которого около своих положений равновесия совершают колебания электроны. Суммарный отрицательный заряд всех электронов равен положительному заряду шара, и в целом атом электронейтрален. Приблизительные размеры такого положительно заряженного шара, определенные по классической электростатике, согласовывались с реальными размерами атомов (R ≈ 10^-8 cм).

Действительно, если напряженность электрического поля внутри шара , где е – положительный заряд шара, то «квазиупругая» сила, действующая на электрон . Тогда электрон будет совершать колебания с частотой , и радиус положительно заряженного шара можно оценить как . Для наблюдаемых частот спектра излучения атомов (λ ≈ 0,6 мкм и ω ≈ 3·10¹⁵ рад/с) получаем величину R ≈ 3·10^-8 cм.

Однако эта модель была опровергнута экспериментами Э.Резерфорда (1911 г.) по рассеянию α – частиц при прохождении их через тонкие металлические фольги (α–частицы – это положительно заряженные (q_α = +2q_e ) частицы с массой m_α ≈ 4m_H, образующиеся, в частности, при радиоактивном распаде тяжелых элементов). Опыты показали, что наряду с большинством α – частиц, отклоняющихся незначительно от своего первоначального направления, наблюдалось некоторое число α – частиц, которые при прохождении через тонкую фольгу резко отклонялись на большие (φ ≈ 135^О – 150^О) углы.

Это соответствовало упругому отражению α – частиц от положительно заряженного и массивного твердого тела, расположенного на пути следования частиц. Заметного отклонения из-за взаимодействия α – частиц с электронами не могло быть, так как масса α – частиц значительно (на четыре порядка величины) больше массы электронов. Следовательно, отклонение α – частиц обусловлено воздействием на них атомных ядер. Э.Резерфорд теоретически рассмотрел задачу о рассеянии α – частиц в кулоновском поле, создаваемом положительным зарядом, сосредоточенным в ядре атома. Потенциальная энергия взаимодействия α – частиц с таким ядром , где  – число положительных зарядов ядра. Число частиц, рассеянных в единицу времени в единичный телесный угол dΩ (dΩ = sinΘ dΘ dφ ) определялось по формуле:         ,

где n – плотность потока α – частиц (число частиц в единицу времени на единицу площади); φ – угол рассеяния α–частиц,  – их энергия. Из формулы следовало, что для данного материала фольги, плотности потока и определенной энергии α–частиц  величина , что и подтвердилось проведенными опытами.

Кроме того, формула Резерфорда позволила определить число  положительных зарядов в ядре атомов материала рассеивающей фольги: оказалось, что  равно Z – порядковому номеру элемента в периодической таблице Менделеева. При этом из нейтральности атома непосредственно следовало, что число электронов в атоме также равно Z .

На основании результатов экспериментов по рассеянию α–частиц тонкими металлическими фольгами Резерфорд предложил ядерную (или планетарную) модель атома: в ядре атома размером ~ 10^-14÷10^-15 м, т.е. в области размером много меньше размера атома (~ 10^-10 м), сосредоточен весь положительный заряд Zq_e и практически вся масса атома. Вокруг ядра в области ~ 10^-10 м по замкнутым орбитам вращаются Z электронов. Суммарный положительный заряд, таким образом, равен суммарному отрицательному заряду, и в целом атом электронейтрален. Ядерная модель Резерфорда по своей структуре напоминает Солнечную систему: в центре системы массивное ядро – «солнце», вокруг него по орбитам вращаются планеты – электроны. Отсюда и второе название данной модели – «планетарная».

Резерфорд пришел к модели с вращающимися вокруг ядра электронами вследствие того, что статическая модель атома не может существовать. Согласно теореме Ирншоу классической электростатики, система неподвижных электрических зарядов, расположенных на конечном расстоянии друг от друга не могут находиться в состоянии устойчивого равновесия только лишь под действием кулоновских сил. Однако модель с вращающимися вокруг ядра электронами приводит к необходимости постоянного излучения электронами атома электромагнитных волн. Рассмотрим, например, движение электрона вокруг протона. По второму закону Ньютона          , и поскольку движение электрона – равноускоренное, происходит излучение и постоянная потеря энергии. Следовательно, электрон не может удержаться на круговой орбите и по спирали приближается к ядру. При этом энергия уменьшается постепенно, частота излучения меняется по непрерывному закону, и электромагнитное излучение атомов должно иметь сплошной спектр. В действительности же излучение атомов представляет собой набор отдельных линий, т.е. спектр излучения атомов – линейчатый.

Таким образом, можно сформулировать следующие противоречия между классической моделью строения атома Резерфорда и реально наблюдаемыми явлениями:

Итак, модель Резерфорда не могла объяснить, многочисленные экспериментальные результаты по изучению спектров излучения газов. Было известно, что спектры излучения газов представляют собой отдельные линии или группы (серии) близко­расположенных линий, причем каждому газу соответствует свой линейчатый спектр. И.Бальмер (1885 г.) исследовал спектр излучения водорода и установил, что спектр может быть описан следующей формулой (в дальнейшем называемой формулой Бальмера):

,

где R = ·c = 3,29·10¹⁵ c^-1 – постоянная Ридберга; m, n – целые числа.

При этом n = m+1, m+2, m +3 …, число m определяет серию, а n – отдельные линии в спектре.

При исследовании спектров излучения различных газов были получены следующие эмпирические формулы, подтверждавшие с высокой степенью точности экспериментальные данные, но не имевшие теоретического обоснования:

Вид формул, симметричность и повторяемость целых чисел (m, n), универсальность постоянной Ридберга привело к предположению об особой физической роли чисел m и n – квантовых чисел, определяющих параметры состояния атомов.

Первая неклассическая теория атома была предложена в 1913 г. Н.Бором. При этом Бор не отказался от описания поведения электронов в атоме законами классической физики. Но для того, чтобы совместить линейчатость спектров излучения атомов и ядерную модель Резерфорда, Бор в виде постулатов ввел некоторые предположения, которые, строго говоря, противоречили классической физике, и, тем не менее, приводили к абсолютно правильным результатам.

I постулат Бора (постулат стационарных состояний):

Существуют стационарные состояния атома, характеризующиеся определенными дискретными значениями энергии, в которых атом не излучает энергию.

Этим стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым вращаются электроны. При движении по стационарным орбитам электроны, несмотря на наличие у них ускорения, не излучают электромагнитных волн.

Правило квантования орбит Бора: в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой стационарной орбите, может иметь только дискретные (квантованные) значения момента импульса, удовлетворяющие условию            L_en = p_e·r_n = m_e·v_n·r_n = n ћ,

где n = 1, 2 …, ћ= h/2π, v_n – скорость электрона на стационарной орбите радиусом r_n.

Это условие может быть сформулировано в виде условия квантования длины стационарной орбиты электрона: так как , , т.е. на длине стационарной орбиты электрона должно укладываться целое число длин волн де Бройля.

Понятие орбиты электрона. С точки зрения квантовой механики орбита электрона – это геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может находиться электрон.

II постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один фотон с энергией    hν = Е_n–Е_m,

где Е_n, Е_m – энергии соответствующих стационарных состояний.

Излучение (испускание фотона) происходит при переходе атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией: Е_n > Е_m . Электрон при этом переходит с более удаленной от ядра орбиты на более близкую.

Поглощение фотона сопровождается переходом атома в состояние с большей энергией: Е_n< Е_m, электрон переходит на более удаленную от ядра орбиту.

Набор возможных дискретных частот  квантовых переходов и определяет линейчатость спектров излучения атомов. Становится ясен физический смысл целых чисел в формулах Бальмера: , следовательно, энергия атома в n – ном стационарном состоянии , где n = 1, 2, 3 … Таким образом, целые числа n и m из «сериальных» формул – это квантовые числа, определяющие дискретные квантованные значения энергии атомов.

Водородоподобные системы по Бору.

Водородоподобные системы состоят из ядра с зарядом Z·q_e и одного электрона, вращающегося вокруг ядра. Например: атом водорода (при Z = 1); ионизованные атомы He⁺, Li⁺⁺ или другие атомы, из которых удалены все электроны, кроме одного.

Для водородоподобных систем из II -го закона Ньютона движения электрона по круговой орбите  и правила квантования орбит (m_e·v_n·r_n = nћ, т.е. ) можно определить радиус n – ой орбиты электрона: .

Для водорода (т.е. Z = 1) для основного состояния (т.е. n = 1) радиус первой орбиты электрона называется Боровским радиусом и обозначается а₀:

.

Вообще, энергетическое состояние с n = 1 называется основным или нормальным (невозбужденным), а все состояния атомов с n > 1 – возбужденными.

Полная энергия электрона в водородоподобной системе равна сумме кинетической энергии электрона и его потенциальной энергии в поле ядра: .

Так как  (из *), то  или подставляя , получаем выражение для энергии электрона в n – ном стационарном состоянии:

,                     где n = 1, 2, 3 …

Для атома водорода (Z = 1): , и для основного невозбужденного состояния (n = 1) .

Из сравнения данного выражения для Е_n и Е_n из формулы Бальмера можно получить постоянную Ридберга:   и тогда .

Физический смысл знака «–» в формуле для энергии электрона (энергия отрицательна) заключается в том, что электрон в атоме под действием силы притяжения к ядру находится в связанном состоянии. |Е_n| называется энергией связи (энергией отрыва) электрона в n – ом состоянии; а состояние с n = ∞ соответствует свободному состоянию электрона, т.е. Е_∞ = 0.

Экспериментальным подтверждением постулатов Бора явились опыты Франка – Герца (1913 г.) по изучению столкновений электронов с атомами газов (в частности, паров ртути) методом задерживающего потенциала.

Вылетающие с термокатода К и ускоренные сетками С₁ и С₂ электроны испытывали столкновения с атомами паров ртути (давление в запаянной трубке составляло ~ 1 мм рт. ст.). Это были как упругие соударения, при которых изменялось только направление движения электронов, а энергия оставалась неизменной, так и неупругие соударения, при которых часть энергии электронов передавалась атомам ртути. При этом согласно I–ому постулату Бора, атом ртути может принять не любое количество энергии, а только определенную энергию для перехода из одного стационарного состояния в другое. Ближайшее к основному невозбужденному состояние отстоит от него на 4,86 эВ. Действительно, при Е_е< 4,86 эВ наблюдались только упругие соударения, при которых электроны не теряли свою энергию,