Электрон в слое
Министерство Образования, Молодежи и Спорта
Республики Молдова
Государственный университет Молдовы
Физический
факультет
Кафедра
теоретической
физики
Курсовая Работа
Тема: Электрон в слое.
Руководитель работы:
Климин С.Н.
Работу выполнил
студент 3-го курса:
Радченко Андрей
Кишинёв 1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.
Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.
Она состоит в следующем :
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
м -2/(2m)Ч¶2/¶x2 + U0 , x < -a
Щ п
H = н -2/(2m0)Ч¶2/¶x2 , -a < x < a
п
о -2/(2m)Ч¶2/¶x2 + U0 , x > a
Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;
m0 - эффективная масса электрона в области II.
Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :
м ¶2YI/¶x2 + 2m/2Ч(E - U0)YI = 0 , x Ј -a
п
н ¶2YII/¶x2 + 2m0/2ЧEЧYI = 0 , -a Ј x Ј a
п
о ¶2YIII/¶x2 + 2m/2Ч(E - U0)ЧYI = 0 , x і a
Область I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :
YI(x) = AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx).
Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,
YI(x) = AЧexp(nЧx).
Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :
YII(x) = CЧexp(iЧkЧx) + DЧexp(-iЧkЧx).
Функция состояния для третьей области выглядит так :
YIII(x) = FЧexp(-nЧx).
Где
k = (2m0ЧE/2)1/2
n = (2mЧ(U0-E)/2)1/2.
Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :
Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.
Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :
YI(x=-a) = YII(x=-a)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YIў(x=-a)/m = YIIў(x=-a)/m0
YIIў(x=a)/m0 = YIIIў(x=a)/m
А в наших определениях этих функций это выглядит так :
AЧexp(-nЧa) = CЧexp(-iЧkЧa) + DЧexp(iЧkЧa)
m-1ЧAЧ nЧexp(-nЧa) = iЧkЧ/m0Ч(CЧexp(-iЧkЧa) - DЧexp(iЧkЧa))
CЧexp(iЧkЧa) + DЧexp(-iЧkЧa) = FЧexp(-nЧa)
iЧkЧ/m0Ч(CЧexp(iЧkЧa) - DЧexp(-iЧkЧa)) = - n/mЧFЧexp(-nЧa).
Теперь составим определитель :
|exp(-nЧa) -exp(-iЧkЧa) -exp(iЧkЧa) 0 |
|m-1ЧnЧexp(-nЧa) -1/m0ЧiЧkЧexp(-iЧkЧa) 1/m0ЧiЧkЧexp(iЧkЧa) 0 |
|0 exp(iЧkЧa) exp(-iЧkЧa) -exp(-nЧa) |
|0 1/m0ЧiЧkЧexp(iЧkЧa) -1/m0ЧiЧkЧexp(-iЧkЧa) 1/mЧnЧexp(-nЧa)|
Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:
((n/m)2 - (k/m0)2)ЧSin(2ЧkЧa) + 2ЧkЧn/(mЧm0)ЧCos(2ЧkЧa) = 0.
Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C = FЧexp(-nЧa)Ч{exp(iЧkЧa) + exp(-3ЧiЧkЧa) Ч( iЧk/m0 - n/m)/(n/m + iЧk/m0)}
D = CЧexp(-2ЧiЧkЧa)Ч( iЧk/m0 - n/m)/(n/m + iЧk/m0)
A = exp(nЧa)Ч(CЧexp(-iЧkЧa) + DЧexp(iЧkЧa)) .
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :
A = RAЧF
C = RCЧF
D = RDЧF.
RA, RC, RD - известные постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.
Действительно :
YI(x) = FЧRAЧexp(nЧx)
YII(x) = FЧ( RCЧexp(iЧkЧx) + RDЧexp(-iЧkЧx)).
YIII(x) = FЧexp(-nЧx).
I1 + I2 + I3 = 1
Где
I1 = |F|2Ч|RA|2ЧтQexp(2ЧnЧx)Чdx = |F|2Ч|RA|2Ч(2Чn)-1Чexp(2ЧnЧx) =
= |F|2Ч|RA|2Ч(2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa)
I2 = |F|2Ч{ тL|RC|2Чdx + тL|RD|2Чdx + RCЧRD*ЧтLexp(2ЧiЧkЧx)Чdx +
+ RC*ЧRDЧтLexp(-2ЧiЧkЧx)Чdx } = |F|2Ч{ 2ЧaЧ(|RC|2 + |RD|2) +
((exp(2ЧiЧkЧa) - exp(-2ЧiЧkЧa))ЧRCЧRD*/(2ЧiЧk) +
+ iЧ((exp(-2ЧiЧkЧa) - exp(2ЧiЧkЧa))ЧRC*ЧRD/(2Чk) }
I3 = |F|2ЧтWexp(-2ЧnЧx)Чdx = |F|2Ч(2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa)
|F|2 = { |RA|2Ч(2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa) + 2ЧaЧ(|RC|2 + |RD|2) +
((exp(2ЧiЧkЧa) - exp(-2ЧiЧkЧa))ЧRCЧRD*/(2ЧiЧk) +
+ iЧ((exp(-2ЧiЧkЧa) - exp(2ЧiЧkЧa))ЧRC*ЧRD/(2Чk) + (2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa) }-1.
Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.
Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.
То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:
U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.
Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:
¶2Y/¶x2 + 2m/2Ч(E - U0)Y = 0
следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:
r = exp(i 2ak)
Тогда Y(x+2ma) = Y(x)Чrm , где m=0, ±1, ±2,... (2)
Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.
Рассмотрим область I:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
¶2YI/¶x2 + 2m2/2Ч(E - U0)YI = 0 , 0 > x > -a
его решение выглядит просто:
YI(x) = AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx).
Где n = (2m2 (U0-E) /2)1/2
Рассмотрим область II:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
¶2YII/¶x2 + 2m1/2ЧE YII = 0 , a і x і 0
его решение выглядит просто:
YII(x) = CЧexp(iЧpЧx) + DЧexp(-iЧpЧx).
Где p = (2m1E/2)1/2
Рассмотрим область III:
¶2YIII/¶x2 + 2m2/2Ч(E - U0)YIII = 0 , 2a > x > a
его решение выглядит просто:
YIII(x) = r (AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx)).
Запишем граничные условия:
YI(x=0) = YII(x=0)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YIў(x=0)/m = YIIў(x=0)/m0
YIIў(x=a)/m0 = YIIIў(x=a)/m
Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:
A+B=C+D
C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1
(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :
|1 1 -1 -1 |
|exp(iЧkЧ2a+nЧa) exp(iЧkЧ2a-nЧa) -exp(iЧpЧa) -exp(-iЧpЧa) |
|n/m2 -n/m2 -iЧp/m1 iЧp/m1 |
|n/m2exp(iЧkЧ2a+nЧa) -n/m2Чexp(iЧkЧ2a-nЧa) - iЧp/m1Чexp(iЧpЧa) iЧp/m1Чexp(-iЧpЧa) |
и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.
a=10; U=10; m1=4; m2=1
0.1135703312666857 |
0.6186359585387896 |
0.2019199605676639 |
0.3155348518478819 |
0.05047267055441365 |
1.263391478912778 |
0.4544326758658974 |
2.137353840637548 |
0.808172718170137 |
2.479933076698526 |
0.4544326758658974 |
6.168062551132728 |
5.611693924351967 |
1.820461802850339 |
1.529165865668653 |
1.023077302091622 |
a=10 U=10 m1=2 m2=1
0.1032788024178655 |
0.2324238959628721 |
0.41331603936642 |
0.6460490460448886 |
0.930750939555283 |
1.26759057783714 |
1.656787195799296 |
2.098624192369327 |
|
2.593469359607937 |
3.141805331837109 |
|
3.744277072860902 |
5.887485640841992 |
a=10 U=10 m1=1 m2=1
0.05408120469105441 |
0.2163802958297131 |
0.4870681554965061 |
0.86644533469418 |
1.354969224117534 |
1.953300729714778 |
2.662383817919513 |
4.418966218448088 |
7.961581805911094 |
a=10 U=10 m1=0.5 m2=1
0.118992095909544 |
4.249561710930034 |
1.068004282376146 |
0.4754473139332004 |
5.78216724725356 |
2.955345679469631 |
1.895012565781256 |
a=10 U=10 m1=.25 m2=1
0.2898665804439349 |
4.30026851446248 |
2.479039415645616 |
1.132264393019809 |