Xreferat.com » Рефераты по физике » Электрон в слое

Электрон в слое

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова


Государственный университет Молдовы


Физический

факультет

Кафедра

теоретической

физики

 


Курсовая Работа


Тема: Электрон в слое.


Руководитель работы:


Климин С.Н.

Работу выполнил

студент 3-го курса:

Радченко Андрей


 


Кишинёв 1997 г.

Микрочастица (электрон) в слое.


Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :


м -ž2/(2m)Ч¶2/x2 + U0 , x < -a

Щ п

H = н -ž2/(2m0)Ч¶2/x2 , -a < x < a

п

о -ž2/(2m)Ч¶2/x2 + U0 , x > a


Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m0 - эффективная масса электрона в области II.


Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :


м 2YI/x2 + 2m/ž2Ч(E - U0)YI = 0 , x Ј -a

п

н 2YII/x2 + 2m02ЧEЧYI = 0 , -a Ј x Ј a

п

о 2YIII/x2 + 2m/ž2Ч(E - U0)ЧYI = 0 , x і a


 


Область I :


Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :


YI(x) = AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx).


Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,


YI(x) = AЧexp(nЧx).


Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :


YII(x) = CЧexp(iЧkЧx) + DЧexp(-iЧkЧx).


Функция состояния для третьей области выглядит так :


YIII(x) = FЧexp(-nЧx).

Где

k = (2m0ЧE/ž2)1/2

n = (2mЧ(U0-E)/ž2)1/2.


Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

  •     Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

  •     В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

  •     Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.


Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

YI(x=-a) = YII(x=-a)

YII(x=a) = YIII(x=a)

YIў(x=-a)/m = YIIў(x=-a)/m0

YIIў(x=a)/m0 = YIIIў(x=a)/m


А в наших определениях этих функций это выглядит так :


AЧexp(-nЧa) = CЧexp(-iЧkЧa) + DЧexp(iЧkЧa)

m-1ЧAЧ nЧexp(-nЧa) = iЧkЧ/m0Ч(CЧexp(-iЧkЧa) - DЧexp(iЧkЧa))

CЧexp(iЧkЧa) + DЧexp(-iЧkЧa) = FЧexp(-nЧa)

iЧkЧ/m0Ч(CЧexp(iЧkЧa) - DЧexp(-iЧkЧa)) = - n/mЧFЧexp(-nЧa).


Теперь составим определитель :


|exp(-nЧa) -exp(-iЧkЧa) -exp(iЧkЧa) 0 |

|m-1ЧnЧexp(-nЧa) -1/m0ЧiЧkЧexp(-iЧkЧa) 1/m0ЧiЧkЧexp(iЧkЧa) 0 |

|0 exp(iЧkЧa) exp(-iЧkЧa) -exp(-nЧa) |

|0 1/m0ЧiЧkЧexp(iЧkЧa) -1/m0ЧiЧkЧexp(-iЧkЧa) 1/mЧnЧexp(-nЧa)|


Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:


((n/m)2 - (k/m0)2)ЧSin(2ЧkЧa) + 2ЧkЧn/(mЧm0)ЧCos(2ЧkЧa) = 0.


Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.


C = FЧexp(-nЧa)Ч{exp(iЧkЧa) + exp(-3ЧiЧkЧa) Ч( iЧk/m0 - n/m)/(n/m + iЧk/m0)}

D = CЧexp(-2ЧiЧkЧa)Ч( iЧk/m0 - n/m)/(n/m + iЧk/m0)

A = exp(nЧa)Ч(CЧexp(-iЧkЧa) + DЧexp(iЧkЧa)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :


A = RAЧF

C = RCЧF

D = RDЧF.

RA, RC, RD - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :


YI(x) = FЧRAЧexp(nЧx)

YII(x) = FЧ( RCЧexp(iЧkЧx) + RDЧexp(-iЧkЧx)).

YIII(x) = FЧexp(-nЧx).

I1 + I2 + I3 = 1

Где

I1 = |F|2Ч|RA|2ЧтQexp(2ЧnЧx)Чdx = |F|2Ч|RA|2Ч(2Чn)-1Чexp(2ЧnЧx) =

= |F|2Ч|RA|2Ч(2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa)

I2 = |F|2Ч{ тL|RC|2Чdx + тL|RD|2Чdx + RCЧRD*ЧтLexp(2ЧiЧkЧx)Чdx +

+ RC*ЧRDЧтLexp(-2ЧiЧkЧx)Чdx } = |F|2Ч{ 2ЧaЧ(|RC|2 + |RD|2) +

((exp(2ЧiЧkЧa) - exp(-2ЧiЧkЧa))ЧRCЧRD*/(2ЧiЧk) +

+ iЧ((exp(-2ЧiЧkЧa) - exp(2ЧiЧkЧa))ЧRC*ЧRD/(2Чk) }

I3 = |F|2ЧтWexp(-2ЧnЧx)Чdx = |F|2Ч(2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa)

|F|2 = { |RA|2Ч(2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa) + 2ЧaЧ(|RC|2 + |RD|2) +

((exp(2ЧiЧkЧa) - exp(-2ЧiЧkЧa))ЧRCЧRD*/(2ЧiЧk) +

+ iЧ((exp(-2ЧiЧkЧa) - exp(2ЧiЧkЧa))ЧRC*ЧRD/(2Чk) + (2Чn)-1Чexp(-2ЧnЧa) }-1.

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.


Электрон в слоях


Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.



То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:


U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:


2Y/x2 + 2m/ž2Ч(E - U0)Y = 0


следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:


r = exp(i 2ak)


Тогда Y(x+2ma) = Y(x)Чrm , где m=0, ±1, ±2,... (2)


Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.


Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:


2YI/x2 + 2m22Ч(E - U0)YI = 0 , 0 > x > -a


его решение выглядит просто:


YI(x) = AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx).


Где n = (2m2 (U0-E) /ž2)1/2

 

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:


2YII/x2 + 2m12ЧE YII = 0 , a і x і 0


его решение выглядит просто:


YII(x) = CЧexp(iЧpЧx) + DЧexp(-iЧpЧx).


Где p = (2m1E/ž2)1/2


Рассмотрим область III:


2YIII/x2 + 2m22Ч(E - U0)YIII = 0 , 2a > x > a


его решение выглядит просто:


YIII(x) = r (AЧexp(nЧx) + BЧexp(-nЧx)).

Запишем граничные условия:


YI(x=0) = YII(x=0)

YII(x=a) = YIII(x=a)

YIў(x=0)/m = YIIў(x=0)/m0

YIIў(x=a)/m0 = YIIIў(x=a)/m


Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:


A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :


|1 1 -1 -1 |

|exp(iЧkЧ2a+nЧa) exp(iЧkЧ2a-nЧa) -exp(iЧpЧa) -exp(-iЧpЧa) |

|n/m2 -n/m2 -iЧp/m1 iЧp/m1 |

|n/m2exp(iЧkЧ2a+nЧa) -n/m2Чexp(iЧkЧ2a-nЧa) - iЧp/m1Чexp(iЧpЧa) iЧp/m1Чexp(-iЧpЧa) |


и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.


Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.


a=10; U=10; m1=4; m2=1


0.1135703312666857

0.6186359585387896

0.2019199605676639

0.3155348518478819

0.05047267055441365

1.263391478912778

0.4544326758658974

2.137353840637548

0.808172718170137

2.479933076698526

0.4544326758658974

6.168062551132728

5.611693924351967

1.820461802850339

1.529165865668653

1.023077302091622




a=10 U=10 m1=2 m2=1


0.1032788024178655

0.2324238959628721

0.41331603936642

0.6460490460448886

0.930750939555283

1.26759057783714

1.656787195799296

2.098624192369327


2.593469359607937

3.141805331837109


3.744277072860902

5.887485640841992


a=10 U=10 m1=1 m2=1


0.05408120469105441

0.2163802958297131

0.4870681554965061

0.86644533469418

1.354969224117534

1.953300729714778

2.662383817919513

4.418966218448088

7.961581805911094


a=10 U=10 m1=0.5 m2=1


0.118992095909544

4.249561710930034

1.068004282376146

0.4754473139332004

5.78216724725356

2.955345679469631

1.895012565781256




a=10 U=10 m1=.25 m2=1


0.2898665804439349

4.30026851446248

2.479039415645616

1.132264393019809

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: