Расчёты на устойчивость

Московский государственный технический

Университет им. Н.Э. Баумана

Калужский филиал

РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Равновесное состояние упругой системы называется устойчивым, если оно мало изменяется при малых возмущениях. Если остановится на случае прямолинейных, достаточно гибких и центрально загруженных стержней, то явление потери устойчивости состоит в следующем. При силах, не превышающих некоторой величины, называемой критической силой, прямолинейное равновесное состояние является единственным и устойчивым. Однако, если сила больше критической, то прямолинейное равновесное становится неустойчивым и стержень переходит в криволинейное равновесное состояние – изгибается. Происходит бифуркация (раздвоение) равновесных форм. Величина критической силы для стержня, теряющего устойчивость в упругой стадии, определяется по формуле Эйлера:

p2EIx

Fcr = ѕѕѕѕ , (1)

(ml)2

где:

Е – модуль упругости;

Ix – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня;

m - коэффициент приведения длины, зависящий от закрепления стержня;

l – длина стержня.

Формула Эйлера может использоваться в том случае, если потеря устойчивости происходит в упругой стадии, т.е. если критическое напряжение не превосходит предела пропорциональности:

s cr= Fcr /A = p2E / l2 Ј spr , (2)

____

где: l = ml / ix – гибкость стержня; ix = Ц Ix / A - радиус инерции поперечного сечения; А – площадь поперечного сечения.

В 1899 г. русским инженером Ф.С.Ясинским был предложен способ расчёта сжатых стержней на устойчивость, состоящий в том, что расчёт на устойчивость заменяется расчётом на обыкновенное сжатие, но допускаемые напряжения при этом полагаются переменными, зависящими от гибкости:

scradm = jsadm ; j = scr / syc , (3)

здесь j = j (l) - коэффициент снижения допускаемого напряжения; sadm – допускаемое напряжение на сжатие.

За пределами применимости формулы Эйлера, т.е. для малых значений гибкости, величины коэффициента рассчитываются с учётом возникновения упруго- пластических деформаций. Разумеется, что j зависит не только от гибкости, но и от свойств материала. Для наиболее употребительных материалов составлены таблицы. Приведём такую таблицу для Ст.3, материала наиболее часто используемого для сжатых элементов конструкций.

Табл. 1

l j l j

0 1.00 110 0.52

10 0.99 120 0.45

20 0.96 130 0.40

30 0.94 140 0.36

40 0.92 150 0.32

50 0.89 160 0.29

60 0.86 170 0.26

70 0.81 180 0.23

80 0.75 190 0.21

90 0.69 200 0.19

100 0.60 --- ---

Для промежуточных значений l соответствующие им значения m определяются путём линейной интерполяции.

Для стержней, имеющих гибкость больше 200 (редко встречающийся в практике случай), коэффициент снижения допускаемых напряжений может быть определён по формуле (3) с учётом (2).

Возможны два типа задач.

1)Задано поперечное сечение сжатого стержня - требуется найти усилие, которое может быть допущено, исходя из условия устойчивости: Nadm= = jsadmA.

Пример 1. Определить нагрузку, которую можно допустить на ферму, исходя из устойчивости поясов АВ и СD (Рис.1). Поперечное сечение поясов выполнено из двух уголков 63ґ5; материал Ст.3, sadm= 160 МПа.

F 10

B