Магнитные свойства атомов

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана.

Калужский филиал.

РЕФЕРАТ

“Магнитные свойства атомов ”

Магнитные свойства атомов

Все вещества (твердые, жидкие, газ, плазма) взаимодействуют с внешним электромагнитным полем. Это значит, изолированные атомы обладают магнитными свойствами. Этот раздел и посвящен изучению магнитных свойств.

§1.Орбитальный магнитный момент электрона

Наличие у атома этих свойств следует из представлений теории Бора.

Электрон, вращающийся по орбите ядра атома, эквивалентен контуру с током. Такой контур с током должен обладать магнитным моментом и, следовательно, должен вести себя в магнитном поле как подобно магнитному диполю. Определим орбитальный момент электрона: магнитный момент контура с током I равен

μ = I·S / C. (1)

I = e· V = e / T (2)

где С = 3 · 10⁸ см/с, I – сила тока (в электростатических единицах), S – площадь контура. S = π · r².

μ_l = l / (C) · νπr² = l / (2mC) · mr²ω, (3)

где ω = 2·π·ν, μ_l – орбитальный магнитный момент электрона. Орбитальный момент количества движения

|_l| = m · ν · = m · r² · ω (4)

где V = ω · r. Электрон, движущийся по орбите, эквивалентен контакту с током, сила которого I = eν = e / T (1). Подставляем (4) в (3), получаем

_l = e / (2mC) · _l (5).

Теперь в чисто классические рассуждения внесем квантовую поправку, учтем, что согласно квантовой механике орбитальный момент количества движения электрона _l равен:

|_l| = h / 2 π = (6).

Тогда

_l = e · h / 4π (7),

где l = 0, 1, 2, 3,…, n-1. Обозначим eh / (4πmC) = μ₀ и l(l+1) = l^*, получим

_l = μ₀ · l^* (8),

где μ₀ – магнетон Бора, служит единицей измерения атомных и молекулярных магнитных моментов и численно равен

μ₀ = eh / (4πC) = 9,23 · 10^-21 (9).

Так как заряд электрона отрицателен, то орбитальный магнитный момент электрона направлен в сторону, противоположную направлению вектора его орбитального момента количества движения _l.

Если атом находится во внешнем магнитном поле, то т.к. электрон обладает орбитальным магнитным моментом, векторы магнитного момента _l и момента количества движения _l займут по отношению к магнитному полю H определенное положение в пространстве.

Согласно квантовой механике проекции вектора _l на какое-либо заданное направление, в том числе и направление магнитного поля, могут быть только равными

P_lH = P_l cos (_l ) = h / (2π) · l ^* · Cos (_l ) = h / (2π) · m_l (10),

где m_l = ,…, , т.е. принимает 2l + 1 значений. Согласно (10) возможно углы между _l и определяют равенством

Cosα = Cos (_l ) = m_l / l = m_l / l(l+1) (11).

Возможные ориентации вектора _l (P_l = р / (2π) ·) в магнитном поле.

При данном орбитальном квантовом числе 1 магнитное орбитальное квантовое число m_l может принять любое из 2l + 1 значений и, следовательно, для данного _l может существовать 21+1 проекций вектор _l на направление магнитного поля. Для случая 1=2 показано на рисунке 1.

Возможные проекции орбитального момента μ_l H на направлении поля : μ_lH = μ_l Cos (_l ) = μ₀ l ^* (m_l / l ^* ) = μ₀ m_l = eh / (4πmC) m_l (12)

кратны магнетону Бора.

Важной характеристикой магнитного поля микросистем является так называемое “гидромагнитное” (магнитномеханическое) отношение, величины магнитного момента к величине соответствующего механического момента микросистемы. Согласно (6) и (7) для орбитальных магнитного и механического моментов гидромагнитное отношение

γ_l = μ_l / P_l = e / 2mC (13)

В магнитном поле, ввиду наличия орбитального магнитного момента, атом ведет себя как диполь и обладает дополнительной энергией ΔΕ магнитного взаимодействия. Эта потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента μ_l с внешним магнитным полем равна

ΔΕ = (_l ) = μ_l Н Cos(_l ) = μ₀ l ^* H (m_l) / l ^* = μ₀ H m_l (14).

Приведенные рассуждения не совсем последовательны. Они полуклассические: в одних случаях привлекались понятия классической физики, в других – квантовой механики. Это делалось, исходя из соображений наглядности и простоты расчетов. Тот же самый результат можно получить на основе строгих квантово – механических рассуждений. При квантово – механических расчетах необходимо учесть, что при своем движении электрон “размазан” в пространстве около ядра, т.е. необходимо учесть пространственное распределение заряда. Поэтому нужно вычислить не линейный, а объемный ток. При этом вычисления показывают, что ни вдоль радиуса, ни вдоль меридианов, никакого тока нет. Они приводят к выводу, что ток течет только по широтам, как если бы мы имели дело с электроном, вращающимся в плоскости перпендикулярной оси вращения. Таким образом, квантово – механические вычисления также приводят к заключению о круговом линейном токе.

Это обстоятельство объясняет совпадения полуклассических рассуждений с квантово – механическими расчетами.

§2. Собственный магнитный момент электрона

Электрон помимо массы покоя m₀ заряда 1 обладает собственным моментом качества движения - _s и собственным магнитным моментом _s.

Электрон обладает орбитальным моментом качества движения _l спином и орбитальным магнитным моментом _l.

Величины механических моментов и их проекций определяются соотношениями:

• орбитальный момент количества движения электрона |_l| =,

где 1 = 0, 1, 2, 3,…, n-1;

• проекция орбитального момента на навление поля P_lH =m_l,

где m_l = , т.е. m_l принимает 2l+1 значений;

• спин – собственный момент количества движения электрона , где S = 1/2;

• проекция спина на направление поля P_SH =m_s, где m_s = ±1/2, т.е. m_s принимает 2S+1 значений.

Орбитальный магнитный момент электрона равен μ_l = μ₀ l ^*, где l ^* = .

На основании вышеприведенных соотношений для _l, _s, P_lH, P_lH и для μ₁ естественно предположить, что собственный магнитный момент электрона равен

μ_S = μ₀ S ^*.

Однако, вся совокупность экспериментальных факторов, с рядом из которых мы вскоре познакомимся, указывает на то, что собственный магнитный момент электрона вдвое больше этой величины, т.е. собственный магнитный момент электрона μ_S равен

μ_S = 2μ₀ S ^* (15), где S ^* = .

Т.к. заряд электрона отрицательный, то его собственный магнитный момент _s направлен в сторону, противоположную направлению спина _s.

Отношение собственного магнитного момента электрона к его спиновому механическому моменту _s (гиромагнитное отношение) равно

_s = _s / P_s = 2e / 2mC (16),

т.е. вдвое больше чем гиромагнитное отношение _l для орбитальных моментов электрона.

Во внешнем магнитном поле векторы собственного магнитного момента _s и спина _s электрона займут по отношению к полю вполне определенное положение, т.е. они могут относительно поля ориентироваться только вполне определенным образом. Проекция спина на какое-либо направление, в том числе и направлении внешнего магнитного поля , может только равняться либо (+ Ѕ · h / 2π) либо (- Ѕ · h / 2π), т.е. вектор _s, изображающий спин электрона, может иметь только два направления относительно поля (он либо параллелен, либо не параллелен полю). Отсюда следует, что проекция собственного магнитного момента электрона _s H на направление внешнего магнитного поля H равна

_SH = _s Cos (_s ) = 2 ₀ S^* (m^*/S^*) = 2 ₀ m_s (17),

где m_s = 1/2, Cos (_s ) = m_s / S.

Энергия взаимодействия собственного магнитного момента электрона с внешним полем равна

ΔΕ = (_s ) = _s H Cos (_s ) = 2 ₀ H m_s (18)

Из (14) и (18) следует, что энергия взаимодействия = μ_l и μ_S с внешним магнитным полем по порядку величины будет ΔΕ ~ μ₀ H.

Отсюда для H = 10⁴ э, ΔΕ ~ 5 · 10^-5 эв, т.е. энергия взаимодействия μ_l и μ_S с H⁴ ~ 10 э меньше энергии – взаимодействия для низко расположенных уровней.

ΔΕ_lS ~ 1/n³.

Существование механического (спина) и магнитного моментов у электрона и объяснение их свойств вытекает из релятивистской квантовой механики, из основного ее уравнения – уравнения Дирака. В частности, из релятивистской квантовой механики следуют соотношения (15), (16), (17), справедливость которых, как и существование спина, подтверждается экспериментами.

В экспериментах обычно подтверждается не сам магнитный момент микросистемы, а его проекция. Согласно (17), сколько m_s = 1/2, проекция собственного магнитного момента электрона по абсолютной величине равна одному магнетону Бора

_s H = 2 m₀ m_s = _0.

Часто под собственным магнитным моментом электрона подразумевают не его значение (15), а значение его проекции (17) и говорят, что электрон обладает магнитным моментом, равным по абсолютной величине одному магнетону Бора.

§3. Полный магнитный момент одноэлектронного атома

До сих пор мы рассматривали поведение орбитального _l и спинового _S магнитных моментов электрона во внешнем магнитном поле в предположении отсутствия взаимодействия между ними. Однако, в отсутствии внешнего магнитного поля между этими моментами существует взаимодействие, в результате которого имеют место взаимодействия между орбитальным _l и спиновым _s моментами количества движения электрона (l_s - взаимодействие). При этом векторы _l и _s прецессируют относительно вектора полного момента количества движения _J численно равного

|_J | = (h / 2π) , (19)

где внутренне квантовое число j принимает одно из значений j = l+s; l+s-1;… …(l-s).

|_l| = (h / 2π) =l^*,

|_s| = (h / 2π) =S^*,

|_J| = (h / 2π) =j^*.

Схема суммирование векторов _l и _s.

Причем проекция полного момента количества движения_J, на какое-либо направление равна _JZ = (h / 2π) mj, где m_j = j; j-1; ……, -j, т.е. m_J принимает 2j+1 значений. Т.к. у электрона помимо моментов _l и _s есть еше магнитные моменты: орбитальный _l и собственный _S, направленный противоположно соответствующим моментам количества движения, то рис.2 необходимо дополнить векторами _l и _S (см. рис. 3)_. При этом необходимо учесть, что отношение μ_S / P_S вдвое больше отношения μ₁ / P₁. Поэтому, если на рис. 3 вектор _l изобразить равным по длине вектору _l, то в том же масштабе длина вектора μ_S должна быть в два раза больше длины вектора _s, рис.3 выполнен с учетом этого обстоятельства. Из рис. видно, что вследствие того что, μ_S / P_S μ₁ / P₁ направление вектора результирующего магнитного момента ( = μ_S+μ₁ – полного магнитного момента атома) не совпадает с направлением вектора полного магнитного момента количества движения _J. Векторы _l и _s прецессируют вокруг направления того же вектора.

Схема суммирование векторов _l и _S.

Усредненное значение перпендикулярных составляющих обоих магнитных моментов за прецессии будет равно нулю, т.к. эти составляющие непрерывно меняют свое направление в пространстве.

Т.о., эффективный полный магнитный момент одноэлектродного атома будет равняться сумме параллельных составляющих векторов _l и _S, т.е. будет равен вектору _J. Следовательно, полный магнитный момент атома (в отсутствии внешнего магнитного поля) равен (см. рис. 3).

_J = μ₁ Cos (_{l J}) + μ_S Cos (_{S J}) (21)

|_l| = (h / 2π) l^*; |