Режим переконденсации с компактным распределением размеров капель
Курсовая работа:
Режим переконденсации с компактным распределением размеров капель.
Описание проблемы и постановка задачи.
Классические работы Дж.Гиббса, М.Фольмера, Ф.Беккера, В.Дёринга, Я.Френкеля, Я.Зельдовича по физике фазовых переходов I рода относятся к ранним стадиям зарождения новой фазы.
В данной же работе нас интересует процесс конденсации, переходящий из флуктуационного режима роста зародышей новой фазы в стадию переконденсации, именуемую также коалесценцией, или Оствальдовским созреванием [i], когда рост крупных капель происходит за счёт растворения более мелких (при условии, что все капли далеки друг от друга).
Режим переконденсации может проходить в одном случае под управлением поглощающей способности поверхности (теория Вагнера: [ii]), когда длина свободного пробега молекулы много больше радиуса капли , а в другом случае под управлением диффузии в паре (теория Лифшица-Слёзова: [iii, iv]), когда .
Причиной расхождения эксперимента с теорией Лифшица-Слёзова-Вагнера оказалось допущение неограниченного объёма кластеров новой фазы [v].
Поэтому все дальнейшие теоретические исследования Оствальдовского созревания предполагают компактное основание распределения капель по размерам [vi, vii, viii].
Поэтому задачей данной работы является описание уравнений и параметров режима переконденсации в условиях существования максимального размера капли.
Коалесценция имеет большое практическое значение, например, в образовании и стабильности поверхностей [ix, x, xi].
Оглавление
Описание проблемы и постановка задачи.
Оглавление
1). Переписывание уравнений в терминах максимальной капли.
2). Соотношения интегральных моментов функции распределения.
3). Нахождение автомодельной функции распределения.
4). Нормировка функции распределения.
5). Предельный случай – распределение Лифшица-Слёзова.
6). Графики.
7). Литература.
8) Ссылки
1). Переписывание уравнений в терминах максимальной капли.
Оригинальные уравнения теории переконденсации записываются в терминах отношения безразмерного радиуса капли к её критическому радиусу в зависимости от безразмерного времени: . Наша задача – переписать их в терминах отношения радиуса капли к максимальному радиусу: .
Уравнение роста радиуса капли в режиме коалесценции Лифшица-Слёзова:
52
Тогда уравнение непрерывности для функции распределения по размерам капель:
52
Подставляем сюда асимптотический анзац Лифшица-Слёзова в новых переменных и с явной зависимостью от времени:
52
Преобразуем дифференциальное уравнение (обозначая ):
Введём
52
52
Избавимся от , подставив в уравнение роста радиуса капли Error: Reference source not found:
52
С учётом этого, а также определения в Error: Reference source not found, докажем, что является корнем кубического полинома:
52
Тогда Error: Reference source not found окончательно запишется следующим уравнением на функцию распределения:
52
Зная один корень, найдём делением по схеме Горнера квадратичное выражение в
корень 1 |
|||||
-1 |
0 |
||||
остаток | |||||
-1 |
остаток = нулю
Таким образом:
Решим квадратное уравнение, полагая корни существующими:
Тем самым мы разложили на множители , где
52
Каждая скобка в таком виде разложения, как мы увидим далее, будет положительна. Заметим также, что (так что), что, впрочем, сразу следует из теоремы Виета для по отсутствию квадратичного члена.
Итак, уравнение Error: Reference source not found запишется следующим образом:
52
В этой работе мы рассмотрим автомодельную функцию , не зависящую явно от времени, при этом в полученном дифференциальном уравнении опускается член с частной производной по времени от функции распределения.
2). Соотношения интегральных моментов функции распределения.
Соотношения между интегральными моментами функции распределения можно найти, не зная её явного вида. Для этого проинтегрируем от 0 до 1 левую и правую части дифференциального уравнения Error: Reference source not found, опуская член с производной по времени и вводя моменты:
52
Интегрируем по частям левую часть:
52
Это выражение, в сущности, означает, что , а если вспомнить отношение Error: Reference source not found между максимальным и критическим радиусами капли, то получим равенство среднего и критического радиусов:
52
, когда функция распределения нормирована на единицу (см. пункт 4)
3). Нахождение автомодельной функции распределения.
По-прежнему полагая автомодельным и убирая в Error: Reference source not found член с производной по времени, можно явно решить дифференциальное уравнение интегрированием:
52
Для этого разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби и найдём коэффициенты:
При :
При :
Приравнивание коэффициентов при :
Приравнивание коэффициентов при (находим ):
52
Подставляя полученное выражение для , выразим только через и избавимся от иррациональности в знаменателе:
52
Таким образом, найдены все коэффициенты в разложении на простые дроби подынтегрального выражения в Error: Reference source not found, интегрируя их, получаем, помня об области определения переменных:
В значениях (третий корень ) из Error: Reference source not found окончательно запишем:
52
Где в силу физической ограниченности функции распределения на конце интервала, полагаем:
52
Оценим выражение для из Error: Reference source not found:
52
Дифференцированием Error: Reference source not found и грубой оценкой можно увидеть, что