Лекции по физике

где — пока неопределенные постоянные.

Определение констант . Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного событияв инерциальных системах отсчета и имеют вид

Для нахождения констант привлечем дополнительное требование.

Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета координаты 0,0 ( тоже нулевые координаты),

и наоборот.

Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид:

Теперь неопределенными остались только константы и .

Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант и . Имеем:

Таким образом, приходим к заключению, что константы и равны друг другу:

=

и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:

где — пока что неопределенная постоянная.

Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно и . Имеем уравнения

Следовательно,

и поэтому

Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:

которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета не в положительном, а в отрицательном направлении оси с некоторой положительной скоростью (положительной), определенной в системе отсчета K . Здесь — некоторое пока неизвестное нам число.

Сравнивая друг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим к заключению, что имеют место следующие четыре равенства:

из которых непосредственно заключаем, что

’ = 

и что величины  и ’ удовлетворяют соотношению

Таким образом, мы показали, что имеются следующие формулы преобразований координат x, tиx’, t‘ мгновенного точечного события в системах отсчета K и K’:

и

где величины ’ и связаны вышеуказанным соотношением.

Чтобы найти числа ’ ивыставим ещё одно требование. Обратим внимание, что пока мы до конца не условились о выборе основных единиц измерения длинны и времени в системах отсчета K и K ’. Разумеется, отчасти этот выбор уже был выше ограничен требованием, чтобы скорость света в обеих системах отсчёта давалась одним и тем же числом c, которое мы учли, т.е. мы уже согласовали отчасти единицы измерения скоростей в системах K и K’. Но единица скорости есть только отношение единиц длины и времени. Поэтому остаётся произвол в выборе единицы измерения либо длины, либо времени. Фиксируем теперь окончательно этот произвол с помощью следующего требования.

Требование 2. Длины l и l’ двух покоящихся в системах отсчёта K и K’ стержней одинаковой собственной длинны l0 (измеренной в этих системах отсчёта, в которых каждый из этих стержней покоится), измеренные, соответственно, в системах отсчёта K и K’ , относительно которых эти стержни движутся одинаковы.

Возьмём стержень длинны l0 , покоящийся в “движущейся” системе отсчёта K’. Пусть он лежит на оси x’ и его левый конец пусть имеет координату x’A , а правый - координату x’B

x’A - x’B = l0 .

Из мерим длину этого стержня в “покоящейся” системе отсчёта K. Пусть в одинаковые моменты времени tA и tB ( tA = tB ) левый и правый концы стержня, движущегося в системе отсчёта K, имели координаты xA и xB. (События A и B соответственно). Нам надо составить разность xA - xB = l , чтобы найти длину движущегося со скоростью  стержня, длина которого равна l0 в покоящейся системе координат.

Согласно уже выведенным формулам преобразований координат и времён мгновенных точечных событий, имеем соотношения:

x’B =  (x’B - tB),

x’A =  (x’A - tA).

Вычтем x’A из x’B и учтём условие tA = tB. Тогда получим

l0 = x’B x’A =  (xB - xA) = l.

Таким образом, имеем соотношение

l = l0 / .

Если теперь, наоборот, взять стержень длины l0 , расположенный в “неподвижной” системе отсчёта K , и измерить его длину l’ в “движущейся” системе отсчёта K’ , то для этой длины, рассуждая аналогично, получаем соотношение

l’ = l0 / ’.

Потребуем теперь, чтобы l’ = l. Тогда мы придём к равенству ’ = , а следовательно, с учётом выведенного соотношения

к равенствам

Знак минус перед корнем не подходит, так как не удовлетворяет очевидному требованию, что  = 1 при = 0 , когда мы имеем формулы тождественных преобразований.

Длина движущегося стержня, как видим, меньше его собственной длины l0 . Движущийся стержень как бы сокращается вдоль направления своего движения. Однако это не истинное, а кажущееся сокращение, более точно, это исключительно кинематический эффект, целиком обязанный принятому определению локального поля времени в движущейся системе отсчёта.

Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений следующие формулы преобразований:

которые называют формулами преобразований Лоренца.

В заключение заметим, что кроме кажущегося, чисто кинематического сокращения длинны движущегося стержня в рассматриваемой кинематике, основанной на описаных выше процедурах построения полей времени в системах отсчёта K и K’ , имеется ещё и эффект кажущегося замедления хода движущихся часов.

Пусть мы имеем часы, неподвижные в “движущейся” системе K’ , находящиеся в точке x’A = x’B . Пусть в них произошел один период колебаний, начавшийся в момент времени t’A (событие A) и окончившийся в момент времени t’B (событие B), так что t’B - t’A=  , где  - период колебаний часов в “собственной” системе отсчёта

(где они покоятся). Обозначив через xA , xB , tA и tB координаты событий A и B в системе отсчёта K , получаем

Вычитая второе равенство из первого для кажущегося периода колебаний часов, определённого в “движущейся” системе K’ имеем следующую формулу

так как x’A = x’B . Следовательно, окончательно получаем формулу

для кажущегося, т.е. кинематического, замедления хода движущихся часов.

4.12 Кинематический вывод преобразований Галилея.

Введём теперь, рассуждая совершенно аналогично тому, как мы это делали при выводе формул преобразований Лоренца, формулы преобразований Галилея, изменив процедуры построения полей времени в инерциальных системах отсчета K и K ’.

Построение полей времени в системах отсчета K и K ’. Будем теперь считать, что в системе отсчёта K среда, возбуждениями которой является свет, покоится. Тогда относительно системы отсчёта K’ эта Среда будет двигаться со скоростью  в отрицательном направлении оси x’.

Процедуру построения локальных времён и синхронизации часов в системе отсчёта K оставим прежней. Но процедуру построения локальных времён в системе отсчёта K’ изменим. При синхронизации часов, помещённых в точке M но оси x’ с координатой x’M>0 , с помощью короткого импульсного светового сигнала, выпущенного из начала координат x’ = 0 в начальный момент времени t’ = 0, в момент прихода сигнала в точку M , на часах в точке M теперь поставим не время r/c , где r - расстояние между O и M , а время

r .

c + 

Аналогично поступим с точкой M на оси x’ с координатой x’M<0. В ней на часах в момент прихода сигнала поставим время

r .

c - 

Основные соотношения. Рассмотрим снова три мгновенных точечных события. В системе отсчёта K они выглядят следующим образом. В точке x1 на оси x в момент t’1 пусть испускается короткий световой импульс в положительном направлении оси x. В момент t’2 пусть он приходит в точку x2 на оси x, отражается в ней и в момент t’3 возвращается в точку x1 , так что x1 = x3.

Согласно принятым процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K ’ , имеем теперь следующие шесть основных соотношений:

Нахождение функций  и . Составим сначала функциональное уравнение для функции . Имеем

Вычтем первое соотношение из третьего и результат сравним со вторым соотношением. Получим тогда уравнение

или

то есть

С учётом соотношений

отсюда приходим к следующему окончательному функциональному уравнению для определения вида функции :

которое удовлетворяется при любых значениях независимых переменных и x1 , x2 и t1 . Чтобы разрешить это функциональное уравнение, продифференцируем его по x2 и получим из него продифференцированное функциональное уравнение:

Положим в этом уравнении . x1 = x2 = x & t1 = t . Придем к уравнению

так что имеем очень простое дифференциальное уравнение

или

для определения вида функции .

Общее решение последнего уравнения имеет вид

где F - произвольная функция . Подставим эту формулу в приведенное

выше продифференцированное функциональное уравнение. Учтем ,

что

и поэтому получим соотношение

Так как

то приходим к следующему уравнению

справедливому при любых значениях x1,x2,t1. Аргументы функций

в правой и левой частях принимают произвольные значения при произвольных

x1,x2,t1. Следовательно ,

а потому , игнорируя получаем

где - некоторые пока не определенные постоянные .

Составим теперь функциональное уравнение для функции . Имеем

где G - произвольная функция . Вычитая первое уравнение из третьего

уравнения и сравнивая полученный результат со вторым уравнением ,

получаем соотношение Следовательно ,

или

Отсюда непосредственно приходим к следующему основному функциональному

уравнению для функции :

Разрешим это уравнение , для чего сначала продифференцируем его

по x2 . Тогда получим уравнение

Полагая в этом последнем уравнении и, приходим к

дифференциальному уравнению

или совсем простому уравнению

Следовательно ,

Подставив эту формулу для в приведенное выше продифференцированное

функциональное уравнение . Получим

Следовательно ,

Так как величины совершенно произвольны , то аргументы

функций G в правой и левой частях могут принимать совершенно произвольные значения . Поэтому

а следовательно ,

где