Лекции по физике
*{(x2-vt2-x1-vt1)2 - c2 (t2-x2 v/c2-t1-x1v/c)2} =
1
=
{(x2-x1)2
- 2v(x2-x1)(t2-t1)+v2(t2-t1)2}-
1-v2/c2
1
-
{-c2(t2-t1)2+2v(x2-x1)(t2-t1)-v2/c2
(x2-x1)2}=
1-v2/c2
=(x2-x1)2 - c2(t2-t1)2=s2
Как мы уже сказали, релятивистский интервал, вернее его квадрат s2
играет роль квадрата “расстояния” между двумя “точками” в четырех-
мерном пространстве.
В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном
трехмерном пространстве, который всегда положителен при несовпа-
дающих точках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат реляти-
вистского интервала может быть как положительным, так и отрицательным. В четырехмерном мире имеются пары несовпадаю-
щих точек, “расстояния” между которыми равно нулю. Например,
рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на плоскости
xt, от начала координат на нулевое “расстояние”. Для них имеем усло-
вие x2-c2t2= 0,
или
(x-ct)(x+ct)=0.
Следовательно,искомым геометрическим местом нескольких точек бу-
дут две прямые, симметрично расположенные относительно оси вре-мени. t
x=-ct
x=ct
x
0
В четырехмерном мире, или в прстранстве - времени множество точек,
удаленных от начала координат на нулевое “расстояние”, образуют конус, осью которого является ось времен. Конус называется световым.
Точки, расположенные внутри светового конуса, имеют отрицательные
квадраты релятивистского интервала до начала координат.
Точки, расположенные вне светового конуса,имеют положительные
квадраты релятивистского интервала до начала координат.
Множество точек, для которых квадрат интервала s2 от начала коорди-
нат 0 положителен и постоянен, образует однополостный гиперболоид,
окружающий световой конус.
t
x x
y
z
z
y
Рассматриваемое нами преобразование Лоренца- простейшее; оно
затрагивает только две координаты, а именно x и t в четырехмерном
мире. Это преобразование можно рассматривать как некоторый “по-
ворот”, который называется “гиперболическим”, в плоскости xt.
Поясним, что мы имеем в виду. Вместо временной координаты t
в четырехмерном мире введем мнимую временную координату x4=ict.
Тогда преобразования Лоренца можно записать с помощью следующих
формул:
1 v/c
x1’
= x1 + i
x4 ,
1- v2/c2
1-v2/c2
v/c 1
x1’
= i x1 +
x4
1-v2/c2 1-v2/c2
x2’ = x2, x3’=x3
Здесь x1є x, x2єy, x3є z. Эти формулы можно сравнить с формулами обычного поворота в влоскости x0 , x1 на угол j , которые имеют
вид
При таком, сравнении получим, что
Очевидно
не существует
действительного
угла
,
который
удовлетворял
бы этим соотношениям.
Однако, как
легко видеть,
существует
чисто мнимый
угол
,
для которого
приведенные
соотношения
будут выполняться.
Действительно,
Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы
Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,
Как
видим, значение
мнимого угла
,
определяется
значением
отношения
скоростей
.
Введем теперь
действительную
временную
координату
,
для которой
, или
Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид
Это
формулы так
называемого
гиперболического
поворота- Поясним
геометрию
такого поворота.
Рассмотрим
плоскость
,
где
Тогда имеем
формулы преобразования