Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

В.Кинетические Свойства

§ 6. Кинетическое уравнение

Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.

Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию f_k(r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.

Посмотрим теперь, какими способами функция f_k(r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:

1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть v_k — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь tv_k. Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r – tv_k в момент времени 0:

f_k(r, t) = f_k(r – tv_k, 0). (35)

Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть

f_k/t]_diff = – v_kf_k/r = – v_kf_k. (36)

2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству

(37)

Величину можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем

(38)

следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью

(39)

(мы использовали здесь обозначение f_k/k для градиента в k-пространстве — оператора _k).

3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция f_k меняется со скоростью

f_k/t]_scatt = ∫{ f_k' (1 – f_k) – f_k (l – f_k')}Q(k, k') dk'. (40)

Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению f_k. Вероятность этого процесса зависит от величины f_k — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – f_k') — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет к увеличению функции f_k; он пропорционален величине f_k'(1 – f_k). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q (k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции f_k(r) равна нулю, т. е.

f_k/t]_scatt + f_k/t]_field + f_k/t]_diff = 0. (41)

Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f⁰_k, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.
Положим

g_k = f_k – f⁰_k. (42)

где

f⁰_k = 1/{exp[(E _k – )/kT] + 1} (43)

Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f⁰_k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r), и положим

gk(r)=f_k(r) – f⁰_k{3T(r)}. (44)

Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например

g_k(r)dk = 0. (45)

Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем

– v_kf_k /r – e /ħ(E + 1/c[v_k  H]) f_k /k = – f_k /t]_scatt , (46)

или

– v_kf_k /T T – e /ħ(E + 1/c[v_k  H])  f⁰_k /k = – f_k /t]_scatt + v_kg_k /r + e /ħ(E + 1/c[v_k  H]) g_k /k. (47)

С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде

(f⁰ /E)v_k{( E (k) – ) / TT + e (E – 1/e)} = – f_k /t]_scatt + v_kg_k /r + e /ħc[v_k  H] g_k /k. (48)

Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (Eg_k /k) порядка E², соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член v_k [v_k  H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.

Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» g_k(r) к функции распределения. Функция g_k(r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими
в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности.

§ 7. Электропроводность

Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем

(– f⁰ /E)v_keE = – (f⁰ /t)]_scatt = (f_k– f_k)Q(k,k)dk= (g_k– g_k)Q(k,k)dk (49)

Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции g_k.

Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение:

– f_k /t]_scatt = g_k/ (50)

Тем самым мы вводим время релаксации . При выключении поля любое отклонение g_k от равновесного распределения будет затухать по закону

– g_k /t = g_k/, (51)

или

g_k(t) = g_k(0)e ^{– t / } . (52)

Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим

g_k = (– f⁰ /E) v_keE (53)

Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока

(54)

Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что

f⁰_kev_k(r)dk  0,

использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.

В металле функция (– f⁰ /E) ведет себя как -функция от (E – ), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом,

(55)

Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой

J = E, (56)

где  – тензор. Получим

(57)

Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть

(v_k v_k  E) = v²_xE, (58)

что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v²E. Поэтому

(59)

где мы ввели длину свободного пробега

 = v.