Логика неопределенности и неопределенности во времени
В условиях неопределенности свойство “Родитель(х, КГ)” не может быть представлено одним подмножеством универсума людей Л. Есть два сходных подмножества этого универсума Р и Р*, в одно из которых попадут аристократы герцог Карл и его жена, а в другое – простолюдины Блохманны. Все остальные претенденты также должны быть разведены по Р и Р*. Если бы остались реальные следы единственной пары родителей { a , b }, то необходимо было бы положить Р = Р* = { a , b }. Если бы следы оставил один из родителей, но не другой (допустим, рассматриваемому свойству удовлетворяет b ), то отсюда вытекало бы, что Р ? Р*, но Р C Р* = { b }. В анализируемом примере, по предположению, нет ни того, ни другого. Остается утверждать, что Р ? ? , Р* ? ? , но при этом Р C Р* = ? .
Высказанные соображения можно обобщить следующим образом. Если для двух сходных свойств А(х) и А*(х) верно, что $ х(А(х) & А*(х)), то можно ввести константу с , для которой будет верно (А( с ) & А*( с )). Назовем такую константу определенной в отношении свойств А(х) и А*(х). Если же O$ х(А(х) & А*(х)), то будем говорить, что любая константа является неопределенной в отношении свойства А(х) и свойства А*(х)).
Теории с неопределенностью оказываются неконструктивными (или антиконструктивными ) в следующем смысле. Распространим естественным образом понятие модели теории на теории с неопределенностью: н- моделью теории Тн называется структура, в которой все предложения Тн определенно истинны.
Предложение 11 . Существует теория Тн такая, что а) (P( с ) U O P( с )) I T, б) $ xP(x) I T, в) Tн имеет н-модель, но при этом ни теория Тн E {P( a )}, ни теория Тн E { O P( a )} не имеют н-моделей, какова бы ни была индивидная константа a .
Проанализированная выше история с Каспаром Гаузером подводит к построению примера требуемой Тн теории. Ведь какую бы индивидную константу a мы ни взяли, предложение Р( a , КГ) не будет определенно истинным, но может быть либо определенно ложным, либо неопределенным. С формальной точки зрения, для получения искомого результата требуется еще исключить определенную ложность.
Пусть Lн = {P, с , a }, где Р – одноместный предикатный символ, а с и a – индивидные константы. Положим Мн = , F( с ) = a, F(P) = {a}, F(P*) = {b}. Ясно, что Мн – н-модель теории Тн = {(P с U O P с ), $ xPx, " xнPx}. Но ни Т E {P( a )}, ни T E { O P( a )} н-моделей не имеют, как бы мы ни определяли значение F( a ) в произвольной структуре Мн для языка Lн.
Действительно, определенная истинность предложения " xнPx в модели Мн = теории Тн влечет, что формула нP( a ) определенно истинна и, значит, н O Р( a ) также определенно истинна. Отсюда как Р( a ), так и O Р( a ) являются неопределенными в любой н-модели теории Тн, что и требовалось доказать.
Итак, рассмотренная теория Тн не может быть расширена таким образом, чтобы полученные расширения удовлетворяли свойствам дизъюнктивности и экзистенциальности в трехзначной семантике неопределенности. Теперь правило прямого удаления квантора существования $ хА(х) ? А( e хА(х)), принимаемое в натуральных e -исчислениях, уже не воспроизводит отношения логического следования при естественном расширении понимания семантики выражений с e -термом. В самом деле, формула вида $ хА(х) теории Тн определенно истинна в построенной н-модели, однако независимо от того, какой индивид будет взят в качестве значения e -выражения e хА(х), утверждение А( e хА(х)) уже не будет определенно истинным, что нарушает общепринятое требование “из истинных посылок – истинное заключение”.
Построенная теория Тн, если посмотреть на нее с позиций классической двухзначной семантики, никакими интересными особенностями не обладает. И, разумеется, эта теория в данной семантике может быть расширена таким образом, чтобы появились свойства дизъюнктивности и экзистенциальности.
Но одно не противоречит другому. С метаязыковой точки зрения суть здесь в том, что в рассматриваемом случае нельзя ввести определенную константу a . Но ввести неопределенную , конечно, можно. Однако классическая логика не проводит различия между определенными и неопределенными ситуациями. Зато это позволяет делать логика неопределенности. Совмещение в одном (фактически, классическом) синтаксическом аппарате возможностей двух разноплановых семантик (классической и неклассической) позволяет удержать приятные метасвойства классической логики и, вместе с тем, промоделировать рассуждения в условиях неопределенности.
Список литературы
Анисов А. М. Время и компьютер. Негеометрический образ времени. М., 1991.
Анисов А. М . Семантика неопределенности // Логические исследования. Вып. 4. М., 1997.
Анисов А. М. Аксиоматическое исчисление неопределенности // Логические исследования. Вып. 7. М., 2000.
Анисов А. М. Темпоральный универсум и его познание. М., 2000.
Аристотель . Соч.: в 4 т. М., 1976-1984. Т. 2. С. 99-102.
Великие тайны прошлого // Reader's Digest, 1996.
Гильберт Д. , Бернайс П . Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979.
Гильберт Д. , Бернайс П . Основания математики. Теория доказательств. М., 1982.
Гранатовский Э. А . Послесловие // Бойс М . Зороастрийцы. Верования и обычаи. М., 1988.
Драгалин А. Г . Математический интуиционизм. М., 1979.
Карпенко А. С . Фатализм и случайность будущего: Логический анализ. М., 1990.
Лейстнер Л. , Буйташ П. Химия в криминалистике. M., 1990.
Логика и компьютер. Вып. 3. Доказательство и его поиск. М., 1996.
Лукасевич Я. О детерминизме // Логические исследования. Вып. 2. М., 1993.
Молчанов Ю. Б. Проблема времени в современной науке. М., 1990.
Смирнов В. А . Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972.
Смирнов В. А . Поиск доказательств в натуральном интуиционистском исчислении предикатов с e -символом и предикатом существования // Логические исследования. Вып. 3. M., 1995.