Моделирование стационарного и нестационарного истечения адиабатно-вскипающей жидкости из коротких каналов

В работе [1] для анализа процесса нестационарного и стационарного истечения вскипающей жидкости в термодинамически неравновесном приближении использован нетрадиционный подход, в основу которого положена разработанная ранее модель, описывающая эволюцию ансамбля паровых пузырьков в процессе их интенсивного роста при быстром понижении внешнего давления /2,3/. Полученная информация положена в основу рассматриваемой здесь математической модели, которая по известным значениям температуры и давления перегретой жидкости на входе в канал истечения, по данным о геометрии канала и по значению давлению газа вне канала, позволяет рассчитать параметры парожидкостного потока пузырьковой структуры в любом сечении канала. Предполагается, что в рамках модели можно уточнить физическую сущность кризиса течения двухфазных потоков и прогнозировать критические параметры потока.

Принципиальным отличием модели является строгое выполнение условий термодинамической неравновесности. И температура и давление в жидкой и паровой фазах внутри канала различны, что позволяет рассмотреть как инерционную, так и термическую стадии роста пузырьков. В данной работе истечение вскипающей жидкости рассмотрено в односкоростном приближении. Модель допускает, однако, возможность учета относительного движения дисперсной паровой фазы в направлении движения потока, а также дробления пузырьков вследствие их динамического взаимодействия с окружающей жидкостью.

Модель динамики ансамбля паровых пузырьков

Математическая модель, прогнозирующая поведение ансамбля растущих или схлопывающихся паровых пузырьков, базируется на модели динамики одиночного пузырька. Принципы построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику сферического парового пузырька в неограниченном объеме несжимаемой вязкой жидкости с учетом основных определяющих факторов, подробно изложены в работе (2). Эти уравнения дают возможность рассчитать радиус пузырька r(t), давление и радиальную скорость жидкости на границе с пузырьком, соответственно, pr(t) = Pl(R, t) и wR(t) = wi(r, t), а также распределение скорости wl(r, t) и давления Pl(r, t) в окрестности пузырька. Кроме того, рассчитывается изменение температуры Tv(t), плотности rv(t) и давления пара pv(t) внутри пузырька. Предполагается, что эти параметры распределены в пузырьке однородно. Поток теплоты q(t) и массы j(t) через стенку пузырька в процессе испарения и конденсации пара описывается в приближении молекулярно -кинетической теории с учетом скачка температуры на межфазной границе DT = Ts — Tv, так что в общем случае температура жидкости на границе с пузырьком Ts отлична от температуры пара в пузырьке Tv . Распределение температуры в жидкости в окрестности пузырька Tl (r, t) в процессе его роста или сжатия рассматривается в терминах интегрального метода, в рамках которого получено дифференциальное уравнение изменения толщины теплового пограничного слоя в жидкой фазе. В работе (2) приведены также полуэмпирические уравнения, которые с достаточно высокой точностью аппроксимируют температурные зависимости таких теплофизических параметров воды и водяного пара, как скрытая теплота испарения, поверхностное натяжение, плотность насыщенного пара, плотность и вязкость жидкости для всего температурного интервала существования жидкой фазы вплоть до Тсr. Достоверность модели подтверждается удовлетворительным согласием полученных с ее помощью расчетных результатов с известными в литературе экспериментальными данными по росту и схлопыванию одиночных паровых пузырьков в воде в широком интервале изменения режимных параметров.

Уравнения динамики одиночного пузырька положены в основу модели эволюции неограниченного монодисперсного ансамбля паровых пузырьков, которая учитывает динамическое взаимодействие пузырьков и их коллективное влияние на характер микротечений в межпузырьковом пространстве. Кроме основных уравнений динамики одиночного пузырька система уравнений, описывающих поведение ансамбля, включает дифференциальное уравнение для расчета средней температуры жидкости, которая не остается постоянной благодаря интенсивному испарению при формировании паровой фазы. Модель динамики пузырьков в ансамбле подробно рассматривается в работе (3). Предполагается, что динамическое развитие пузырьков в ансамбле обусловлено нарушением термодинамического равновесия вследствие быстрого изменения внешнего давления.

Поведение пузырьков в ансамбле рассматривается в приближении ячеечной модели, основные положения которой изложены, например, в работе [4]. Весь объем жидкости в монодисперсном пузырьковом ансамбле разбивается на идентичные сферические ячейки, в центре которых находятся сферические пузырьки. Радиус ячейки x связан с величиной текущего паросодержания b соотношением x= R • b-0.33 .Распределение давления зависит от текущих значений размера пузырьков и скорости их роста, а также от количества пузырьков в единице массы Nb, которое в отсутствие коагуляции или дробления пузырьков остается неизменным.

При заданной концентрации Nb величина объемного паросодержания определяется выражением

(1)

Для анализа поведения ансамбля в целом достаточно рассмотреть ситуацию в отдельной ячейке. При росте пузырька в его окрестности в пределах R ≤ r ≤x появляется сферически-симметричное распределение давления

(2)

Подстановка в (2) значения дает возможность найти давление в жидкости на внешней границе ячейки.

Когда пузырек находится в окружении других растущих пузырьков, поля давления ближайших соседей взаимно перекрываются и давление в любой точке межпузырькового пространства будет превышать внешнее давление, инициирующее рост или сжатие пузырьков. Поэтому поведение каждого отдельного пузырька в таком ансамбле должно определяться не внешним давлением рeх, действующим на систему в целом, а некоторым средним давлением в межпузырьковом пространстве > рeх. Как и для одиночного пузырька,в бесконечном объеме скорость радиального движения

(3)

за тем исключением, что в данном случае значение Р2 в (3) определяет не внешнее давление рeх, инициирующее рост пузырьков, а среднее давление в межпузырьковом объеме ансамбля pl (t). Это среднее давление вычисляется путем интегрирования функции Pl(r,t) по объему жидкости в ячейке и последующего деления на этот объем. Интегрирование правой части (2) приводит к уравнению

где рс определяет значение на предыдущем временном шаге расчета.

Усреднение относится как к отдельной элементарной ячейке, так и ко всему объему жидкости в пределах ансамбля. При использовании системы уравнений динамики одиночного пузырька это усредненное давление на каждом очередном шаге расчета определяет скорость изменения радиуса пузырька и значения теплофизических параметров системы, которые, в свою очередь, определяют на последующем шаге новое распределение давления в пределах ячейки и новое значение среднего давления в жидкости. Если термодинамическое равновесие в жидкости с пузырьками внезапно нарушено, например, вследствие резкого падения внешнего давления, наблюдается интенсивный рост паровой фазы. В начальный момент скорость расширения всех пузырьков определяется значением внешнего давления рex, а характер дальнейшего роста пузырьков ансамбля зависит от последующего изменения среднего давления .В результате давление в жидкой фазе асимптотически приближается к значению давления насыщения при данной температуре жидкости, но всегда остается меньше текущего давления пара внутри пузырька pv.

Поведение отдельного пузырька внутри ансамбля при тождественных условиях отличается от поведения одиночного пузырька в бесконечном объеме жидкости тем заметнее, чем сильнее проявляется фактор неодиночности пузырьков, т.е. чем выше концентрация Nb. На рис.1 показано, как меняются во времени среднее давление в межпузырьковом пространстве ансамбля и скорость расширения пузырьков после мгновенного сброса внешнего давления от начального равновесного значения Рi0 = Psat(Tlo) — 2s/R до величины рex<plo. Среднее давление в жидкости быстро возрастает, приближаясь затем постепенно к значению Psat(Tl). Давление стабилизируется тем быстрее, чем выше Nb. При больших концентрациях квазиравновесное давление со временем постепенно понижается по мере роста пузырьков в ансамбле, что объясняется постепенным охлаждением жидкости и уменьшением величины Psat(Tl). Различие в окружающем давлении обусловливает различие скоростей роста пузырьков в ансамбле при различных концентрациях, что видно из рисунка. При любых значениях Nb скорость расширения поверхности, одинаково высокая в начальной стадии, очень быстро падает и затем медленно уменьшается, так что со временем скорость роста пузырьков перестает зависеть от их концентрации и скорости роста пузырьков в ансамбле (штрихпунктир) при резком сбросе среднего давления.

Рис.1.Изменение среднего давления в жидкой фазе (сплошная линия)

Расчеты, выполненные в рамках этой модели, показывают, что вид функции (t) практически не зависит от начального радиуса паровых зародышей r0. Различие в начальном размере зародышей (в интервале r0 от 5 до 50 мкм) проявляется лишь на начальной стадии процесса роста пузырьков. Столь же малое влияние на динамику роста пузырьков при одних и тех же значениях Tl0 и Nb оказывает величина сброса внешнего давления, или степень начального перегрева жидкости (3). Однако в короткой начальной стадии роста до установления квазиравновесного значения давления интенсивность расширения пузырьков тем выше, чем больше перепад внешнего давления. Вместе с тем быстрый рост пузырьков в начальной стадии приводит к более быстрому нарастанию давления внутри ячейки, что, в свою очередь, снижает интенсивность последующего расширения.

Динамика пузырьков в ансамбле и поведение ансамбля в целом определяются разностью текущих значений давления пара в пузырьке pv и среднего давления в жидкости. Давление в паровой фазе pvҐpv* Tv обусловлено двумя конкурирующими факторами: с одной стороны, уменьшением плотности и температуры пара из-за увеличения объема пузырька и, с другой - повышением плотности и температуры пара вследствие испарения внутрь пузырька и теплоподвода со стороны жидкости. Корректный учет этих факторов возможен только в предположении различия давления и температуры в жидкой и паровой фазах. Детальное рассмотрение кинетики фазовых переходов и взаимосвязанных процессов тепло- и массопереноса дает возможность прогнозировать эволюцию пузырькового ансамбля и рассчитывать временные зависимости величин R, wr,b, ,Tl и других параметров.

Модель истечения вскипающих потоков

Основные положения модели динамически развивающегося неограниченного ансамбля положены в основу численного моделирования процессов стационарного и нестационарного истечения перегретой воды через короткие каналы в газовую среду. Двухфазный поток внутри канала рассматривается как ансамбль пузырьков в процессе его релаксации к состоянию термодинамического равновесия. Процесс релаксации осуществляется в соответствии с изложенным выше механизмом взаимосвязи между интенсивностью расширения пузырьков и локальным давлением в жидкой фазе, но в данном случае механизм установления давления в жидкой фазе протекает не только во временных, но и в пространственных координатах.

Нестационарное истечение вскипающей жидкости рассматривается в следующей постановке. В цилиндрической трубе с длиной L и постоянной площадью сечения S, закрытой с обоих концов, находится жидкость с температурой Tl0, существенно перегретая относительно внешнего давления газовой среды рg. Начальное давление жидкости plo > psat(Tlo). Предполагается, что в объеме жидкости равномерно размещены термодинамически равновесные с ней паровые зародыши малого размера с известной концентрацией Nb. В момент t= 0 один из концов трубы быстро открывается и в тонкий слой жидкости, контактирующий в данный момент с газовой средой, передается внешнее давление pg « psat(Tlo), которое инициирует интенсивный рост зародышей в слое и приводит к установлению в жидкости в пределах слоя нового, более высокого значения среднего давления. Это значение , в свою очередь, определяет скорость роста паровой фазы и скорость расширения объема смеси в соседнем слое в направлении закрытого конца трубы.

При реализации модели весь объем жидкости внутри канала разбивается на п цилиндрических зон одинакового объема длиной / = L/n с фиксированными границами, причем нумерация зон начинается от открытого конца трубы. В каждой локальной зоне канала интенсивность роста пузырьков в любой момент времени определяется величиной текущего давления соседней зоны со стороны открытого конца трубы. По такой схеме осуществляется передача давления в жидкой фазе вглубь трубы, и при достаточной длине канала давление в направлении его закрытого конца асимптотически приближается к давлению насыщенного пара при температуре жидкости. Интенсивный рост паровой фазы в ансамбле пузырьков в каждой отдельной зоне ведет к увеличению общего объема двухфазной смеси и выталкиванию жидкости из канала. В любой момент времени для произвольной i зоны плотность смеси ri =rV/b +rl(1-bi), количество пузырьков в зоне Nbi = plNblS, скорость расширения объема смеси в зоне равна WRiNbi. Массовый расход смеси через сечение, разделяющее i и i-1 зоны,

линейная скорость потока через это сечение

Очевидно, при i= 1 последние выражения определяют общий расход двухфазной смеси и скорость потока на выходе из канала.

При внезапной разгерметизации трубы фронт разрежения распространяется вглубь канала со скоростью звука в однофазной жидкости при известных значениях ее температуры и давления. По мере распространение фронта уровень давления разрежения на его границе постепенно повышается с учетом указанной трансформации давления в уже пройденных зонах. В модели не вводится в рассмотрение скорость звука в двухфазной смеси, а динамика роста пузырьков в каждой i-й зоне определяется значением среднего давления в соседней i-1 зоне, вычисленным на предыдущем по времени шаге расчета. При этом в пределах каждой зоны принимается во внимание, необратимая потеря давления на трение, что позволяет учесть общие потери на трение на стенках канала.

Очевидно, что локальные значения параметров в соседних зонах различны. При движении потока в канале часть объема смеси из i зоны поступает в i-1 зону, что определяет новые значения параметров в каждой из зон. Поэтому на каждом шаге расчета значения всех определяющих микро- и макропараметров усредняются по объему зоны с учетом статистического веса доли объема смеси, поступившей из соседней зоны и доли объема смеси, остающейся в своей зоне. В рамках модели можно оценить в любой момент времени изменение массового расхода пара, жидкости и смеси в целом, распределение вдоль канала размеров пузырьков, паросодержания и плотности смеси, скорости и ускорения потока, а также плотность, температуру и давление каждой из фаз.

В случае, когда второй конец трубы не закрыт, а соединен с большой емкостью, в которой содержится под высоким давлением жидкость, существенно перегретая по отношению к внешнему давлению, модель позволяет описать переход от нестационарного истечения, вызванного внезапной разгерметизацией, к стационарному истечению вскипающей жидкости из большой емкости в атмосферу с пониженным давлением. Предполагается, что давление жидкости в емкости р0 ≥psat(Tl0). На участке перехода из емкости в трубу течение рассматривается как квазиодномерное течение однофазной жидкости в канале с прямоугольной острой кромкой, в соответствии с моделью входного участка, принятой в работе (5). Массовый расход однофазной жидкости, поступающей из емкости в трубу,

(5)

где [п] - текущее давление в последней зоне трубы (i=n), а коэффициент потери напора при внезапном сужении потока x = 0,5. В режиме нестационарного истечения массовый расход жидкости на выходе из канала всегда превышает g0 и только в режиме стационарного истечения оба параметра принимают одинаковое значение.

Анализ результатов расчета

С помощью модели проведено исследование начальной (пузырьковой) стадии нестационарного истечения воды из закрытой трубы при внезапной разгерметизации одного из ее концов, а также нестационарной и стационарной ' стадий адиабатного истечения из большой емкости через короткую трубу насыщенной или недогретой воды (p0≥Psat(Tlo)), перегретой по отношению к внешнему давлению pg. Начальные значения температуры Tl0 лежали в интервале от 363 до 573 К, а значения противодавления pg в интервале от 0,01 МПа до psat(Tlо) . Истечение осуществлялось через цилиндрический канал с длиной 0,1 м и диаметром 0,01 м (L/d= 10). Во всех случаях начальный радиус паровых зародышей составлял 5 мкм, а их концентрация Nb, варьировалась в отдельных экспериментах от 105 до 107 кг-1. Для проведения расчетов канал разбивался на п =100 зон, для каждой из которой на очередном временном шаге решается система уравнений ансамбля пузырьков.

Рис.2. Распределение давления вдоль канала при распространении фронта волны разрежения в начальной стадии истечения в различные моменты времени

На рис. 2 показано распределение давления в жидкости по длине канала в различные моменты времени в начальной стадии разгерметизации закрытой трубы при прохождении волны разрежения в однофазной жидкости. Со временем давление в жидкости за фронтом волны быстро повышается, стремясь по мере приближения волны к закрытому концу трубы к значению psat(Tlо). Тем не менее, как показали исследования, на всех стадиях истечения максимальное значение давления внутри канала всегда существенно меньше давления насыщения и отличие это тем больше, чем выше температура жидкости.

Моделирование процесса нестационарного истечения вскипающей жидкости из цилиндрической трубы ограниченного объема показывает, что при любых начальных условиях истечения кривые распределения параметров по длине канала (,Pv,v,b) в произвольный момент времени и временные зависимости этих параметров в произвольном сечении практически перестают зависеть от давления внешней среды pg, если противодавление pg ниже определенной для каждого режима величины рсr. Таким образом, модель предсказывает эффект запирания потока без введения специальных допущений относительно скорости распространения возмущений в двухфазной среде.

Рис. 3. Изменение со временем давления и паро-содержания в центральном сечении канала при различных значениях противодавления: 1- 0,40; 2 -0,35; 3-0,30; 4-0,25; 5-0,20; 6-0,15; 7-0,10; 8-0.05; 9-0.02Мпа

На рис.3 показано изменение со временем объемного паросодержания b и величины приведенного давления /p0 в одном из сечений канала (i=50) при различных значениях противодавления. Видно, что, начиная с определенного значения рсr, дальнейшее понижение противодавления не влияет на характер этих зависимостей (кривые 5-9).

Модель корректно описывает качественно и количественно нестационарное истечение перегретой воды из канала и предсказывает основные закономерности этого процесса в широком интервале режимных параметров. Это подтверждается сравнением результатов, полученных в рамках рассматриваемой модели, с соответствующими экспериментальными и расчетными данными других авторов, например, приведенными в работе (6).

При нестационарном истечении вскипающей жидкости из канала ограниченного объема расход парожидкостной смеси резко возрастает в начальной стадии процесса и после достижения максимального значения начинает быстро понижаться. Эта закономерность наблюдается и при исследовании течения вскипающей жидкости из большой емкости в атмосферу через короткую цилиндрическую трубу.

На рис.4, для различных значений 7}0 представлены расчетные данные по изменению массового расхода вскипающей воды на выходе из канала, начиная с момента разгерметизации, при истечении из большой емкости в атмосферу с противодавлением рg= 0,1 МПа. Перегретая по отношению к внешнему давлению вода содержится в емкости в состоянии насыщения. В режиме нестационарного истечения величина расхода проходит точку максимума и затем плавно стремится к стационарному значению при данной температуре. Стационарный режим устанавливается тем быстрее, чем выше начальная температура жидкости. Эти результаты представляют определенный интерес, поскольку закономерности переходного режима от нестационарного к стационарному истечению практически не рассматривались в литературе.

Рис.4. Изменения расхода вскипающей жидкости при переходе от нестационарного к стационарному режиму течения

На рис.5 для различных значений Tl0 представлены кривые по длине канала давления в жидкой фазе и объемного паросодержания b при истечении вскипающей воды в стационарном режиме. Кривые распределения статического давления потока носят типичный характер - постоянное или слабо понижающееся давление на большей части канала и резкое снижение давления на выходе из канала. Если при невысоких значениях входной температуры потока давление в основной части канала практически не меняется по длине, то по мере повышения Tl0 наклон кривых на основном участке заметно увеличивается. Подобная закономерность наблюдается и в экспериментах по стационарному течению вскипающих критических потоков (5,7,8). Максимальные значения статического давления в канале , существенно ниже давления торможения рo перед входом канал, и это различие увеличивается с повышением Tl0. Результаты, представленные на рис.5, показывают, что характер распределения паросодержания по длине канала качественно зависит от начальной температуры.

Выше отмечалось, что при описании нестационарного течения из закрытых каналов модель предсказывает появление кризиса течения, начиная с определенных для каждого режима значений противодавления рсr. При стационарных течениях вскипающих потоков модель также предсказывает эффект запирания. Критический режим течения при постоянном массовом расходе наблюдается для значений противодавления рg < рсr, причем для всех исследованных значений Tl0 критическое значение противодавления можно оценить из соотношения рсr /рo@ 0,8. В качестве примера на рис. 6 приведена типичная зависимость массового расхода потока от величины противодавления. На этом же рисунке показано, как меняется величина давления Рl[1] на выходе из канала (в 1-й зоне). Давление в жидкости на границе с газовой средой отличается от величины противодавления (пунктир) тем сильнее, чем ниже величины pg, т.е. чем больше режим истечения уходит в критическую область. Вне критической области с ростом рg давление в жидкости на срезе канала асимптотически приближается к соответствующему значению противодавления.

Рис.5. Распределение давления (сплошные линии) и паросодержания (пунктир) вдоль канала при стационарном истечении вскипающей жидкости при различных t/q : 1-423; 2-473; 3-503; 4-533; 5-573 К