Xreferat.com » Рефераты по химии » Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

Вместе с модулем момента импульса Операторы момента импульса и их коммутация, или эквивалентно Операторы момента импульса и их коммутация, квантуется и направление этой векторной величины, но в довольно своеобразной форме, отличной от классического представления о направлении векторов. Исследуем это квантование по направлению.

4.3.5.1. Как следует из раздела 4.3.4.4, наряду с Операторы момента импульса и их коммутация, функцииОператоры момента импульса и их коммутация отвечает совершенно определенное значение Операторы момента импульса и их коммутация, но две другие проекции Операторы момента импульса и их коммутация и Операторы момента импульса и их коммутация остаются неопределенными. Это не случайно, а обусловлено принципом неопределенности Гейзенберга. Легко убедиться в этом, показав, что Операторы момента импульса и их коммутация не коммутирует с Операторы момента импульса и их коммутацияи Операторы момента импульса и их коммутация, но в то же время коммутирует сОператоры момента импульса и их коммутация. Аналогично между собой не коммутирует любая пара из Операторы момента импульса и их коммутация.

В качестве примера найдем коммутатор


Операторы момента импульса и их коммутацияОператоры момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация(4.65)

Аналогично можно получить следующие соотношения

Операторы момента импульса и их коммутация (4.66)

4.3.5.2. Эти формулы полезны для отыскания возможных значений квадрата момента импульса и волновых функций Операторы момента импульса и их коммутация при решении уравнения (4.62), которое несомненно сложнее решения (4.63). Для разрешения этой задачи воспользуемся приёмом, ранее примененным нами для гармонического осциллятора (см. раздел 3.51) когда собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона были найдены лишь на основе коммутационных соотношений, а также операторов сдвигов состояний.

4.3.5.3. Сконструировав специально операторы сдвига состояний, можно решить и задачу о вращательных состояниях жесткого ротатора. В этом случае мы будем перемещаться от состояния к состоянию с одним и тем же значением Операторы момента импульса и их коммутация, а, следовательно, и с одной и той же кинетической вращательной энергией, т.е. внутри вырожденного уровня попытаемся "пересчитать" дискретные состояния. Они отличаются только значениями Операторы момента импульса и их коммутация, т.е. ориентациями вектора момента импульса. Главная проблема на данном этапе – отыскание квантового числа l, квантующего модуль вектора Операторы момента импульса и их коммутация

4.3.5.4. Для этой цели запишем, как обычно

Операторы момента импульса и их коммутация (4.67)

и одновременно учтём, что справедливы операторные уравнения

Операторы момента импульса и их коммутация(4.68)

Операторы момента импульса и их коммутация(4.69)

Вместе с тем, как и в теории плоского ротатора

Операторы момента импульса и их коммутация (4.70)

Вычтем почленно (4.70) из (4.68) и получим

Операторы момента импульса и их коммутация,(4.71)

а с учётом (4.67)

Операторы момента импульса и их коммутация (4.72)

Таким образом, функция Y оказывается собственной функцией оператораОператоры момента импульса и их коммутация, т.е.

Операторы момента импульса и их коммутация (4.75)

гдеОператоры момента импульса и их коммутация – собственное значение.

В силу самосопряженности операторов квантовой механики, их собственные значения должны быть вещественными и единая физическая величина Операторы момента импульса и их коммутация как сумма квадратов может быть только положительной. Это справедливо, несмотря на недоступность для индивидуального определения каждого из слагаемых Операторы момента импульса и их коммутацияи Операторы момента импульса и их коммутация

Из сопоставления (4.72) и (4.73) следует неравенство

Операторы момента импульса и их коммутация (4.74)

Отсюда Операторы момента импульса и их коммутация. (4.75)

4.3.5.5. Формула (4.75) содержит прозрачный смысл: квадрат момента импульса не может быть меньше квадрата одной из его проекций. Одно и то же значение модуля момента импульса, определяемое квантовым числом l, может отвечать состояниям с различными значениями проекции Операторы момента импульса и их коммутация, которые задаются квантовым числом m. При этом каждому состоянию с положительным значением m соответствует состояние с отрицательным m, отличающееся направлением вращения вокруг оси z. Формула (4.75) одновременно определяет пределы изменения квантового числа m, увязывая его с числом l в виде

Операторы момента импульса и их коммутация, (4.76)

т.е. Операторы момента импульса и их коммутация и Операторы момента импульса и их коммутация Операторы момента импульса и их коммутация (4.77)

4.3.5.6. Наконец, мы подошли вплотную к решению важнейшей проблемы – связи квантового числа l со значением квадрата момента импульса и с параметром Операторы момента импульса и их коммутация в уравнении (4.62). Обратимся вновь к уравнению (4.72). В его правой части стоит сумма квадратов операторов. Исследуем её, разлагая на комплексные сомножители по аналогии с задачей о гармоническом осцилляторе. Обозначим их Операторы момента импульса и их коммутация и Операторы момента импульса и их коммутация. Их смысл подобен смыслу операторов Операторы момента импульса и их коммутация(3.79) и Операторы момента импульса и их коммутация(3.80) – они также являются операторами сдвига состояний.

Операторы момента импульса и их коммутация (4.78)

Операторы момента импульса и их коммутация (4.79)

4.3.5.7. Если в задаче об осцилляторе каждый из операторов сдвигов исследовался в паре с гамильтонианом, то в данном случае сдвиги не будут связаны с перемещением по энергетической лесенке уровней. Здесь мы будем двигаться как бы по энергетической горизонтали в пределах одного вырожденного уровня, пересчитывая состояния с общим модулем |Операторы момента импульса и их коммутация, но с разными его ориентациями. По этой причине удобнее всего рассмотреть последствия перестановок операторов Операторы момента импульса и их коммутация и Операторы момента импульса и их коммутация, с оператором Операторы момента импульса и их коммутация, действие которого на конкретную собственную волновую функцию описывается уравнением (4.69). Составим коммутаторы Операторы момента импульса и их коммутация и Операторы момента импульса и их коммутация. Для удобства и сокращения громоздких выкладок объединим символы (+) и (–). Далее всюду будем полагать, что запись индексов в виде столбца (±) означает, что в последующих выражениях верхнему индексу (+) будут соответствовать верхние же знаки в совместных записях и, наоборот, нижнему индексу (–) – знаки внизу, например:

Операторы момента импульса и их коммутация (4.80)

Подставим в (4.80) уравнения (4.78) и (4.79), затем перегруппируем слагаемые

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация(4.81)

КоммутаторыОператоры момента импульса и их коммутация и Операторы момента импульса и их коммутация уже выведены выше – формула (4.66). Используем их выражения

Операторы момента импульса и их коммутация

т.е. Операторы момента импульса и их коммутация (4.82)

Операторы момента импульса и их коммутация(4.83)

4.3.5.8. Исходя из формулы (4.80), произведение операторов Операторы момента импульса и их коммутация можно записать так

Операторы момента импульса и их коммутация

При подстановке (4.82) и (4.83) это дает

Операторы момента импульса и их коммутация (4.84)

Найдем далее результат действия операторов Операторы момента импульса и их коммутация на волновую функциюОператоры момента импульса и их коммутация, для которой заданы квантовые числа l и m, т.е. Операторы момента импульса и их коммутация, используя уравнения (4.64) и (4.69):

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация (4.85)

4.3.5.9. Выражение (4.85) – это по-прежнему операторное уравнение на собственные значения. Оно показывает, что функции Операторы момента импульса и их коммутациясоответствует состояние с квантовым числом m+1, т. е увеличенным на единицу по сравнению с исходной функцией Операторы момента импульса и их коммутация - состояние Операторы момента импульса и их коммутация. Таким образом, оператор Операторы момента импульса и их коммутация с полным правом может быть назван оператором повышения состояния (но не уровня!). Аналогично оператор Операторы момента импульса и их коммутация – оператор понижения, так как функции Операторы момента импульса и их коммутациясоответствует уменьшенное квантовое число – Операторы момента импульса и их коммутация

4.3.5.10. Следовательно, действие операторов повышения и понижения на волновую функцию Операторы момента импульса и их коммутацияможно представить так

Операторы момента импульса и их коммутация (4.86)

Операторы момента импульса и их коммутация(4.87)

Обратите внимание на то, что операторы Операторы момента импульса и их коммутация и Операторы момента импульса и их коммутацияизменяют характеристику преобразуемой функции, и формулы (4.86) и (4.87) не создают уравнений на собственные значения, а постоянные Операторы момента импульса и их коммутация – это просто численные множители. Таким образом, эти формулы позволяют “пересчитывать” состояния в проделах одного вырожденного уровня, которому отвечает конкретный модуль момента импульса, заданный квантовым числом l. При этом сдвиг между ближайшими значениями проекций Операторы момента импульса и их коммутация равен Операторы момента импульса и их коммутация, т.е.

Операторы момента импульса и их коммутация. (4.88)

4.3.5.11. Напоминаем, что волновые функции Операторы момента импульса и их коммутацияявляются собственными функция-ми операторов Операторы момента импульса и их коммутацияи Операторы момента импульса и их коммутация. На основании уравнений (4.64) и (4.68) можно записать

Операторы момента импульса и их коммутация (4.89)

а из уравнений (4.58) и (4.70) следует

Операторы момента импульса и их коммутация (4.90)

При вычитании (4.90) из (4.89) получаем операторное уравнение (4.71) с конкретным собственным значением Операторы момента импульса и их коммутацият.е.

Операторы момента импульса и их коммутация. (4.91)

Целесообразно построить такую последовательность сомножителей из операторов сдвига, которая непосредственно приводила бы к ожидаемому результату (4.91).

4.3.5.12. Для этого исследуем произведение операторов вида Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация.

Подставляя коммутатор (4.66), получим

Операторы момента импульса и их коммутация (4.92)

Совершенно аналогично

Операторы момента импульса и их коммутация (4.93)

или при совместной записи

Операторы момента импульса и их коммутация (4.94)

В этих формулах привлекательно то, что результат произведения двух операторов сдвигов выражается через операторы с действительными собственными значениями, как это следует из сопоставления правых частей уравнений (4.92) – (4.94), с одной стороны, и уравнений (4.90) и (4.91) – с другой.

4.3.5.13. Все коммутационные соотношения операторов момента импульса и его проекций, найденные в этом разделе, удобно свести в одну таблицу 4.З. . В строках таблицы указаны левые операторы-сомножители, а в столбцах – правые. На пересечении строки и столбца находится коммутатор соответствующих операторов. Обращаем внимание читателя на антисимметричный характер таблицы коммутаторов относительно главной диагонали, т.е. элементы, одинаково расположенные по разные стороны последней отличаются только знаками. Таким образом, при изменении порядка записи операторов–сомножителей коммутатор меняет знак.


Таблица 4.3. Коммутаторы операторов момента импульса Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация1 Операторы момента импульса и их коммутация2

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

0 0 0 0 0 0

Операторы момента импульса и их коммутация

0 0

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента импульса и их коммутация

0

Операторы момента импульса и их коммутация

0

Операторы момента импульса и их коммутация

Операторы момента
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: