Xreferat.com » Рефераты по химии » Момент импульса и его свойства

Момент импульса и его свойства

В предыдущем разделе мы уже получили многие важные соотношения, касающиеся момента импульса и его проекций. В этой главе будет доведено до конца решение задачи о квантовании момента количества движения пространственного ротатора и рассмотрены его свойства.


4.3.6.1.Согласно (4.75), не существует состояния объёмного ротатора с Момент импульса и его свойства. Поэтому при действии на волновую функцию с максимально возможным значением Момент импульса и его свойства, т.е. Момент импульса и его свойства, оператор повышения Момент импульса и его свойства становится аннигилятором – "уничтожителем"

Момент импульса и его свойства. (4.95)

Совершенно так же оператор Момент импульса и его свойства уничтожает состояние с Момент импульса и его свойства

Момент импульса и его свойства .(4.96)

4.3.6.2. Чтобы от оператора сдвига Момент импульса и его свойства, не имеющего собственных значений, перейти к одному из операторов с конкретными собственными значениями Момент импульса и его свойства и Момент импульса и его свойствадостаточно умножить (4.95) слева на Момент импульса и его свойства и воспользоваться формулой (4.93):

Момент импульса и его свойства.(4.96)

Отсюда на основании (4.64) и (4.91) следует

Момент импульса и его свойства, т.е.

Момент импульса и его свойства(4.98)

4.3.6.3. В силу того, что постоянная Момент импульса и его свойства определяет квадрат модуля момента импульса, она может быть только положительной величиной, либо равной нулюМомент импульса и его свойства и, соответственно,

Момент импульса и его свойства (4.99)

При дискретных допустимых значениях l его минимальная величина равна нулю, а все остальные сдвигаются последовательно на единицу вверх

Момент импульса и его свойства или Момент импульса и его свойства (4.100)

4.3.6.4. Этим охарактеризованы все свойства момента импульса при свободном вращении, а также и при вращательном движении на эквипотенциальной сферической поверхности. Квадрат модуля Момент импульса и его свойства, сам модуль вектора Момент импульса и его свойства и возможные его проекции на ось z определяются формулами

Момент импульса и его свойства, где Момент импульса и его свойства, т.е. Момент импульса и его свойства (4.101)

Момент импульса и его свойства (4.102)

Момент импульса и его свойства, где Момент импульса и его свойства т.е. Момент импульса и его свойства.(4.103)

Таким образом, всякому конкретному значению модуля момента импульса Момент импульса и его свойства отвечает Момент импульса и его свойства возможное значение проекцииМомент импульса и его свойства, т.е. каждому уровню вращательной энергии соответствует Момент импульса и его свойства возможных состояний пространственного ротатора. Уровень, определяемый квадратом момента импульса Момент импульса и его свойства, соответственно, Момент импульса и его свойства кратно вырожден,

4.3.6.5. В то время как проекция Момент импульса и его свойства имеет конкретное значение, две другие проекции Момент импульса и его свойства и Момент импульса и его свойства, как мы говорили выше, остаются неопределенными. Это имеет наглядный физический смысл, который наиболее понятен из графической иллюстрации. На рис. 4.4 представлены возможные ориентации вектора Момент импульса и его свойства при l=2 . Угол наклона вектора Момент импульса и его свойства к оси z определяется формулой

Момент импульса и его свойства(4.104)

т.е, Момент импульса и его свойства и угол Момент импульса и его свойства никогда не равен 0. Это означает, что вектор Момент импульса и его свойства совершает прецессионное движение вокруг оси z.

4.3.6.6. Обращаем еще раз внимание читателя на то, что такая ситуация порождена принципом неопределенности. Да и сама формула квантования момента импульса пространственного ротатора (4.102) в которой величина Момент импульса и его свойства не просто пропорциональна квантовому числу l, а имеет более сложный вид, является по сути следствием этого принципа.

Момент импульса и его свойства

Момент импульса и его свойства

4.3.7. Энергетические уровни жесткого ротатора и его спектр

4.3.7.1. Поскольку квадрат момента импульса в жестком ротаторе однозначно связан с энергией (4.47), формула (4.101) позволяет легко рассчитать его уровни и спектральные термы (Т), т.е. уровни, выраженные в единицах измерения волнового числа (см–1 ) , являющегося характеристикой излучения

Момент импульса и его свойства(4.105)

Момент импульса и его свойства.(4.105)

Момент импульса и его свойства (4.107)

Величина В, определяемая (4.107), называется вращательной постоянной ротатора.

4.3.7.2. Обозначим величину Момент импульса и его свойства и составим таблицу 4.5 возможных значений энергии жесткого ротатора, а на рис. 4.5. представим его энергетическую диаграмму.

4.3.7.3. Подобно плоскому ротатору, энергетическая диаграмма жесткого ротатора демонстрирует расходящуюся систему уровней, однако значительно возрастает кратность вырождения. Расстояния между соседними уровнями увеличиваются с ростом квантового числа l, причем они линейно связаны с квантовым числом нижнего уровня l:

Момент импульса и его свойства. (4.108)


Таблица 4.5. Уровни жесткого ротатора

l

Символ уровня

Энергия

Е, Момент импульса и его свойства

Вырождение

g=2l+1

0 S 0 1
1 P 2 3
2 D 6 5
3 F 12 7
4 G 20 9

Рис. 4.5. Энергетическая диаграмма жесткого ротатора.

Для жесткого ротатора, например, двухатомной молекулы, разрешены спектральные переходы между соседними уровнями Момент импульса и его свойства. Поэтому, согласно уравнению 4.108, ее спектр представляет собой набор линий, отстоящих друг от друга на примерно одинаковую величину, равную Момент импульса и его свойства в энергетической шкале, или 2В в шкале волновых чисел Момент импульса и его свойства. Поскольку вращательная постоянная связана с моментом инерции, изучение вращательных спектров молекул даёт возможность экспериментального определения момента инерции молекул и, следовательно, межатомных расстояний.

4.3.8. Волновые функции жёсткого ротатора

4.3.8.1. Использование операторов сдвигов состояний позволяет также максимально просто найти собственные функций операторов Момент импульса и его свойства и Момент импульса и его свойства без каких-либо специальных сведений о дифференциальных уравнениях. Авторы сознательно построили настоящий раздел в расчёте на внимательного читателя-химика, владеющего лишь минимальными, но достаточно прочными навыками в области тригонометрии и математического анализа.

4.3.8.2. Прежде всего выпишем операторы повышения и понижения в сферических координатах, используя формулы (4.53) и (4.54):

Момент импульса и его свойства

Момент импульса и его свойства(4.109)

В силу того, что собственные функции, получающиеся в результате действия операторов сдвига, подлежат нормировке, как это уже обсуждалось в разделе 4.3.5.10., мы имеем все основания определить эти операторы с точностью до постоянного множителя, т.е. вместо (4.109) ограничимся выражением

Момент импульса и его свойства (4.110)

4.3.8.3. Исходные уравнения для вывода всей цепочки волновых функций – уравнения аннигиляции

Момент импульса и его свойства (4.111)

На основании формул (4.50) и (3.28) функцию можно Момент импульса и его свойства представить в виде

Момент импульса и его свойства (4.112)

С учётом этого уравнение (4.111) в сферических координатах: запишется в форме

Момент импульса и его свойства.(4.113)

Совершим очень несложные преобразования, приводя к дифференциальному уравнению для функцииМомент импульса и его свойства:

Момент импульса и его свойства

откуда следует Момент импульса и его свойства (4.114)

4.3.8.4. Разделяя переменные, получаем

Момент импульса и его свойства(4.115)


Учтём что Момент импульса и его свойства,

Момент импульса и его свойства(4.116)

Интегрирование уравнения (4.116) даёт

Момент импульса и его свойства (4.117)

гдеМомент импульса и его свойства – постоянная интегрирования, определяемая из условия нормировки. Окончательно получаем формулу для функции

Момент импульса и его свойства(4.118)

4.3.8.5.Формула (4.118) дает лишь предельные выражения волновых функций Момент импульса и его свойства, отвечающие максимальному и минимальному значениям квантового числа m, а именно Момент импульса и его свойства и Момент импульса и его свойства, или что то же самое Момент импульса и его свойства. Все волновые функции, соответствующие промежуточным значениям Момент импульса и его свойства очень просто получаются последовательным действием операторов Момент импульса и его свойства с точностью до нормировочных множителей, которые могут быть рассчитаны в каждом конкретном случае

4.3.8.6.Отметим, что мы не ставим перед собой и перед читателем задачу вывода общей формулы сферических волновых функций. Это связано, с одной стороны, с тем, что она обязательно покажется слишком перегруженной индексами и коэффициентами, к которым удобнее привыкать постепенно. С другой стороны, для практических целей редко требуются функции с большими значениями квантового числа l. В химическом обиходе встречается состояния с l = 0, 1, 2, 3, поэтому ограничимся этими значениями, (их символы см. в табл. 4.5 ).

4.3.8.7. Итак, нас будут интересовать s–, p–, d–, f– орбитали жесткого ротатора. Запишем соответствующие исходные функции Момент импульса и его свойства и Момент импульса и его свойства, с точностью до постоянного множителя:

для s-состояния Момент импульса и его свойства и Момент импульса и его свойства

для p- состояния Момент импульса и его свойства и Момент импульса и его свойства

для d- состояния Момент импульса и его свойства и Момент импульса и его свойства

для f- состояния Момент импульса и его свойства и Момент импульса и его свойства

4.3.8.8.Орбиталь s –типа – лишь одна и волновая пункция Момент импульса и его свойства требует только нормировки. Поскольку сомножитель Момент импульса и его свойствауже нормирован, достаточно пронормировать функцию Момент импульса и его свойства. Выделяя из элемента конфигурационного пространства Момент импульса и его свойства (см. рис 4.3) все сомножители, определенные на переменной Момент импульса и его свойства, получаем

Момент импульса и его свойства

и, соответственно, нормировочное соотношение имеет вид

Момент импульса и его свойства (4.119)

Во всех дальнейших преобразованиях следующих двух разделов будем опускать постоянные численные коэффициенты перед волновыми функциями, получающимися в результате операций сдвигов состояний над исходными функциями Момент импульса и его свойства – степенями синусоиды Момент импульса и его свойства.

4.3.8.9. Квантовое число l=1 порождает три р-функции с m=1, 0, -1 т.е. орбитали с Момент импульса и его свойстваДвум из них с Момент импульса и его свойстваотвечает Момент импульса и его свойства Нормировочный множитель находим из соотношения

Момент импульса и его свойства.

Откуда следует: Момент импульса и его свойства (4.120)

Функцию Момент импульса и его свойства, необходимую для полного набора р-орбиталей, можно найти, сдвигая Момент импульса и его свойства вниз или Момент импульса и его свойства вверх на одно состояние

Момент импульса и его свойства

Определим нормировочный множитель Момент импульса и его свойства для Момент импульса и его свойства

Момент импульса и его свойства

Интегрируя с помощью подстановки Момент импульса и его свойства и, следовательно полагая, Момент импульса и его свойстваполучаем

Момент импульса и его свойства, т.е. Момент импульса и его свойства

4.3.8.10. Далее получим последовательно d-орбитали, отвечающие набору Момент импульса и его свойства. Соответственно

Момент импульса и его свойстваМомент импульса и его свойства (4.121)

Момент импульса и его свойства

Момент импульса и его свойства(4.121)

Момент импульса и его свойства

Момент импульса и его свойства(4.122)

Отсюда получаются d-функции

Момент импульса и его свойства; Момент импульса и его свойства ;

Момент импульса и его свойства.

Величины Момент импульса и его свойства;Момент импульса и его свойства;Момент импульса и его
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: