Xreferat.com » Рефераты по химии » Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Энергетические уровни жесткого ротатора и его спектр


Поскольку квадрат момента импульса в жестком ротато­ре однозначно связан с энергией (4.47), формула (4.101) позволяет легко рассчитать его уровни и спектральные термы (Т), т.е. уровни, вы­раженные в единицах измерения волнового числа (см–1 ) , являющегося характеристикой излучения

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.105)

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора. (4.105)

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.107)

Величина В, определяемая (4.107), называется вращательной постоянной ротатора.

4.3.7.2. Обозначим величину Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора и составим таблицу 4.5 воз­можных значений энергии жесткого ротатора, а на рис. 4.5. предста­вим его энергетическую диаграмму.


4.3.7.3. Подобно плоскому ротатору, энергетическая диаграмма жесткого ротатора демонстрирует расходящуюся систему уровней, одна­ко значительно возрастает кратность вырождения. Расстояния между соседними уровнями увеличиваются с ростом квантового числа l, причем они линейно связаны с квантовым числом нижнего уровня l:

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора. (4.108)


Таблица 4.5.

Уровни жесткого ротатора

l Символ уровня

Энергия

Е, Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Вырождение

g=2l+1

0 S 0 1
1 P 2 3
2 D 6 5
3 F 12 7
4 G 20 9

Рис. 4.5. Энергетическая диаграмма жесткого ротатора.


Для жесткого ротатора, например, двухатомной молекулы, разрешены спектральные переходы между соседними уровнями Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора. Поэтому, согласно уравнению 4.108, ее спектр пред­ставляет собой набор линий, отстоящих друг от друга на примерно одинаковую величину, равную Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора в энергетической шкале, или 2В в шкале волновых чисел Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора.

Поскольку вращательная постоянная связана с моментом инерции, изучение вращательных спектров молекул даёт возможность эксперимен­тального определения момента инерции молекул и, следовательно, меж­атомных расстояний.


4.3.3. Волновые функции жёсткого ротатора


4.3.8.1. Использование операторов сдвигов состояний позволяет также максимально просто найти собственные функций операторов Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора и Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора без каких-либо специальных сведений о дифференциаль­ных уравнениях. Авторы сознательно построили настоящий раздел в расчёте на внимательного читателя-химика, владеющего лишь мини­мальными, но достаточно прочными навыками в области тригонометрии и математического анализа.


4.3.8.2. Прежде всего, выпишем операторы повышения и понижения в сферических координатах, используя формулы (4.53) и (4.54):

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.109)

В силу того, что собственные функции, получающиеся в результате действия операторов сдвига, подлежат нормировке, как это уже об­суждалось в разделе 4.3.5.10., мы имеем все основания определить эти операторы с точностью до постоянного множителя, т.е. вместо (4.109) ограничимся выражением

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.110)

4.3.8.3. Исходные уравнения для вывода всей цепочки волновых функций – уравнения аннигиляции

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.111)

На основании формул (4.50) и (3.28) функцию мож­но Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора представить в виде

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.112)


С учётом этого уравнение (4.111) в сферических координатах: запишется в форме

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора. (4.113)

Совершим очень несложные преобразования, приводя к дифференциальному уравнению для функцииПолярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора:

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

откуда следует Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.114)


4.3.8.4. Разделяя переменные, получаем


Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.115)


Учтём что Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора,

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.116)

Интегрирование уравнения (4.116) даёт

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.117)


гдеПолярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора – постоянная интегрирования, определяемая из условия нормировки. Окончательно получаем формулу для функции

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.118)


4.3.8.5.Формула (4.118) дает лишь предельные выражения волно­вых функций Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора, отвечающие максимальному и минимальному значе­ниям квантового числа m, а именно Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора и Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора, или что то же самое Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора. Все волновые функции, соответствующие промежуточным значениям Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора очень просто получаются последовательным действием операторов Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора с точностью до нормировочных множителей, которые могут быть рассчитаны в каждом конкретном случае


4.3.8.6.Отметим, что мы не ставим перед собой и перед читате­лем задачу вывода общей формулы сферических волновых функций. Это связано, с одной стороны, с тем, что она обязательно покажется сли­шком перегруженной индексами и коэффициентами, к которым удобнее привыкать постепенно. С другой стороны, для практических целей ред­ко требуются функции с большими значениями квантового числа l. В химическом обиходе встречается состояния с l = 0, 1, 2, 3, по­этому ограничимся этими значениями, (их символы см. в табл. 4.5 ).


4.3.8.7. Итак, нас будут интересовать s–, p–, d–, f– орбитали жесткого ротатора. Запишем соответствующие исходные функции Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора и Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора, с точностью до постоянного множителя:

для s-состояния Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора и Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

для p- состояния Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора и Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

для d- состояния Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора и Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

для f- состояния Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора и Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора


4.3.8.8. Орбиталь s –типа – лишь одна и волновая пункция Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора тре­бует только нормировки. Поскольку сомножитель Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротаторауже нормирован, достаточно пронормировать функцию Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора. Выделяя из эле­мента конфигурационного пространства Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (см. рис 4.3) все со­множители, определенные на переменной Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора, получаем

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

и, соответственно, нормировочное соотношение имеет вид

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.119)

Во всех дальнейших преобразованиях следующих двух разделов будем опускать постоянные численные коэффициенты перед волновыми функциями, получающимися в результате операций сдвигов состояний над исходными функциями Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора – степенями синусоиды Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора.

4.3.8.9. Квантовое число l=1 порождает три р-функции с m=1, 0, -1 т.е. орбитали с Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатораДвум из них с Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатораотвечает Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора Нормировочный множитель находим из соотношения

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора.

Откуда следует: Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.120)


Функцию Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора, необходимую для полного набора р-орбиталей, можно найти, сдвигая Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора вниз или Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора вверх на одно состояние

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Определим нормировочный множитель Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора для Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Интегрируя с помощью подстановки Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора и, следовательно полагая, Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатораполучаем

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора, т.е. Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

4.3.8.10. Далее получим последовательно d-орбитали, отвечающие набору Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора. Соответственно

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатораПолярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.121)

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.121)

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.122)


Отсюда получаются d-функции

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора;Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора.

Величины Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора;Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора;Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора представлены в таблице 4.6.


4.3.8.11. Аналогично получается весь набор f-функций

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора (4.123)


Все найденные s-, р-, d- и f-орбитали сведём в таблицу 4.6.


Таблица 4.6.

Сферические волновые функцииПолярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Уровень l m

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Символ Y
s 0 0 1 1

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

p 1

Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: