Xreferat.com » Рефераты по химии » Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Рассмотрим две различные физически возможные ситуации, связанные с вращением вокруг некоей фиксированной точки – центра. В данном разделе мы, не стремясь к излишней строгости изложения, ограничимся физическими аналогиями и подходом к анализу криволинейного движения, заимствованным из классической теоретической механики.

1. В первом случае представим себе вращательное движение двухатомной молекулы вокруг её центра масс. Пренебрегая относительно небольшими колебательными деформациями химической связи, можно считать постоянным межъядерное расстояние R, а соответственно, и радиусы сфер, по которым перемещается каждый из атомов вращающейся молекулы с массами Модели задачи пространственного вращения и Модели задачи пространственного вращения. Такая модель называется жёстким ротатором и может рассматриваться как пример чистого вращения (рис. 1)

Модели задачи пространственного вращения


Рис. 1. Жесткий ротатор.

Ему отвечает кинетическая энергия

Модели задачи пространственного вращения (1)

где L– момент импульса, I – момент инерции, а Модели задачи пространственного вращения – приведенная масса,

Модели задачи пространственного вращения

В свободном вращательном движении потенциальная энергия отсутствует, и оператор кинетической энергии представляет собой одновременно оператор полной энергии. Он запишется так:

Модели задачи пространственного вращения где R=const (2)

Напомним читателю, что выражение оператора момента импульса I дано в разделе 2.2. Следует ожидать, что в сферических координатах оператор Модели задачи пространственного вращениявр должен зависеть только от угловых переменныхМодели задачи пространственного вращения, но не от радиуса Модели задачи пространственного вращения. Это легко проверить с помощью анализа размерности.

2. Второй случай сложнее и полнее. Он имеет место при движении одного электрона в поле ядра атома водорода, водородоподобном ионе или при взаимном вращении частиц в электрон-позитронной системе, известной как атом позитрония. Такое движение называется центральным, а сама задача Кеплеровой.

Электрон невозможно зафиксировать на сфере постоянного радиуса – это запрещено принципом неопределенности. При движении электрона как бы образуется пространственное облако. Тем не менее, можно обратиться к аналогии с классической механикой, которая позволяет в любом криволинейном движении выделить нормальную (радиальную) и тангенциальную (касательную) компоненты. Тангенциальная составляющая кинетической энергии соответствует чистому вращению – перемещению по сфере – и связана с моментом импульса формулой (1).

Движение электрона, порождающее облако с вероятностным распределением плотности, можно условно представить как совокупность чистых вращений на концентрических сферах с фиксированными радиусами и радиальных перемещений между этими сферами. В таком случае чисто вращательное слагаемое в составе оператора кинетической энергии также описывается формулой (2) но при этом момент инерции является переменной величиной из-за меняющегося радиуса

Модели задачи пространственного вращения (3)

где Модели задачи пространственного вращения – масса электрона, а Модели задачи пространственного вращения.

Присутствие радиального слагаемого Модели задачи пространственного вращения в этом случае заставляет представить оператор кинетической энергии Модели задачи пространственного вращения в виде суммы

Модели задачи пространственного вращения (4)

3. В силу того, что оператор кинетической энергии частицы отличается от лапласиана только множителем Модели задачи пространственного вращения(см. уравнение 2.15), домножив на него формулу (4.46), получим

Модели задачи пространственного вращения(5)

Сравнивая формулы (4.50) и (4.51), приходим к фундаментальному соотношению

Модели задачи пространственного вращения, (6)

т.е. оператор квадрата момента импульса совпадает с оператором Лежандра Модели задачи пространственного вращения с точностью до постоянного множителя Модели задачи пространственного вращения. Заметим, что размерность собственных значений оператора Модели задачи пространственного вращения совпадает с размерностью постоянной Планка Модели задачи пространственного вращения.

4. Этот же результат можно получить и последовательными математическими преобразованиями компонент операторов Модели задачи пространственного вращения и Модели задачи пространственного вращения. Процедура перехода к сферическим координатам для компонент Модели задачи пространственного вращения аналогична той, что была осуществлена в разделе. при переводе Модели задачи пространственного вращения к плоской полярной системе координат. Кстати говоря, в сферических координатах Модели задачи пространственного вращения имеет тот же самый вид. Используя уравнения и читатель сам легко получит выражения

Модели задачи пространственного вращения(7)

Модели задачи пространственного вращения (8)

Модели задачи пространственного вращения(9)

Суммируя результаты возведения в квадрат найденных выражений для операторов проекций момента импульса, получаем формулу (6), которая в развернутой форме с учетом имеет вид

Модели задачи пространственного вращения(10)

5. Жесткий ротатор. Уравнение Шредингера.

5.1. Согласно вышеизложенному, уравнение Шредингера для жесткого ротатора может быть представлено так

Модели задачи пространственного вращения(11)

Поскольку момент инерции постоянен (I=const), волновые функция жёсткого ротатора с точностью до постоянного множителя совпадают с собственными функциями оператора Лежандра. Последние обозначаются символом Модели задачи пространственного вращенияи носят название шаровых, или сферических функций. Это значит, что должно быть справедливым операторное уравнение, следующее из (11)

Модели задачи пространственного вращения (12)

где Модели задачи пространственного вращения– собственное значение оператора Лежандра, связанное с квадратом момента импульса и энергией вращения;

Модели задачи пространственного вращения (13)

5.2. Поэтому следующий этап решения нашей задачи состоит в нахождении собственных функций операторного уравнения (4.57), которое в развёрнутом виде представляется так

Модели задачи пространственного вращения (14)

Конструкция уравнения (14), включающего сумму операторов, каждый из которых содержит одну переменную, позволяет легко произвести разделение переменных, используя метод Фурье.

5.3. Для этого представим функцию Модели задачи пространственного вращения в виде произведения

Модели задачи пространственного вращения, (15)

умножим обе части уравнения (14) слева на Модели задачи пространственного вращения и перегруппируем слагаемые, включающие разные переменные:

Модели задачи пространственного вращения(16)

Переменные Модели задачи пространственного вращения и Модели задачи пространственного вращения полностью разделились, поэтому правую и левую его части можно приравнять одной и той же постоянной. В результате получится два независимых уравнения

Модели задачи пространственного вращения (17)

Модели задачи пространственного вращения (18)

5.4. Уравнение (17) – это уравнение Шредингера для плоского ротатора, где Модели задачи пространственного вращения, и решение его было предметом обсуждения в разделе 3.2:

Модели задачи пространственного вращения, где Модели задачи пространственного вращения(19)

причём квантовое число m связано с квантованием проекции момента импульса на ось z, так как изменение угла Модели задачи пространственного вращения описывает вращение вокруг этой оси:

Модели задачи пространственного вращения

6. МножительМодели задачи пространственного вращения пока ещё не раскрыт, однако ясно, что каждая волновая функция Модели задачи пространственного вращенияотвечает состоянию с некоторым определенным фиксированным квадратом момента импульса или, что то же самое, с фиксированным модулем момента импульса. Обратим внимание читателя на то, что все преобразования, начавшись как векторные, завершаются расчетами в скалярной форме, и понятно, что из таких расчётов естественном путём вытекает квантование абсолютного значения векторной величины в виде квантования ее квадрата. Необходимое квантовое число назовем l и далее получим его значение.

7. Напоминаем, что волновые функции Модели задачи пространственного вращенияявляются собственными функция-ми операторов Модели задачи пространственного вращенияи Модели задачи пространственного вращения. На основании уравнений и можно записать

Модели задачи пространственного вращения (20)

а из уравнений (4.58) и (4.70) следует

Модели задачи пространственного вращения (21)

При вычитании (21) из (20) получаем операторное уравнение (22) с конкретным собственным значением Модели задачи пространственного вращеният.е.

Модели задачи пространственного вращения. (22)

Целесообразно построить такую последовательность сомножителей из операторов сдвига, которая непосредственно приводила бы к ожидаемому результату (4.91).

8. Для этого исследуем произведение операторов вида Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения.

Подставляя коммутатор, получим

Модели задачи пространственного вращения (23)

Совершенно аналогично

Модели задачи пространственного вращения (24)

или при совместной записи

Модели задачи пространственного вращения (25)

В этих формулах привлекательно то, что результат произведения двух операторов сдвигов выражается через операторы с действительными собственными значениями, как это следует из сопоставления правых частей уравнений (22) – (20), с одной стороны, и уравнений (20) и (21) – с другой.

9. Все коммутационные соотношения операторов момента импульса и его проекций, найденные в этом разделе, удобно свести в одну таблицу 4.З. . В строках таблицы указаны левые операторы-сомножители, а в столбцах – правые. На пересечении строки и столбца находится коммутатор соответствующих операторов.

Обращаем внимание читателя на антисимметричный характер таблицы коммутаторов относительно главной диагонали, т.е. элементы, одинаково расположенные по разные стороны последней отличаются только знаками. Таким образом, при изменении порядка записи операторов–сомножителей коммутатор меняет знак.


Таблица 1. Коммутаторы операторов момента импульса


Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения1 Модели задачи пространственного вращения2

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

0 0 0 0 0 0

Модели задачи пространственного вращения

0 0

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

0

Модели задачи пространственного вращения

0

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

0

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

0

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

0

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

0

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

0

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

Модели задачи пространственного вращения

0
Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: