Xreferat.com » Рефераты по химии » Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Министерство общего и профессионального образования РФ


Дипломная работа

«Теория симметрии молекул»


Содержание


Введение

Глава 1 Элементы теории групп симметрии молекул

1.1 Операции симметрии молекул

1.2 Групповые постулаты

1.3 Классы смежности и классы сопряженных элементов

1.4 Факторизация групп

Глава 2 Введение в теорию представлений групп симметрии молекул

2.1 Векторные (линейные) пространства

2.2 Эвклидовы и унитарные пространства

2.3 Матрицы

2.4 Представления групп

2.5 Характеры представлений

2.6 Операторы проектирования

Заключение

Список использованной литературы


Введение


Понятие симметрии играет важную роль во всех естественных науках. Свойствами симметрии обладают структуры многих молекул, ионов, образуемых ими реагирующих систем.

Математической основой теории симметрии является теория групп. Понятие группы – предмет теории групп.

Множество G с бинарной операцией называется группой, если:

1. Операция ассоциативна, т. е. Теория симметрии молекул для любых a, b, c из G.

2. Операция гарантирует единицу, т. е. в G существует такой элемент е – он называется единицей, - что Теория симметрии молекул для любого а из G.

3. Операция гарантирует обратные элементы, т. е. для любого а из G существует в G такой элемент а-1 – он называется обратным к а, - что Теория симметрии молекул.

В теории молекулярной симметрии понятие представления группы играет центральную роль. Учитывая это, дадим определение представления группы, используя различные математические объекты, представляющие группу.

Представлением группы, действующим в n-мерном векторном пространстве V, называется гомоморфизм этой группы в группу невырожденных линейных операторов пространства V.

Задача настоящей работы состояла в самостоятельном изучении основных понятий и методов данной области и рассмотрении примеров по изучаемым темам.

В процессе написания были проработаны следующие разделы: операции симметрии молекул; классы смежности и факторизация групп; векторные, эвклидовы и унитарные пространства; представления групп и характеры представлений; операторы проектирования. Материал разбит на две главы, которые в свою очередь разбиваются на параграфы. На протяжении всего теоретического материала рассматриваются примеры, которые иллюстрируют применение изучаемых вопросов. Так большинство примеров показаны на множестве операций симметрии молекул аммиака NH3 – группе C3V.


Глава 1 Элементы теории групп симметрии молекул


1.1 Операции симметрии молекулы


1. Элементы и операции симметрии молекулы

Под геометрической конфигурацией молекулы или иона будем понимать пространственное расположение ядер атомов в молекуле или ионе относительно друг друга. Геометрическую конфигурация молекулы можно охарактеризовать, построив модель молекулы. Впервые модели молекул из шаров и стержней были построены в 1810 г. Джоном Дальтоном. Современные представления о структуре молекулы являются более точными благодаря применению точных экспериментальных методов определения этой структуры (оптические и дифракционные методы). Использовав эти методы, мы можем построить геометрическую модель молекулы в виде конечной фигуры.

Важной особенностью современных представлений о строении молекул является наличие симметрии молекул.

Определение 1. Отображением множества M на множество N называется правило f, которое каждому элементу m из множества M ставит в соответствие элемент n из множества N, называемый образом элемента m, при этом каждый элемент множества N является образом хотя бы одного элемента из множества M.

Если M=N, то говорят об отображении множества М на себя.

Определение 2. Операцией симметрии конечной фигуры называется ее изомерическое (т. е. сохраняющее расстояние между точками фигуры) отображение на себя.

Рассматривая эти примеры, приходим к заключению, что помимо геометрической модели, с молекулой аммиака необходимо связать геометрические образы – прямую C3 и плоскость Теория симметрии молекул, которые не принадлежат модели хотя бы потому, что они бесконечны

Операции симметрии пространственной фигуры, соответствующей молекуле, называются операциями симметрии молекулы.

Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулВ качестве примера рассмотрим молекулу аммиака NH3. Ее геометрическая конфигурация имеет форму правильной треугольной

Теория симметрии молекулРис. 1 пирамиды.


К числу операций симметрии правильной треугольной пирамиды относятся повороты, совмещающие ее с собой. Точки N и O определяют ось поворота, которую обозначим через С3. Повернем пирамиду вокруг этой оси на 120о против часовой стрелки. Указанный поворот обозначим через Теория симметрии молекул. На рис. 1, б изображена фигура (результат поворота), которая совмещается с исходной (рис. 1, а) при наложении. Рассмотрим отражение в плоскости Теория симметрии молекул, совмещающее фигуру с собой, и обозначим его Теория симметрии молекул. Очевидно, что Теория симметрии молекул, как и Теория симметрии молекул, является операцией симметрии молекулы аммиака, так как операции Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул не изменяют расстояний между точками фигуры NH3.

Рассматривая эти примеры, приходим к заключению, что помимо геометрической модели, с молекулой аммиака необходимо связать геометрические образы – прямую C3 и плоскость Теория симметрии молекул, которые не принадлежат модели хотя бы потому, что они бесконечны.

Определение 3. Элементом симметрии молекулы называется вспомогательный геометрический образ (точка, прямая, плоскость), характеризующий некоторое множество операций симметрии фигуры, изображающей молекулу.

Например, ось C3 характеризует множество операций симметрии, состоящее из рассмотренного нами поворота Теория симметрии молекул, а также поворотов Теория симметрии молекул на 240о и Теория симметрии молекул на 360о против часовой стрелки молекулы аммиака. Поворот Теория симметрии молекул называется тождественной операцией симметрии. При этой операции симметрии все точки геометрической модели молекулы отображаются в себя. Плоскость Теория симметрии молекул характеризует множество операций симметрии, состоящее из Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул.

Элементы симметрии не следует путать с операциями симметрии. Элементы симметрии будем обозначать буквами, а операции симметрии – буквами «со шляпками» над ними.

Рассмотрим множество, элементами которого являются всевозможные операции симметрии молекулы, для случая молекулы аммиака. Четыре элемента Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул, Теория симметрии молекул этого множества мы уже нашли. Кроме плоскости Теория симметрии молекул (рис. 1, а), молекула аммиака имеет еще две плоскости симметрии Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул, содержащие прямые NH(2) и NH(3) соответственно. С плоскостями Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул связаны операции симметрии Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул. Множество операций симметрии молекулы аммиака может быть обозначено следующим образом:


Теория симметрии молекул.


2. Классификация элементов симметрии молекулы

1. Поворотная ось Cn порядка n. Поворотной осью симметрии n-го порядка называется ось Cn, при повороте вокруг которой на угол a=2p/n молекула совмещается сама с собой. Примеры: C3 – для случая молекулы аммиака; C2 (рис. 2, а) – для случая молекулы воды; C6 – для случая молекулы бензола (рис. 2, б).


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул


2. Поворотная ось бесконечного порядка CҐ. Это поворотная ось, при повороте вокруг которой на любой угол молекула совмещается с собой. Примером может служить любая линейная молекула, например, молекула ацетилена C2H2 (рис. 3).


Теория симметрии молекул

Рис. 2


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул

Рис. 3

Теория симметрии молекул3. Плоскость симметрии. Плоскостью симметрии молекулы называется плоскость, при отражении в которой молекула совмещается сама с собой. Пример молекулы с вертикальной плоскостью симметрии уже приведен (молекула аммиака). У бензола C6H6 (рис. 2, б) есть плоскость симметрии Теория симметрии молекул - плоскость, в которой лежат атомы этой молекулы. При этом следует иметь ввиду, что поворотная ось высшего порядка всегда условно принимается за вертикальную.

Диагональную плоскость симметрии имеет молекула метана (рис. 4). Геометрической моделью CH4 является тетраэдр, в вершине которого расположены атомы водорода. Диагональная плоскость симметрии sd заштрихована. При отражении в плоскости sd атомы водорода, находящиеся в плоскости, переходят в себя, а атомы, расположенные симметрично этой плоскости, переходят друг в друга.

4. Центр симметрии. Это точка i, при отражении в которой молекула совмещается сама с собой, например, молекула трансдихлорэтилена C2Cl2H2 (рис. 5).


Теория симметрии молекул

Рис. 5


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекул5. Зеркально-поворотная ось n-го порядка Sn. Зеркально-поворотной осью n-го порядка называется ось, при повороте вокруг которой на угол a=2p/n с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к этой оси, молекула совмещается сама с собой.

Теория симметрии молекулПримером молекул, обладающих такой осью, может служить молекула метана CH4.


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекул

Рис. 6


Теория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулТеория симметрии молекулНа рис. 6 показана зеркально-поворотная ось симметрии четвертого порядка S4. Из рис. 6 можно видеть, что при повороте на угол a=2p/4 вокруг оси S4 против часовой стрелки атомы H(i) переходят в места, указанные звездочками. Совершив затем отра-

Теория симметрии молекулжение в заштрихованной горизонтальной плоскости, получим, что все звездочки перейдут в соответствующие атомы, т. е. в результате зеркального поворота S4 атом H(1) перейдет в H(3), H(2) – в H(4), H(3) – в H(2), H(4) – в H(1).


1.2 Групповые постулаты


1. Алгебраические операции

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве М, называется правило, согласно которому каждые два элемента a и b множества М, взятые в определенном порядке, однозначно сопоставляются с элементом с из этого множества, называемым результатом выполнения операции.

Рассмотрим в качестве общего примера множество операций симметрии молекулы. Под произведением операций симметрии Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекул будем понимать их последовательное выполнение. Первые два требования к алгебраической операции, очевидно, выполняются. Проверим выполнение третьего условия из определения алгебраической операции.

Операция симметрии Теория симметрии молекул совмещает геометрическую модель с собой, и если после выполнения операции Теория симметрии молекул мы выполнили операцию Теория симметрии молекул, модель снова совместится сама с собой. Проверим изометричность произведения Теория симметрии молекул. Пусть геометрическая модель молекулы изображена на рисунке в виде фигуры F. Операции симметрии этой фигуры являются операциями симметрии молекулы. Пусть x и y – любые две точки фигуры F и пусть при операции Теория симметрии молекул точки x и y переходят в точки xў и yў соответственно, что запишем в виде xў=xТеория симметрии молекул, yў=yТеория симметрии молекул. Аналогично, пусть xўў=xўТеория симметрии молекул, yўў=yўТеория симметрии молекул. Тогда при последовательном выполнении операций Теория симметрии молекули Теория симметрии молекул, т. е. в результате выполнения операции Теория симметрии молекул, получаем xўў=xТеория симметрии молекул, yўў=yТеория симметрии молекул. Так как Теория симметрии молекул изометрично, то r(x, y)=r(xў, yў), где r(x, y) обозначает расстояние между точками x и y, а r(xў, yў) – расстояние между точками xў, yў. Поскольку Теория симметрии молекултоже изметрично, то r(xў, yў)=r(xўў, yўў). Из полученных равенств следует, что r(x, y) =r(xўў, yўў), т. е. Теория симметрии молекул изометрично. Так как самосовмещение фигуры есть ее отображение на себя, то Теория симметрии молекул есть изометрическое отображение фигуры F на себя, т. е. операция симметрии фигуры. Поскольку Теория симметрии молекул и Теория симметрии молекулможно считать любыми элементами множества операций симметрии молекулы, третье условие из определения алгебраической операции выполнено.

2. Таблица Кэли

Подобно тому, как существует таблица умножения натуральных чисел, можно составить таблицу умножения в множестве операций симметрии молекулы. Эта таблица называется таблицей Кэли (или квадратом Кэли). Для того, чтобы понять общий принцип составления таких таблиц, запишем таблицу Кэли для случая множества операций симметрии молекулы аммиака NH3 (табл. 1).

Таблица 1

Квадрат Кэли группы C3V

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория симметрии молекул

Теория
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: