Xreferat.com » Рефераты по химии » Пространственное движение одной частицы

Пространственное движение одной частицы

О математическом описании многомерных систем


Конфигурационное пространство


Ознакомившись со свойствами волновых функций и уровней одномерных стационарных систем, мы сделали лишь первый шаг к оформлению математических основ теории химической связи. Далее предстоит рассмотрение стационарных пространственных движений одной частицы. Такие модели реалистичнее передают черты физических явлений, но это связано с усложнением математического аппарата.

При переходе к описанию пространственного движения частицы число координат возрастает до трёх, т.е. конфигурационное пространство переменных в этом случае – обычное трёхмерное пространство, соответствующее трём степеням свободы. Геометрические образы волновых функций подобны образам полей, распределенным в объёме. Если же система содержит не одну, а две частицы, то независимых пространственных координат уже шесть, конфигурационное пространство шестимерно. Не следует считать, что это какая-то исключительная ситуация: атом водорода содержит два частицы – ядро и электрон, и эта система полностью описывается с помощью 6 координат. При переходе к N-частичной системе размерность конфигурационного пространства соответственно увеличивается до ЗN.

Геометрическая наглядность при анализе волновых функций таких многомерных систем недостижима. Поэтому для химии особенно важны такие модели, которые допускают построение наглядных графических образов. Этому условию отвечает пространственное движение одной частица.


4.1.2. Дифференциальные уравнения в частных производных и метод разделения переменных


4.1.2.1. Многие фундаментальные теоретические модели физики построены с использованием математического аппарата теории дифференциальных уравнений в частных производных. Напомним читателю, что само понятие частной производной восходит к стремлению изучить поведение многомерной функции при изменении лишь одной из независимых переменных без затрагивания прочих. Сложная многомерная проблема как бы разделяется на набор одномерных задач, которые по отдельности намного легче поддаются анализу. Позволим себе сравнить ситуацию с мно­гоголосием в музыкальном произведении: каждая одноголосная партия проста, и её может воспроизвести даже нёискушенный исполнитель, но полифония требует уже изрядной подготовки.

4.1.2.2. Уравнение Шредингера относится к числу дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. В принципе оно должно включать все координаты каждой из частиц в качестве аргументов, т.е. соответствующее конфигурационное пространство 3N–мерно. Сложность решения уравнения Шредингера возрастает с увеличением числа переменных, поэтому необходимы физически обоснованные способы упрощения задач такого рода. К счастью, существует очень простой и эффективный прием, на­зываемый методом разделения переменных, который предложен Фурье. Обсудим кратко основы этого метода.

4.1.2.3. Для простоты рассмотрим всего две независимые пере­менные Пространственное движение одной частицы и определим в таком конфигурационном пространстве, во-первых, некоторую функцию F или семейство функций и, во-вто­рых, некоторый линейный оператор Пространственное движение одной частицы. Этот оператор может содер­жать в качестве слагаемых и сами переменные, и функции от них, например, Пространственное движение одной частицы, и операторы частного дифференцирования первого порядка Пространственное движение одной частицы и Пространственное движение одной частицы, и второго порядка, включая перекрёстное дифференцирование, т.е. Пространственное движение одной частицы. Вообще го­воря, можно и не ограничиваться вторым порядком дифференцирования, но для наших задач его достаточно. Перед производными в качестве коэффициентов могут быть также функции от переменных х и у. Так что дифференциальное уравнение для семейства функций представится в виде

Пространственное движение одной частицы. (4. I)

4.1.2.4. В самом простом случае для разделения переменных в уравнении (4.1) необходимо, чтобы оператор Пространственное движение одной частицы допускал группиров­ку всех выражений и действий над каждой из переменных в отдельные слагаемые, например Пространственное движение одной частицы и Пространственное движение одной частицы. Вводимые нами символы операторов красноречиво указывают на преобразуемые ими переменные и не требу­ют дополнительных пояснения. Итак, оператор Пространственное движение одной частицы должен быть пред­ставлен в аддитивной форме

Пространственное движение одной частицы (4.2)

Для разделения переменных в дифференциальном уравнении (4.1) искомую функцию F(x,y) следует представить в виде произведения двух сомножителей X(x) и Y(у), каждый из ко­торых является неизвестной функцией лишь одного аргумента:

Пространственное движение одной частицы, (4.3)

или Пространственное движение одной частицы

4.1.2.5. Аддитивный характер оператора и мультипликативная структура функции позволяет разделить переменные в дифференциальном уравнении (4.1). Подставив в него (4.2) и (4.3), получим

Пространственное движение одной частицы (4.4)

Дальнейшая процедура состоит в следующем:

слева умножаем выражение (4.4) на Пространственное движение одной частицы;

преобразуем дифференциальное уравнение (4.4), учитывая, что операторы Пространственное движение одной частицы и Пространственное движение одной частицы не затрагивают чужую переменную и не изменяют функции от неё;

производим сокращения и

разделяем переменные.

Пространственное движение одной частицы

или Пространственное движение одной частицы (4.5)

4.1.2.6. В силу независимости аргументов функций X и Y, а также и преобразований над ними, выражение (4.5) следует приравнять посто­янной величине, а именно

Пространственное движение одной частицы (4.6)

Цепочка равенств (4.6) – это не что иное, как система двух дифференциальных уравнений, связанных между собой лишь постоянной Пространственное движение одной частицы, которая в каждой конкретной задаче находится из дополнительных математических или физических условий. Систему можно записать так

Пространственное движение одной частицы Пространственное движение одной частицы Пространственное движение одной частицы (4.7)

Каждое из дифференциальных уравнений системы (4.7) включает лишь одну переменную и решается самостоятельно.

4.1.2.7. Такая схема легко распространяется на конфигурационное пространство Пространственное движение одной частицы В таком случае общее выра­жение для дифференциального уравнения (4.1) выглядит следующим образом

Пространственное движение одной частицы . (4.8)


4.1.2.8. Одномерные операторы–слагаемые Пространственное движение одной частицы , на которые разлагается многомерный оператор Пространственное движение одной частицы , с одной стороны, построены на разных переменных, Пространственное движение одной частицы а с другой стороны, могут иметь разную конструкцию, хотя это и не обязательно. Последнее их отли­чие отметим ниже индексами a,b,c... Основное условие возможно­сти разделения переменных выражается формулой, определяющей адди­тивную структуру оператора

Пространственное движение одной частицы (4.9)


4.1.2.9. Аддитивность оператора (4.9) порождает мультиплика­тивность решения уравнения (4.8), т.е.

Пространственное движение одной частицы (4.10)

Подставляя (4.9) и (4.10 ) в (4.8), получаем

Пространственное движение одной частицы (4.11)

Каждый из одномерных операторов дифференцирования преобразу­ет лишь ту функцию-сомножитель которая содержит его же аргумент. Остальные функции-сомножители без нарушения равносильности уравнения (4.11) можно вынести влево за такой оператор:

Пространственное движение одной частицыПространственное движение одной частицы

4.1.2.10 соответствии с методом Фурье, слева домножаем выражение на Пространственное движение одной частицыи получаем

Пространственное движение одной частицы

Отделяя любое из слагаемых, например, первое, вводим первую из констант Пространственное движение одной частицы связывающих отдельные компоненты решения

Пространственное движение одной частицыПространственное движение одной частицыи т.д.

Пространственное движение одной частицыПространственное движение одной частицы

Пространственное движение одной частицы (4.12)


4.1.2.11. Суммируя левые части уравнений системы (4.12) и все константы в правой части, получаем

Пространственное движение одной частицыПространственное движение одной частицы

т.е.Пространственное движение одной частицы или Пространственное движение одной частицы (4.13)

Таким образом, параметры отдельных одномерных дифференциальных уравнений оказываются связанными между собой равенством (4.13).


4.1.2.12.При разделении переменных многомерного дифференци­ального уравнения можно их предварительно группировать. В таком случае в выражениях (4.8 ) – (4.10)под каждым из символовПространственное движение одной частицы может подразумеваться целый набор переменных. Именно таким об­разом производится анализ движения в системе многих частиц. Внача­ле очень сложное и громоздкое исходное уравнение всегда претерпе­вает подготовительное преобразование, состоящее в том, что произ­водится выделение отдельных уравнений, относящихся к индивидуальным частицам.


4.1.2.13. Встречаются ситуации, когда, на первый взгляд, раз­делить переменные невозможно, так как оператор Пространственное движение одной частицы содержит слож­ные функции, включающие все эти переменные либо часть из них. В таких случаях часто к цели ведёт замена переменных, например, пе­реход от декартовых координат х, у к полярным или к комбинации исходных декартовых. Преобразования, связанные со сменой координат, и в классической и в квантовой механике являются самым обычным делом. Выбор подходящей системы переменных часто подсказывает выра­жение потенциальной энергии Пространственное движение одной частицы. Ниже мы встретимся с такими примерами.


4.1.2.14. Следует отметить, что простая аддитивная форма опе­ратора Пространственное движение одной частицы не является непременным условием разделения переменных в дифференциальном уравнении (4.8). Встречаются и более сложные конструкции операторов, допускающие возможность использования основных принципов решения дифференциальных уравнений в частных про­изводных по методу Фурье с разделением переменных. Ниже мы столкнемся с такими случаями.

Различным комбинациям квантовых чисел Пространственное движение одной частицы может отвечать одно и то же значение суммы квадратов Пространственное движение одной частицы В этом случае все такие состояния относятся к одному вырожденному уровню. Обозначим их число – кратность вырождения уровня – буквой g. На примере шести низших уровней кубического "ящика" проследим их вырождение . Для этого, как обычно, составим таблицу состояний и уровней (табл. 4. 1.) и изобразим энергетическую диаграмму этой системы ( рис. 4.1.).

Квантовые числа состояний

(Пространственное движение одной частицы)

Энергетические уровни

Пространственное движение одной частицы

Кратность вырождения уровня g

1,1,1

3Пространственное движение одной частицы

1

1,1,2

1,2,1

2,1,1

6Пространственное движение одной частицы

3

1,2,2

2,1,2

2,2,1

9Пространственное движение одной частицы

3

1,1,3

1,3,1

3,1,1

11Пространственное движение одной частицы

3
2,2,2

12Пространственное движение одной частицы

1

1,2,3

1,3,2

2,1,3

3,1,2

2,3,1

3,2,1


14Пространственное движение одной частицы


6


Вырождение энергетических уровней кубического “ящика" связано с его высокой пространственной симметрией. Сжатие или удлинение куба вдоль какого-либо направления (при этом параметр a принимает разные значения ) поникает симметрию системы и приво­дит к снятию вырождения уровней. Следует указать, что такая законо­мерность является универсальной: чем выше симметрия системы, тем больше кратность вырождения её уровней. При понижении симметрии происходит расщепление ранее вырожденных уровней.

Как у всякой функции трёх переменных, у волновой функции пространственной системы передать графически можно лишь отдельные свойства, тогда, как её полный графический образ практически недоступен.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: