Xreferat.com » Рефераты по экономике » Линейная регрессия

Линейная регрессия

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования


Всероссийский Заочный Финансово-Экономический институт

Филиал г. Тула


Контрольная работа

по дисциплине "Эконометрика"

Вариант 8


Выполнила:

Проверил:


Тула

2008

Задача 1


По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Линейная регрессия, млн. руб.) от объема капиталовложений (Линейная регрессия, млн. руб.).

Требуется:

Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков Линейная регрессия; построить график остатков.

Проверить выполнение предпосылок МНК.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента Линейная регрессия

Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью Линейная регрессия-критерия Фишера Линейная регрессия, найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Линейная регрессия при уровне значимости Линейная регрессия, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Представить графически: фактические и модельные значения Линейная регрессия точки прогноза.

Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.


Вариант 8

Линейная регрессия

17 22 10 7 12 21 14 7 20 3

Линейная регрессия

26 27 22 19 21 26 20 15 30 13

Решение:

Уравнение линейной регрессии имеет следующий вид:


Линейная регрессия


Таблица 1

наблюдения

X

Y

X2

X·Y

1

17 26 289 442

2

22 27 484 594

3

10 22 100 220

4

7 19 49 133

5

12 21 144 252

6

21 26 441 546

7

14 20 196 280

8

7 15 49 105

9

20 30 400 600

10

3 13 9 39

Сумма

133

219

2161

3211

Ср. значение

13,3

21,9

216,1

321,1


Найдем b:

Линейная регрессия


Тогда Линейная регрессия

Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷx =11,779+0,761x.

Коэффициент регрессии показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. рублей объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 761 тыс. рублей.

Вычислим остатки при помощи. Получим:


Таблица 2

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение

Линейная регрессия

Остатки Линейная регрессия

Линейная регрессия

1


24,72

1,284 1,649

2

28,52 -1,521 2,313

3

19,39 2,611 6,817

4

17,11 1,894 3,587

5

20,91 0,089 0,008

6

27,76 -1,76 3,098

7

22,43 -2,433 5,919

8

17,11 -2,106 4,435

9

27 3,001 9,006

10

14,06 -1,062 1,128

Сумма

219 -0,003 37,961

Найдем остаточную сумму квадратов:


Линейная регрессия

Дисперсия остатков равна:


Линейная регрессия.


График остатков имеет следующий вид:


График 1

Линейная регрессия


Проверим выполнение предпосылок МНК.

Случайный характер остатков.

Случайный характер остатков εi проверяется по графику. Как видно из графика 1 в расположении точек εi нет направленности (на графике получена горизонтальная полоса). Следовательно, εi – случайные величины и применение МНК оправдано.

Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.

Так как расположение остатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в виде горизонтальной полосы), то они независимы от значений фактора xi. Следовательно, модель адекватна.

Проверка гомоскедастичности остатков.

Выборка у нас малого объема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем метод Голдфельда - Квандта.

Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х.

Разделим на две группы - с большим и меньшим x, и для каждой группы определим уравнения регрессии.


Таблица 3


х

y

x·y

x2

ŷ

εi=yii

ε2

1 3 13 39 9 13,181 -0,181 0,033
2 7 19 133 49 17,197 1,803 3,251
3 7 15 105 49 17,197 -2,197 4,827
4 10 22 220 100 20,209 1,791 3,208
5 12 21 252 144 22,217 -1,217 1,481

Сумма

39 90 749 351

12,799

Ср.знач

7,8 18 149,8 70,2



х

y

x·y

x2

ŷ

εi=yii

ε2

1 14 20 280 196 21,672 -1,672 2,796
2 17 26 442 289 24,252 1,748 3,056
3 20 30 600 400 26,832 3,168 10,036
4 21 26 546 441 27,692 -1,692 2,863
5 22 27 594 484 28,552 -1,552 2,409

Сумма

94 129 2462 1810

21,159

Ср.знач

18,8 25,8 492,4 362


Линейная регрессия


Линейная регрессия


Линейная регрессия


Линейная регрессия


Линейная регрессия


Линейная регрессия


3) Рассчитаем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.


Линейная регрессия,


Линейная регрессия.


4) Вычислим F- распределения.


Fнабл=S2ŷ/S1ŷ =1,653.

5) Произведем сравнение Fнабл и Fтабл.

1,653<5,32 (при k1=1 и k2=n–2=10–2=8), следовательно, гетероскедастичность места не имеет, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.

Отсутствие автокорреляции.

Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:


Таблица 4


εi

εi-1

εi- εi-1

(εi- εi-1)2

1

1,284


2

-1,521 1,284 -2,805 7,868

3

2,611 -1,521 4,132 17,073

4

1,894 2,611 -0,717 0,5141

5

0,089 1,894 -1,805 3,258

6

-1,760 0,089 -1,849 3,4188

7

-2,433 -1,760 -0,673 0,4529

8

-2,106 -2,433 0,327 0,1069

9

3,001 -2,106 5,107 26,081

10

-1,062 3,001 -4,063 16,508

Сумма




75,282

Линейная регрессия ; d=75,282/37,961=1,983.


Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной автокорреляции.

Остатки подчиняются нормальному закону распределения.

Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента Линейная регрессия

Линейная регрессия; Линейная регрессия,


Линейная регрессия; Линейная регрессия,


где Линейная регрессия


Тогда Линейная регрессия, Линейная регрессия; Линейная регрессия и Линейная регрессия


tтабл=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы); tа и tb> tтабл, что говорит о значимости параметров модели.

Коэффициент детерминации находится по формуле:


Линейная регрессия.


Данные возьмем из таблицы 5:

Таблица 5

x

y

Линейная регрессия

Линейная регрессия

Линейная регрессия

Линейная регрессия

Линейная регрессия

Линейная регрессия

1

17 26

3,7


4,1

13,69 16,81 1,284 4,938

2

22 27 8,7 5,1 75,69 26,01 -1,521 5,633

3

10 22 -3,3 0,1 10,89 0,01 2,611 11,868

4

7 19 -6,3 -2,9 39,69 8,41 1,894 9,968

5

12 21 -1,3 -0,9 1,69 0,81 0,089 0,424

6

21 26 7,7 4,1 59,29 16,81 -1,760 6,769

7

14 20 0,7 -1,9 0,49 3,61 -2,433 12,165

8

7 15 -6,3 -6,9 39,69 47,61 -2,106 14,040

9

20 30 6,7 8,1 44,89 65,61 3,001 10,003

10

3 13 -10,3 -8,9 106,09 79,21 -1,062 8,169

Сумма

133

219



392,1

264,9


83,979

Ср. знач.

13,3

21,9








Для проверки значимости модели используем F-критерий Фишера:


Линейная регрессия.


Fтабл=5,32 (k1=1, k2=8 степенями свободы) ;

F>Fтабл, что говорит о значимости уравнения регрессии.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:


Линейная регрессия;


В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,4%.

Поскольку найденная средняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, то можно утверждать, что модель имеет хорошее качество.

Ширина доверительного интервала находится по формулам:


Линейная регрессия


Линейная регрессия


Линейная регрессия


где tα=1,86 при m=n-2=8 и α=0,1

Т.о.


Линейная регрессия


Верхн. граница: 25,173+4,34=29,513

Нижн. граница: 25,173-4,34=20,833


Таблица 6

Нижняя граница Прогноз Верхняя граница
20,83 25,17 29,51

Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на графике 2.


График 2

Линейная регрессия


Составить уравнения нелинейной регрессии:

Гиперболической

Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х.

Тогда уравнение примет вид: ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимые для нахождения параметров приведены в таблице 6


Таблица 7

y

x

X

X2

Xy

ŷ

εi

εi2

Линейная регрессия

1 26 17 0,0588 0,0035 1,5294 24,41 1,59 2,52 6,11
2 27 22 0,0455 0,0021 1,2273 25,10 1,90 3,61 7,04
3 22 10 0,1000 0,0100 2,2000 22,29 -0,29 0,09 1,33
4 19 7 0,1429 0,0204 2,7143 20,09 -1,09 1,18 5,72
5 21 12 0,0833 0,0069 1,7500 23,15 -2,15 4,63 10,24
6 26 21 0,0476 0,0023 1,2381 24,99 1,01 1,02 3,89
7 20 14 0,0714 0,0051 1,4286 23,76 -3,76 14,16 18,82
8 15 7 0,1429 0,0204 2,1429 20,09 -5,09 25,88 33,91
9 30 20 0,0500 0,0025 1,5000 24,87 5,13 26,35 17,11
10 13 3 0,3333 0,1111 4,3333 10,28 2,72 7,38 20,90

Сумма

219

133

1,0757

0,1843

20,0638



86,82

125,07

Ср.знач.

21,9

13,3

0,1076

0,0184

2,0064






Линейная регрессия


Значение параметров а и b линейной модели определим по формулам:


Линейная регрессия


Уравнение регрессии будет иметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.

Перейдем к исходным переменным, получим уравнение гиперболической модели:


Линейная регрессия.


Линейная регрессияГрафик 3


Степенная

Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a · xb

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:


lg ŷ = lg a + b lg x


Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; X = lg x

Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 8:


Таблица 8

y

x

Y

X

YX

X2

ŷ

εi

εi2

Линейная регрессия


26 17 1,4150 1,2304 1,7411 1,5140 24,545 1,45 2,12 5,60

27 22 1,4314 1,3424 1,9215 1,8021 27,142 -0,14 0,02 0,52

22 10 1,3424 1,0000 1,3424 1,0000 19,957 2,04 4,17 9,29

19 7 1,2788 0,8451 1,0807 0,7142 17,365 1,63 2,67 8,60

21 12 1,3222 1,0792 1,4269 1,1646 21,427 -0,43 0,18 2,04

26 21 1,4150 1,3222 1,8709 1,7483 26,654 -0,65 0,43 2,51

20 14 1,3010 1,1461 1,4911 1,3136 22,755 -2,76 7,59 13,78

15 7 1,1761 0,8451 0,9939 0,7142 17,365 -2,37 5,59 15,77

30 20 1,4771 1,3010 1,9218 1,6927 26,151 3,85 14,81 12,83

13 3 1,1139 0,4771 0,5315 0,2276 12,479 0,52 0,27 4,01

Сумма

219

133

13,2729

10,5887

14,3218

11,8913



37,86

74,94

Ср.знач.

21,9

13,3

1,3273

1,0589

1,4322

1,1891






Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:

Линейная регрессия


Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:


Линейная регрессия


Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:


ŷ=100,91 · x0,39


ŷ =8,13 · x0,39.


График 4

Линейная регрессия

Показательная

Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a · bx

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:


lg ŷ = lg a + x lg b


Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; B = lg b

Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx - линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.


Таблица 9

№наблюдения

y

x

Y

Yx

x2

ŷ

εi

εi2

Линейная регрессия

1 26 17 1,4150 24,0545 289 24,564 1,436 2,06

5,52

2 27 22 1,4314 31,4900 484 29,600 -2,600 6,76 9,63
3 22 10 1,3424 13,4242 100 18,920 3,080 9,49 14,00
4 19 7 1,2788 8,9513 49 16,917 2,083 4,34 10,96
5 21 12 1,3222 15,8666 144 20,385 0,615 0,38 2,93
6 26 21 1,4150 29,7144 441 28,516 -2,516 6,33 9,68
7 20 14 1,3010 18,2144 196 21,964 -1,964 3,86 9,82
8 15 7 1,1761 8,2326 49 16,917 -1,917 3,68 12,78
9 30 20 1,4771 29,5424 400 27,472 2,528 6,39 8,43
10 13 3 1,1139 3,3418 9 14,573 -1,573 2,47 12,10

Сумма

219

133

13,2729

182,8324

2161



45,75

95,84

Ср.знач.

21,9

13,3

1,3273

18,2832

216,1






Линейная регрессия

Значение параметров А и B линейной модели определим по формулам:


Линейная регрессия


Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:


ŷ =101,115·(100,016)x;

ŷ =13,03·1,038x.


График 5

Линейная регрессия


Для указанных моделей найти: R2 – коэффициент детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации А.

Линейная регрессиядля всех моделей = 264,9 (см. таблицу 5).

Степенная модель (см. таблицу 8):

Линейная регрессия;


Линейная регрессия;


Показательная модель (см.таблицу 9):


Линейная регрессия;


Линейная регрессия;


Гиперболическая модель (см. таблицу 7):


Линейная регрессия


Линейная регрессия.


Таблица 10

Параметры

Модели

Коэффициент

детерминации R2

Средняя относительная ошибка аппроксимации А
1. Степенная 0,857 7,5
2. Показательная 0,827 9,6
3. Гиперболическая 0,672 12,5

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R2 к 1, тем выше качество модели.

Чем выше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.

При сравнении гиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R2 и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать лучшей.


Задача 2


Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.


Таблица 1

№ варианта № уравнения Задача 2а Задача 2б


переменные переменные


y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4
8 1 -1 b12 b13 0 a12 a13 0 -1 0 b13 a11 0 a13 a14

2 0 -1 b23 a21 a22 0 a24 b21 -1 b23 0 a22 0 a24

3 0 b32 -1 a31 a32 a33 0 b31 0 -1 a31 0 a33 a34

Решение

2а) Линейная регрессия, тогда система уравнений будет иметь вид:

Линейная регрессия

Линейная регрессия


Модель имеет 3 эндогенные (y1, y2, y3) и 4 экзогенные (x1, x2, x3, x4) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.

1 уравнение: y1= b12y2+b13y3+a12x2+a13x3;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y2, y3; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: х1, х4; D=2

2+1=3 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют х1, х4. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:


Таблица 2

Уравнение переменные

х1

х4

2

a21 a24

3

a31 0

Найдем определитель: Линейная регрессия, ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

1-ое уравнение идентифицируемо.

2 уравнение: y2= b23 y3+a21x1+a22x2+a24x4 ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y2, y3; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х3; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х3. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:


Таблица 3

Уравнение переменные

y1

х3

1

-1 a13

3

0 a33

Найдем определитель: Линейная регрессия, ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

2-ое уравнение идентифицируемо.

3 уравнение: y3= b32y2+a31x1+a32x2+a33x3;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y2, y3; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х4; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х4. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:

Таблица 4

Уравнение переменные

х1

х4

1

-1 0

2

0 a24

Найдем определитель: Линейная регрессия, ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

3-е уравнение идентифицируемо.

В целом вся система уравнений является идентифицируемой.


Решение

2б) Линейная регрессия,


Тогда система уравнений будет иметь вид:


Линейная регрессия Линейная регрессия


Модель имеет 3 эндогенные (y1, y2, y3) и 4 экзогенные (x1, x2, x3, x4) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.

1 уравнение: y1= b13y3+a11x1+a13x3+a14x4;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y3; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х2; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y2, х2. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:


Таблица 5

Уравнение переменные

y2

х2

2

-1 a22

3

0 0

Найдем определитель: Линейная регрессия, следовательно, условие достаточности НЕ выполнено.

1-ое уравнение НЕидентифицируемо.

2 уравнение: y2= b11 y1+b23y3+a22x2+a24x4 ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y2, y3; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: x1, х3; D=2

2+1=3 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют x1, х3. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:


Таблица 6

Уравнение переменные

x1

х3

1

a11 a13

3

a31 a33

Найдем определитель: Линейная регрессия, ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

2-ое уравнение идентифицируемо.

3 уравнение: y3= b31y2+a31x1+a33x3+a34x4;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y1, y3; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х2; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х4. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:


Таблица 7

Уравнение переменные

y2

х2

1

0 0

2

-1 a22

Найдем определитель: Линейная регрессия, следовательно, условие достаточности НЕ выполнено

3-е уравнение НЕидентифицируемо.

В целом вся система уравнений является НЕидентифицируемой, так как первое и третье уравнение – НЕидентифицируемы.

2в) По данным, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: y1=a01+b12y2+a11x1+ε1;


y2=a02+b21y1+a22x2+ε2


Таблица 8

Вариант n y1 y2 x1 x2
8 1 51.3 39.4 3 10

2 112.4 77.9 10 13

3 67.5 45.2 5 3

4 51.4 37.7 3 7

5 99.3 66.1 9 6

6 57.1 39.6 4 1

Решение

Структурную форму модели (СФМ) преобразуем в приведенную форму модели (ПФМ):

Для этого из второго уравнения выражаем y2 и подставляем его в первое, а из первого выражаем y1 и подставляем его во второе уравнение. Получим:


y1=δ11x1+ δ12x2+u1;


y2=δ21x1+ δ22x2+u2,


где u1 и u1 –случайные ошибки ПФМ.


Здесь


Линейная регрессия Линейная регрессия Линейная регрессия Линейная регрессия


В каждом уравнение ПФМ с помощью МНК определим δ – коэффициент.

Для первого уравнения:


Линейная регрессияЛинейная регрессия

Линейная регрессия.

Для решения системы уравнений требуются вспомогательные расчеты, которые представлены в таблице 9, 10.


Таблица 9

n y1 y2 x1 x2
1 51,3 39,4 3 10
2 112,4 77,9 10 13
3 67,5 45,2 5 3
4 51,4 37,7 3 7
5 99,3 66,1 9 6
6 57,1 39,6 4 1
Сумма 439 305,9 34 40
Сред. знач. 73,17 50,98 5,67 6,67

Для упрощения расчетов удобнее работать с отклонениями от средних уровней:


∆у = у - уср; ∆х = х - хср


Таблица 10

n ∆y1 ∆y2 ∆x1 ∆x2 ∆y1∆x1 ∆x12 ∆x1∆x2 ∆y1∆x2 ∆y2∆x1 ∆y2∆x2 ∆x22
1 -21,9 -11,6 -2,7 3,3 58,31 7,11 -8,89 -72,89 30,89 -38,61 11,11
2 39,2 26,9 4,3 6,3 170,0 18,78 27,44 248,48 116,64 170,47 40,11
3 -5,7 -5,8 -0,7 -3,7 3,78 0,44 2,44 20,78 3,86 21,21 13,44
4 -21,8 -13,3 -2,7 0,3 58,04 7,11 -0,89 -7,26 35,42 -4,43 0,11
5 26,1 15,1 3,3 -0,7 87,11 11,11 -2,22 -17,42 50,39 -10,08 0,44
6 -16,1 -11,4 -1,7 -5,7 26,78 2,78 9,44 91,04 18,97 64,51 32,11
-0,2 -0,1 -0,2 -0,2 404,03 47,33 27,33 262,73 256,17 203,07 97,33

С учетом приведенных данных получим:

404,03 = 47,33δ11 + 27,33δ12

262,73 = 27,33δ11 + 97,33δ12

Линейная регрессияЛинейная регрессия

δ12 = 0,36;

Линейная регрессия

С учетом этого первое уравнение ПФМ примет вид:


y1 = 8,33х1 + 0,36х2 + u1


Для второго уравнения определим δ – коэффициент с помощью МНК:


Линейная регрессияЛинейная регрессия

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: