Средние величины и показатели вариации

Содержание

Средняя величина в статистике, ее сущность и условия применения. Виды и формы средних величин

Средняя арифметическая и условия ее применения

Средняя гармоническая и условия ее применения

Понятие, виды и показатели вариации

Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий. Коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение

Дисперсия альтернативного признака

Изучение формы распределения признака. Основные характеристики закономерностей распределения

Список использованной литературы

1. Средняя величина в статистике, ее сущность и условия применения. Виды и формы средних величин

Средние являются обобщенной характеристикой большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. В экономическом анализе их можно считать наиболее употребительными обобщающими показателями. Понимается в статистике под средней величиной обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени. Величины количественного признака у отдельных единиц складываются под действием разнообразных условий (факторов). Одни из этих условий являются общими основными для всех единиц изучаемой совокупности, другие же различны для отдельных единиц и являются поэтому индивидуальными (случайными).

Под влиянием случайных, второстепенных обстоятельств индивидуальные значения признака внутри изучаемой статистической совокупности различаются между собой (варьируют). Например, отдельные работники банка имеют стаж работы различной продолжительности, различный уровень квалификации, различный уровень доходов и т.п.

Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются случайные различия и отражается лишь результат влияния основных факторов и выявляется то общее, типичное, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности, т.е. характерный уровень признака.

Способность средней отражать типичный уровень признака и раскрывать общие закономерности называют законом средних чисел. Этот закон действует при определенных условиях.

Остановимся на некоторых общих условиях применения средних величин.

1. При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака и имеющихся для расчета исходных данных.

2. Средние должны вычисляться на основе массового обобщения факторов. По закону больших чисел при массовом обобщении факторов случайные отклонения индивидуальных величин погашаются в средней величине. Поэтому средняя и выявляет типичный, характерный размер варьирующего признака.

3. Средние должны рассчитываться по качественно однородным совокупностям.

Например, рассчитывают среднюю урожайность конкретного вида культур (среднюю урожайность ржи, картофеля, пшеницы и пр.), среднюю заработную плату работников определенной специальности на конкретном предприятии, средний доход студентов в Государственных вузах и т.п. Средние, полученные для неоднородных совокупностей не характеризуют типичного размера признака. Пример нетипичной средней хорошо показан в рассказе Глеба Успенского «Живые цифры». Там средний доход определялся сложением 1 млн. миллионера Колотушкина и 1 гроша просвирни Кукушкиной и получилось, что он составил 0,5 млн. руб. Такая средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности и не дает представления о величине типичного дохода.

А поскольку качественно однородные совокупности позволяет получить метод группировок, то метод средних величин используется в сочетании с методом группировок.

Например, если рассчитаем средний уровень доходов служащих, то получим фиктивную среднюю. Это объясняется тем, что используемая для расчета средней совокупность, включающая служащих государственных, совместных арендных, акционерных предприятий, а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т.п., является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних нужно использовать в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна – общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т.е. средними рассчитанными по качественно однородным группам. Только при соблюдении этих условий средняя действительно будет отражать типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу совокупности. Однако неправильно сводить роль средних величин только к характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике современная статистика помимо средних, характеризующих типичные значения признаков в однородных совокупностях довольно часто использует еще так называемые системные средние, обобщающие явно неоднородные явления. Например, характеристики государства, как единой народнохозяйственной системы: средняя величина национального дохода на душу населения, средняя урожайность зерновых по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания на душу населения, средний реальный доход на душу населения, производительность общественного труда и др. Системные средние могут характеризовать как пространственные или объектные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.п.). Так и динамические системы протяженные во времени (год, десятилетие, сезон и т.п.). Типическая средняя может обобщать системные средние для однородной совокупности, или системная средняя может обобщать типические средние для единой, хотя и не однородной системы. При этом даже типическая средняя не является раз и навсегда данной, неизменной характеристикой. Поэтому «типичность» любой средней величины – понятие относительное, ограниченное как в пространстве, так и во времени.

Виды средних величин

В статистике отказались от поиска универсальной средней в каждом конкретном случае используется тот вид средней величины, который правильно отражает экономическое содержание показателя.

Средние величины делятся на два больших класса: 1) структурные средние и 2) степенные средние.

В качестве структурных (описательных, непараметрических) средних рассматриваются мода, медиана, квартили, квинтили и децили. Они применяются для изучения внутреннего строения последовательностей значений признака.

Мода - это наиболее часто повторяющееся значение признака. Однако определение величины моды в точном соответствии с таким определением возможно только при достаточно большом количестве наблюдений и при условии, что одна из вариант повторяется значительно чаще, чем все другие варианты, что бывает только при прерывном (дискретном) изменении изучаемого признака. Например, тарифный разряд рабочего и др.

Если признак варьирует непрерывно, то для расчета моды прежде всего необходимо представить первичные данные в форме интервального ряда распределения. Интервалы значений признака в этом ряду распределения могут быть либо равными, либо неравными. Для определения моды интервального ряда выбирается модальный интервал.

Если интервалы равные, то модальным называется тот интервал значений признака, в котором наблюдается наибольшая абсолютная или относительная частота повторяемости признака. И значит, для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле:

(1)

где - нижняя граница модального интервала;

- величина интервала в данном ряду;

- соответственно частоты (частости) в интервалах предшествующем модальному, модальном и следующим за модальным.

Если интервалы неравные, то модальным называется интервал, имеющий наибольшую абсолютную (относительную) плотность распределения. Под абсолютной (или относительной) плотностью распределения понимается отношение частоты (или частости) к величине интервала. Тогда формула расчета моды получит вид:

(2)

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- соответственно абсолютная (или относительная) плотность распределения признака в интервалах предшествующем модальному, модальном и следующим за модальным.

Пример 4.1. Для интервального ряда с равными интервалами построенного в примере 2.1. определим моду.

Решение.

Находим модальный интервал, это – [5-8].

По формуле (1) определим моду.

г.

Наиболее часто в бригаде встречаются работники со стажем 5,75 г.

Графически можно определить по гистограмме ряда (см. Рис. 1)

(число

работников)

5

4

2

2 5 8 11 (стаж)

Рис. 1. Гистограмма ряда распределения работников по стажу работы

Мода используется для решения многих практических задач, прежде всего в тех случаях, когда вычисление средней не имеет реального смысла. Например, не реально было бы исчислять средний размер (номер) проданной обуви, однако здесь интересна модальная величина, как размер, пользующийся наибольшим спросом. При принятии менеджерами швейной либо обувной фирмы решения об ассортименте изготовляемой (или реализуемой) одежды или обуви, прежде всего, устанавливается размер продукции, который пользуется наибольшим спросом (модальный размер). В процессе проведения статистического наблюдения за рыночными ценами в расчет берется модальная цена, т.е. цена, по которой продается максимальное количество товаров того или иного вида. При определении результатов соревнования первые места иногда присуждаются тем из его участников, которые чаще побеждали в течение последних лет.

Так как по своим математическим свойствам мода имеет минимальное число отклонений (ошибок) в ряду распределения, то ею широко пользуются при изучении покупательского спроса, режима работы предприятий, обслуживающих население и т.д.

Медиана - это численное значение признака той единицы изучаемой совокупности, которая расположена в середине ранжированного ряда.

В коллективе работников из 11 человек, ранжированных по целому числу лет стажа работы; стаж работы 6-го работника будет медианой.

В интервальном вариационном ряду медиана определяется по следующей формуле:

(3)

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- номер медианной единицы;

- накопленная частота интервала предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.

Пример 4.3. Определим для ряда распределения работников по стажу работы в примере 2.1.

Решение

Определим номер медианного работника

Рассчитаем накопленные частоты .

Найдем медианный интервал – 5-8.

Определим медиану по формуле (3) и графически.

года

Графически медиану можно определить по кумуляте ряда распределения.

(накопленные

частоты)

11

9

6

4

2 5 8 11 (стаж, годы)

Рис. 2 . Кумулята ряда распределения работников по стажу работы

Медиана также важна в статистической работе. В некоторых случаях (скажем, при контроле качества продукции) медиану используют вместо средней арифметической. При исчислении последней учитываются все значения осредняемого признака, в том числе и исключительные, а величина медианы не зависит от того, какие варианты имеются в начале и в конце вариационного ряда. Получение средней арифметической всегда связано с проведением расчетов; нахождение медианы в первичных рядах не требует никаких расчетов.

Медиана обладает важными свойствами: сумма отклонений вариант от медианы по модулю всегда меньше, чем сумма отклонений вариант от любой другой величины, т.е.

Это свойство медианы широко используется при проектировании расположения пунктов массового обслуживания – бензоколонок, ссыпных пунктов, школ, водозаборных колонок и т.д. Например, если в определенном квартале населения предполагается соорудить водозаборную колонку, то расположить ее целесообразнее в такой точке, которая делит пополам не длину квартала, а число жителей.

Подобно медиане определяются квартили (варианты, делящие ряд на четыре равные части), квинтили (варианты, делящие ряд на пять равных частей) и децили (варианты, делящие ряд на десять равных частей).

Эти характеристики широко используются в социальной статистике. Например, при изучении дифференциации населения по размеру среднедушевого дохода.

Виды и формы степенных средних

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по первичным (не сгруппированным) данным и имеет следующую общую формулу:

,

где - индивидуальные значения признака (варианты);

- число вариант;

- показатель степени.

Взвешенная средняя считается по вторичным (сгруппированным) данным и имеет общую формулу:

где - веса средней, т.е. значения признака, участвующего в определении экономического содержания рассчитываемого показателя.

В зависимости от того, какое значение принимает показатель степени , различают следующие виды степенных средних (см. табл. 1).

Таблица 1