Xreferat.com » Рефераты по экономико-математическому моделированию » Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

1. ОБЩАЯ МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ КРИТЕРИЕВ


Суть предлагаемой методики формирования критериев заключается в реализации следующих пунктов.

1) Из выигрышей аij, i=1,…,m; j=1,…,n, игрока А составляем матрицу А, предполагая, что она удовлетворяет указанным выше условиям: mі2, nі2 и она не содержит доминируемых (в частности, дублируемых) строк.

Выигрыши аij игрока А, представленные в виде матрицы А, дают возможность лучшего обозрения результатов выбора стратегий Аi, i=1,…,m, игроком А при каждом состоянии природы Пj, j=1,…,n.

2) Фиксируем распределение удовлетворяющих условию (1) вероятностей qj=p(Пj), j=1,…,n, состояний природы Пj, j=1,…n, разумеется, если они известны. Таким образом, пункт 2 участвует в методике формирования критерия в случае принятия решения в условиях риска.

3) На основании пунктов 1 и 2 выбираем натуральное число l, 1ЈlЈn, и определенным образом строим матрицу


В=

j

Bi

1 2 l

B1 b11 b12 b1l

B2 b21 b22 b2l


Bm bm1 bm2 bml

размера m x l. Построение конкретной матрицы В порождается содержательной идеей формируемого критерия.

4) Выбираем l из чисел l1,…, ll, удовлетворяющих условиям


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(2)

Назовем их коэффициентами формируемого критерия. Они призваны играть роль количественных оценок некоторых субъективных проявлений игрока А (лица, принимающего решение), а именно степени доверия к распределению вероятностей состояний природы и степени его пессимизма (оптимизма) при принятии решений.

5) Используя матрицу В и коэффициенты l1,…, ll, каждой стратегии Аi, i=1,…,m, игрока А поставим в соответствие число


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(3)

которое назовем показателем эффективности Аi.

Таким образом, показатель эффективности Gi стратегии Аi, i=1,…,m, учитывает определенным образом выигрыши игрока А при этой стратегии, вероятности состояний природы (если они известны) и его субъективные проявления при выборе наиболее эффективной стратегии.

6) Определим цену игры G в чистых стратегиях как максимальный показатель эффективности стратегий Аi, i=1,…,m, т.е.


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(4)

7) Определим оптимальную стратегию.

Оптимальной стратегией назовем стратегию Аk с максимальным показателем эффективности, другими словами, - стратегию, показатель эффективности Gk которой совпадает с ценой игры G:


Gk= G. (5)

Понятно, что такое определение оптимальной стратегии не влечет ее единственности.

Отметим, что по логике этого пункта игрок А, выбирая оптимальную стратегию, максимизирует показатель Gi (см. (5)). Это обстоятельство оправдывает то, что этот показатель мы назвали (в пункте 5) показателем эффективности.


2. ФОРМИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИЗВЕСТНЫХ КРИТЕРИЕВ-ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ


Критерий Байеса ([1], [2], [5], [7]).

1) Пусть А является матрицей выигрышей игрока А.

2) Известны вероятности qj=p(Пj), j=1,…,n, состояний природы Пj, j=1,…,n, удовлетворяющие условию (1). Следовательно, речь идет о принятии решения в условиях риска.

3) Полагаем l=n и матрицу В выбираем равной матрице А, т.е.

bij=aij для всех i=1,…,m и j=1,…,n.

4) Коэффициенты l1,…,ln, выбираем равными соответствующим вероятностям q1,…,qn, т.е. ll=qi, i=1,…,n. Этим самым игрок А выражает полное доверие к истинности распределения вероятностей q1,…,qn, состояний природы.

Из (1) следует, что коэффициенты lj, j=1,…,n удовлетворяют условию (3).

5) Показатель эффективности стратегии Аi по критерию Байеса обозначим через Вi и находим его по формуле (3):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности.

(6)

Очевидно, что Вi – средневзвешенный выигрыш при стратегии Аi с весами q1,…,qn.

Если стратегию Аi трактовать как дискретную случайную величину, принимающую значения выигрышей при каждом состоянии природы, то вероятности этих выигрышей будут равны вероятностям состояний природы и тогда Вi есть математическое ожидание этой случайной величины (см. (6)).

6) Цена игры по критерию Байеса, обозначаемая нами через В, определяется по формуле (4):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


7) Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса является стратегия Аk, для которой показатель эффективности максимален:


Вk=В.


Критерий Лапласа ([1], [2], [5], [7]).

1) Пусть А – матрица выигрышей игрока А.

2) Исходя из теоретических, либо из практических соображений, констатируется, что ни одному из возможных состояний природы Пj, j=1,…,n, нельзя отдать предпочтения. Потому все состояния природы считают равновероятностными, т.е. qj=n-1, j=1,…,n. Этот принцип называют принципом «недостаточного основания» Лапласа. Вероятности qj=n-1, j=1,…,n, удовлетворяют условию (1).

Поскольку вероятности состояний природы известны: qj=n-1, j=1,…,n, то мы находимся в ситуации принятия решения в условиях риска.

3) Пусть l=n, а в качестве матрицы В можно взять матрицу, получающуюся из матрицы А, если каждую строку последней заменить на произвольную перестановку ее элементов. В частности, можем положить В=А. В общем же случае элементы матрицы В имеют вид bij=aikj(i), i=1,…, m; j=1,…,n, где aik1(i), aik2(i),…,aikn(i) – некоторая перестановка элементов ai1, ai2,…,ain i-й строки матрицы А.

4) Пусть коэффициенты lj=n-1, j=1,…,n. Очевидно, они удовлетворяют условию (2).

Выбор коэффициентов lj, j=1,…,n, таким образом подтверждает полное доверие игрока А к принципу недостаточного основания Лапласа.

5) По формуле (3) показатель эффективности стратегии Аi по критерию Лапласа, обозначаемый нами через Li, равен:


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности.

(7)

Это есть средний арифметический выигрыш при стратегии Аi.

6) Цена игры по критерию Лапласа, обозначаемая нами через L, по формуле (4):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(8)

7) Оптимальной стратегией Аk по критерию Лапласа является стратегия с максимальным показателем эффективности:

Lk=L.

Заметим, что, как следует из (7) и (8), показатель эффективности Li будет максимальным тогда и только тогда, когда максимальной будет сумма Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности, и потому в качестве показателя эффективности стратегии Аi можно рассмотреть число Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности, а в качестве цены игры – число Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности.

Тогда оптимальной будет стратегия, сумма выигрышей при которой максимальна.

Критерий Вальда ([1] – [7]).

1) Предположим, что А – матрица выигрышей игрока А.

2) Вероятности состояний природы неизвестны и нет возможности получить о них какую-либо статистическую информацию. Поэтому игрок А находится в ситуации принятия решения в условиях неопределенности.

3) Пусть l=1 и


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(9)

т.е. матрица В представляет собой вектор столбец размера m x 1.


В=

Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


4) Пусть коэффициент l1=1. Очевидно, условие (2) выполняется.

5) Обозначим показатель эффективности стратегии Аi по критерию Вальда через Wi. В силу (9) и значения коэффициента l1=1, по формуле (3) имеем:


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(10)

Таким образом, показатель эффективности стратегии Аi по критерию Вальда есть минимальный выигрыш игрока А при применении им этой стратегии.

6) Цена игры по критерию Вальда, обозначим ее через W, находится по формуле (4):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

7) Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда является стратегия Аk с максимальным показателем эффективности:


Wk=W.


Другими словами, оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда считается та чистая стратегия, при которой минимальный выигрыш является максимальным среди минимальных выигрышей всех чистых стратегий. Таким образом, оптимальная стратегия по критерию Вальда гарантирует при любых состояниях природы выигрыш, не меньший максимина:


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


В силу (10), критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма игрока А, а количественным выражением этого крайнего пессимизма является значение коэффициента l1, равное 1. Игрок А, принимая решение, действует по принципу наибольшей осторожности.

Хотя арабская пословица и гласит: «Кто боится собственной тени, тому нет места под солнцем», - тем не менее этот критерий уместен в тех случаях, когда игрок А не столько хочет выиграть, сколько не хочет проиграть. Использование принципа Вальда в обиходе подтверждается такими поговорками как «Семь раз отмерь – один раз отрежь», «Береженого Бог бережет», «Лучше синица в руках, чем журавль в небе».

Критерий Ходжа-Лемана [7].

1) Предположим, что матрицей выигрышей игрока А является матрица А.

2) Известны вероятности qi=p(Пj), j=1,…,n, состояний природы Пj, j=1,…,n, удовлетворяющие условию (1).

Таким образом, игроку А надлежит принимать решение в условиях риска.

3) Пусть l=2,


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(11)

показатель эффективности стратегии Аi по критерию Вальда,


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(12)

показатель эффективности стратегии Аi по критерию Байеса.

Матрица В примет вид


В=

Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


т.е. bi1=Wi, bi2=Bi, i=1,…,m.

4) Коэффициенты l1, l2 выбираются следующим образом:


l1=1-l, l2=l, где lО[0, 1]. (13)

Очевидно, что эти коэффициенты удовлетворяют условию (2).

5) По формуле (3), с учетом (11), (12), и (13), показатель эффективности стратегии Аi по критерию Ходжа-Лемана равен:


Gi=libi1+l2bi2=(1-l)Wi+lBi=(1-l)aij+ i=1,…,m. (14)

В правой части формулы (14) коэффициент lО[0, 1] есть количественный показатель степени доверия игрока А данному распределению вероятностей qi=p(Пj), j=1,…,n, состояний природы Пj, j=1,…,n, а коэффициент (1-l) характеризует количественно степень пессимизма игрока А. Чем больше доверия игрока А данному распределению вероятностей состояний природы, тем меньше пессимизма и наоборот.

6) Цену игры по критерию Ходжа-Лемана находим по формуле (4):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


7) Оптимальной стратегией по критерию Ходжа-Лемана является стратегия Аk с наибольшим показателем эффективности:


Gk=G.


Отметим, что критерий Ходжа-Лемана является как-бы промежуточным критерием между критериями Байеса и Вальда. При l=1, из (14) имеем:Gi=Bi и потому критерий Ходжа-Лемана превращается в критерий Байеса. А при l=0, из (14): Gi=Wi и, следовательно, из критерия Ходжа-Лемана получаем критерий Вальда.

Критерий Гермейера [7].

1) Пусть матрица А является матрицей выигрышей игрока А.

2) Даны вероятности qi=p(Пj), j=1,…,n, состояний природы Пj, j=1,…,n, удовлетворяющие условию (1).

Т.о. игрок А находится в ситуации принятия решений в условиях риска

3) Положим l=1 и


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(15)

Таким образом, матрица В представляет собой вектор столбец


В=

Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


размера m x 1.

4) Полагаем l1=1. Условие (2), очевидно, выполняется.

5) Показатель эффективности стратегии Аi по критерию Гермейера определяем по формуле (3) с учетом (15) и того, что l1=1:


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(16)

Если игрок А придерживается стратегии Аi, то вероятность выигрыша aij при этой стратегии и при состоянии природы Пj равна, очевидно, вероятности qj этого состояния природы. Поэтому формула (16) показывает, что показатель эффективности стратегии Аi по критерию Гермейера есть минимальный выигрыш при этой стратегии с учетом его вероятности.

6) Цена игры по критерию Гермейера определяется по формуле (4):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


7) Оптимальной стратегией по критерию Гермейера считается стратегия Аk с наибольшим показателем эффективности:


Gk= G


Заметим, что критерий Гермейера можно интерпретировать как критерий Вальда, применимый к игре с матрицей


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


Критерий Гермейера так же, как и критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма игрока А, но, в отличие от критерия Вальда, игрок А, принимая решение с максимальной осмотрительностью, учитывает вероятности состояний природы.

В случае равномерного распределения вероятностей состояний природы: qj=n-1, j=1,…,n, показатель эффективности стратегии Аi, в силу формулы (16), будет равен Gi=n-1aij и , следовательно, критерий Гермейера эквивалентен критерию Вальда, т.е. стратегия, оптимальная по критерию Гермейера, оптимальна и по критерию Вальда, и наоборот.

Критерий произведений [7].

1) Пусть матрицей выигрышей игрока А является матрица А, все элементы которой положительны:


aij>0, i=1,…,m; j=1,…,n.


2) Известны вероятности qj=p(Пj), j=1,…,n, состояний природы Пj, j=1,…,n, и удовлетворяют условию (1).

3) Пусть l=1 и


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(17)

Значит матрица В является вектор-столбцом


В=

Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


размера m x 1.

4) Пусть l1=1. Условие (2) выполняется.

5) Показатель эффективности стратегии Аi по критерию произведений в соответствии с формулами (3) и (17) равен


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности.


6) Цена игры по критерию произведений вычисляется по формуле (4):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


7) Оптимальной стратегией по критерию произведений является стратегия Аk с наибольшим показателем эффективности:


Gk=G.


Отметим, что для критерия произведений является существенным положительность всех состояний вероятностей состояний природы и всех выигрышей игрока А.

Максимаксный критерий ( [1].-[7] ).

1) Пусть А – матрица выигрышей игрока А.

2) Вероятность состояний неизвестны. Решение принимается в условиях неопределенности.

3) Пусть l=1 и


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(18)

Значит, матрица В является вектор- столбцом


Вmx1=

Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


размера m x 1.

4) Коэффициент l1 выбираем равным 1: l1=1. При этом условие (2), очевидно, выполняется.

5) Показатель эффективности стратегии Аi по максимаксному критерию обозначим через Мi и определим его по формуле (3) с учетом (18) и того, чтоl1=1:


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(19)

Таким образом, показатель эффективности стратегии Аi по максимаксному критерию есть наибольший выигрыш при этой стратегии.

6) Цена игры по максимаксному критерию, обозначаемая нами через М, определяется по формуле (4):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


Очевидно, что это есть наибольший элемент матрицы А.

7) Оптимальная стратегия по максимаксному критерию есть стратегия Аk с наибольшим показателем эффективности:


Mk=M.


Из формулы (19) заключаем, что максимаксный критерий является критерием крайнего оптимизма игрока А. Количественно это выражается тем, что l1=1. Этот критерий противоположен критерию Вальда. Игрок А, пользуясь максимаксным критерием, предполагает, что природа П будет находиться в благоприятнейшем для него состоянии, и, как следствие отсюда, ведет себя весьма легкомысленно, с «шапкозакидательским» настроением, поскольку уверен в наибольшем выигрыше. Вместе с тем, в некоторых случаях этим критерием пользуются осознанно, например, когда перед игроком А стоит дилемма: либо получить наибольший выигрыш, либо стать банкротом. Бытовое отражение подобных ситуаций иллюстрируется поговорками: «Пан или пропал», «Кто не рискует, тот не выигрывает» и т.п.

Оптимальная стратегия по максимальному критерию гарантирует игроку А возможность выигрыша, равного максимаксу.


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности.


Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица с показателем оптимизма lО[0; 1] ([1] – [7]).

1) Пусть А – матрица выигрышей игрока А.

2) Вероятности состояний природы неизвестны и нет возможности получить о них какую–либо надежную статистическую информацию.

Таким образом, решение о выборе оптимальной стратегии будет приниматься в условиях неопределенности.

3) Положим l=2. Элементы матрицы В


В=

Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


размера m x 2 определяются следующим образом:


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности.

(20)

4) Коэффициенты l1 и l2 выбираем следующим образом:


l1=1-l; l2=l; lО[0, 1] (21)

Тогда, очевидно, условие (2) выполняется.

5) Обозначим показатель эффективности стратегии Аi, по критерию пессимизма-оптимизма Гурвица через Нi. Тогда по формуле (3) с учетом (20) и (21):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

(22)

В формуле (22) l - показатель оптимизма, а (1-l) – показатель пессимизма игрока А при выборе им оптимальной стратегии. Чем ближе к единице показатель оптимизма, тем ближе к нулю показатель пессимизма, и тем больше оптимизма и меньше пессимизма. И наоборот. Если l=0,5, то и 1-l=0,5, т.е. показатели оптимизма и пессимизма одинаковы. Это означает, что игрок А при выборе стратегии ведет себя нейтрально.

Таким образом, число l выбирается в пределах от 0 до 1 в зависимости от склонности игрока А к оптимизму или пессимизму.

6) Цена игры по критерию Гурвица Н определяется из формулы (5):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


7) Оптимальная стратегия Аk по критерию Гурвица соответствует показателю эффективности


Hk=H


Критерий Гурвица является промежуточным между критерием Вальда и максимаксным критерием и превращается в критерий Вальда при l=0 и - в максимаксный критерий при l=1.

Обобщенный критерий Гурвица с коэффициентами l1,…, ln ([4], [5]).

1) Пусть А – матрица выигрышей игрока А.

2) Вероятности состояний природы неизвестны. Так что решение принимается в условиях неопределенности.

3) Матрица В получается из матрицы А перестановкой элементов каждой ее строки в неубывающем порядке:


bi1Јbi2Ј…Јbin, i=1,…,m.


Таким образом, в 1-м столбце матрицы В стоят минимальные, а в n-м столбце максимальные выигрыши стратегий. Другими словами, в 1-м столбце матрицы В стоят показатели эффективности стратегий по критерию Вальда, а в n-м столбце – показатели эффективности стратегий по максимаксному критерию.

4) Коэффициенты l1,…, ln выбираются удовлетворяющими условиям (2) соответственно различной степени склонности игрока А к оптимизму. При этом показателем пессимизма игрока А называется число

Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

если n – число четное, (23)

если n – число нечетное,

где Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности целая часть числа Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности, а показателем оптимизма игрока А называется число


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности

,если n – число четное,

,если n – число нечетное.

Очевидно, что lр+l0=1.

5) Показатель эффективности стратегии Аi по обобщенному критерию Гурвица определяется по формуле (3):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности


6) Цену игры по обобщенному критерию Гурвица определим по формуле (4):


Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: